专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理角平分线相关的全等三角形模型，将“垂两边”“垂中间”“构造轴对称”三类模型按“条件-结论-证明”逻辑呈现，用对比表格归纳模型特征与辅助线作法，清晰展现知识内在联系与中考重难点分布。 讲义亮点在于“真题-模型-应用”的递进式练习设计，如结合山东青岛期末“人工湖距离问题”，引导学生用“截长补短法”构造全等，培养推理意识与几何直观。例题涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固模型应用，综合题提升创新意识，助力教师实施精准分层教学，学生自主复习时可按需突破。

专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为 ． 【答案】50 【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F， 由，分别平分，，于点，． 故， 故， ， 解得， 故答案为：50． 例2（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，平分，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：． (2)求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知：， ∴， ∴． 例3（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． （2）解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 例4（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，先根据题意求出，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即D到的距离为， 故答案为：4． 例5（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于点D，过点D作于E，连接． (1)求证：平分； (2)若周长为20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、角平分线的性质与判定等知识点，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图：过点D作于P，于Q，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明结论． （2）证明可得，同理、，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于P，于Q， ∵，平分，平分， ∴，， ， ∵，， ∴平分． （2）解：如图，由（1）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：、， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合角平分线的性质求解是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，证明，得到，，即可得解； 【详解】延长线段交于， 平分， ， ， 在与中， ， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故答案是：． 例2（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，，，为的中点，连接，，．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长和，交于点，证，证垂直平分，利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质求解即可． 【详解】延长和，交于点，如图所示， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴ 故答案为：3． 例3（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形角平分线的性质、三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．延长交于点，可求得，则可得， 则，，可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，且于， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是 ，的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质等知识，过点作于，延长交于F，先根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，则，进而，再根据得，据此即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，延长交于F，如图： 在中，，，，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 例5（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，，平分且．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②为的中点； ③平分； ④； ⑤到的距离等于的一半． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】作于，证明和，即可得到，判断①； 根据判断②、⑤； 根据判断③； 根据全等三角形得到，判断④． 【详解】解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故①正确； ∴， ∴为的中点， 故②正确； ，故⑤正确； ∵ ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），角平分线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 例2（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 例3（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 例4（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算即可； 【详解】过点作， 平分，于点， ， ， ， ； 故选． 例5（24-25七年级下·江西景德镇·期末）已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)平分，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再求出，从而证明平分； （2）利用两直线平行同旁内角互补可得，所以两直线垂直． 【详解】（1）解：平分， 证明：过点作，垂足为， 平分， ， ，， ， 是的中点， ， ， ，， 平分； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， 又，， ， ， ． 即． 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，平分交于D，于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、与三角形的高的计算，过点作于，先利用三角形的面积公式计算得出，再由角平分线的性质定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于D，于E， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）如图，，M是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键. 作于N，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，即可得到答案． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴，又， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质和面积法进行解题． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，CD是的外角的平分线，，垂足为．若，，则的长为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作 于点 ，利用角平分线定理得，则可证，则， 证明，可得，设 ，则 ，， 由 为等量关系列方程即可． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， ∵平分 ，，，   ∴， 在 和 中：   ，     ∴ ，     ∴ ， 在 和 中：     ，     ∴，     ∴ ， ．设 ，     则 ，     ，   由 得：，   解得：，，   即 ． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知的面积为，平分，且于，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质和全等三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，三角形中线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 通过延长交于点，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出面积关系求解． 【详解】解： 延长交于点， 平分， ， 又， ， 在与中， , ． , ，， 又， , , ． 故选A． 6．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，于点，于点F，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查角平分线的性质，三角形的面积计算．作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是的角平分线，， ， ， ， 解得，， 故选：A． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，根据点为的中点，求出，过作于，于，将转化为三角形的面积的比，即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 即， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，的两个外角的平分线，交于点于点．若，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线性质得到点P到各边的距离相等，再结合面积公式求出边长，进而计算周长． 【详解】解：过点作于，于， ∵、是的外角平分线，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 由，即， 解得． 由得 代入，得 化简得． ∴的周长为． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 /65度 10 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并设出未知数建立等式． （1）由已知与平角为，可得，由此可得，再结合角平分线的性质即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，再由角平分线的性质可得