数学一模保分卷05（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D A N 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 4．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（热点）若定义在上的函数的导数为，且满足：①为奇函数；②对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在 上单调递增 10．若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 11．（改编题）已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得的面积为1 C．椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为 ． 13．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种. 14．已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为 ，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 16．（15分） 如图，在三棱锥中， 底面ABC，. 点D， E， N分别为棱PA，PC， BC的中点， M 是线段AD的中点， (1)求证：平面BDE； (2)求二面角的正弦值； (3)已知点H在棱PA上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH的长. 17．（15分） 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 18．（17分） 已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若面积为，求； （ⅱ）已知是C的左焦点，直线交C于异于A的点P，直线交C于异于B的点Q，试证明：直线经过定点． 19．（17分） 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 4．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（热点）若定义在上的函数的导数为，且满足：①为奇函数；②对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在上单调递增 10．若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 11．（改编题）已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得的面积为1 C．椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为 ． 13．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种. 14．已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为 ，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 16．（15分） 如图，在三棱锥中， 底面ABC，. 点D， E， N分别为棱PA，PC， BC的中点， M 是线段AD的中点， (1)求证：平面BDE； (2)求二面角的正弦值； (3)已知点H在棱PA上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH的长. 17．（15分） 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 18．（17分） 已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若面积为，求； （ⅱ）已知是C的左焦点，直线交C于异于A的点P，直线交C于异于B的点Q，试证明：直线经过定点． 19．（17分） 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 所以. 故选：A. 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得， 所以. 故选：B 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 4．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 5．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D 【解析】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 故选：B. 7．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点的中点的中点F，连接和， 由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 8．（热点）若定义在上的函数的导数为，且满足：①为奇函数；②对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则当时，， 因为，所以， 所以在上单调递减， 又为奇函数，所以，所以， 所以在上是偶函数， 所以在上单调递增， 当时，即时，有， 由可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由可得， 所以，解得或，所以或， 由不等式有意义可知，即， 综上可得，不等式的解集为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在 上单调递增 【答案】BC 【解析】. A：的最小正周期为，所以本选项不是正确的命题； B：，所以本选项是正确的命题； C：显然当时， 即当时，函数有最大值，所以本选项是正确的命题； D：当时，，显然在 上单调递减，所以本选项不是正确的命题， 故选：BC 10．若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 【答案】ACD 【解析】令，则，解得，所以A正确； ， 展开式的通项为，， 可知均大于0，均小于0， 的系数是负数，肯定不是最大值，所以B不正确； 在中，令，得，所以C正确； 令，得，所以，故D正确． 故选：ACD. 11．（改编题）已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得的面积为1 C．椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】ABD 【解析】A，椭圆的方程是，且焦点在轴， 由椭圆的定义可得的周长为，得，正确； B，根据椭圆性质，， 的面积最大值为， 所以存在点，使得的面积为1，正确； C，若为直角三角形，当，存在两个这样的点， 当，存在两个这样的点， 当，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得， 所以椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，错误； D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点， ，则，解得， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，， 根据C选项，可知存在点P使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 13．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种. 【答案】420 【解析】甲、乙选看的电影中最多有1部相同包括： （1）两人选看的电影均不相同，不同选法有（种）； （2）两人选看的电影有且仅有一部相同，不同选法有（种）， 不同的选法总共有（种）. 故答案为：420. 14．已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为 ，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，将正四面体放入正方体中， 将棱作为正方体的面对角线，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由正四面体性质得正四面体的内切球球心为其几何中心， 由正方体性质得正四面体的几何中心与正方体的几何中心重合， 而正方体的几何中心是体对角线的中点，设正方体边长为， 因为正四面体的棱长为， 所以，解得， 由题意得，，，， 则，，由中点坐标公式得， 设面的法向量为，可得， 令，解得，得到， 而，由题意得点到面的距离即为内切球半径， 设点到面的距离为，， 由点到平面的距离公式得， 由空间向量的减法法则得， 由题意得内切球的方程为， 则， 化简得， 而点是该内切球面上的一动点，则， 可得，， 得到 ， 而点是该内切球面上的一动点，则， 可得， 解得，则， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【解析】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为.（5分） （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以，（10分） 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为．（13分） 16．（15分） 如图，在三棱锥中， 底面ABC，. 点D， E， N分别为棱PA，PC， BC的中点， M 是线段AD的中点， (1)求证：平面BDE； (2)求二面角的正弦值； (3)已知点H在棱PA上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH的长. 【解析】（1）取AB中点F，连接MF，NF， 因为M为AD的中点，则， 且平面BDE，平面BDE，则平面BDE； 又因为N为BC中点，则， 且D，E分别为AP，PC的中点，则，可得， 且平面BDE，平面BDE，则平面BDE； 又，平面，可知平面平面BDE， 因为平面，所以平面BDE.（4分） （2）因为底面ABC，， 以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 因为，， 则，，，，，， 可得，， 设平面MEN的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面CME的一个法向量为，（7分） 设二面角为， 则， 可得， 所以二面角的正弦值为.（11分） （3）设，则，可得，， 因为直线NH与直线BE所成角的余弦值为， 则， 整理可得，解得：或， 所以线段AH的长为或.（15分） 17．（15分） 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【解析】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则．（4分） （2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ；（6分） （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ．（10分） （3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即．（15分） 18．（17分） 已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若面积为，求； （ⅱ）已知是C的左焦点，直线交C于异于A的点P，直线交C于异于B的点Q，试证明：直线经过定点． 【解析】（1）由双曲线实轴长为2，得，故. 离心率，即，故. 由，得， 故双曲线的方程为.（4分） （2）（i）直线过点，斜率不存在时方程为， 代入双曲线得，无实根，故设直线的方程为. 将代入，得，整理为. 设，，由韦达定理得，. 直线与双曲线有两不同交点，故且，即且. ， 的面积. 由，得， 而， 故：.（7分） 平方得，令， 解得（舍去），即. 弦长，代入得：.（9分） （ii）双曲线左焦点，设，因在双曲线上，故. 直线过和，其方程为：, 将直线方程代入双曲线，得：, 整理得， ，则，（10分） ， 则. 同理可得.（11分） 直线的斜率， 代入，， 展开其分子： . 展开其分子： 因此，斜率化简为：，（15分） 直线的方程为， 即， 代入，展开并整理： ， ， 该式对任意成立，故需满足“含的项系数为0”且“常数项为0”： ，解得： 因此，直线经过定点.（17分） 19．（17分） 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【解析】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数.（4分） （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得；（7分） 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为.（9分） （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有.（10分） 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证.（13分） （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证.（16分） 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A C D B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．420 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为.（5分） （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以，（10分） 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）取AB中点F，连接MF，NF， 因为M为AD的中点，则， 且平面BDE，平面BDE，则平面BDE； 又因为N为BC中点，则， 且D，E分别为AP，PC的中点，则，可得， 且平面BDE，平面BDE，则平面BDE； 又，平面，可知平面平面BDE， 因为平面，所以平面BDE.（4分） （2）因为底面ABC，， 以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 因为，， 则，，，，，， 可得，， 设平面MEN的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面CME的一个法向量为，（7分） 设二面角为， 则， 可得， 所以二面角的正弦值为.（11分） （3）设，则，可得，， 因为直线NH与直线BE所成角的余弦值为， 则， 整理可得，解得：或， 所以线段AH的长为或.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则．（4分） （2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ；（6分） （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ．（10分） （3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由双曲线实轴长为2，得，故. 离心率，即，故. 由，得， 故双曲线的方程为.（4分） （2）（i）直线过点，斜率不存在时方程为， 代入双曲线得，无实根，故设直线的方程为. 将代入，得，整理为. 设，，由韦达定理得，. 直线与双曲线有两不同交点，故且，即且. ， 的面积. 由，得， 而， 故：.（7分） 平方得，令， 解得（舍去），即. 弦长，代入得：.（9分） （ii）双曲线左焦点，设，因在双曲线上，故. 直线过和，其方程为：, 将直线方程代入双曲线，得：, 整理得， ，则，（10分） ， 则. 同理可得.（11分） 直线的斜率， 代入，， 展开其分子： . 展开其分子： 因此，斜率化简为：，（15分） 直线的方程为， 即， 代入，展开并整理： ， ， 该式对任意成立，故需满足“含的项系数为0”且“常数项为0”： ，解得： 因此，直线经过定点.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数.（4分） （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得；（7分） 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为.（9分） （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有.（10分） 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证.（13分） （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证.（16分） 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $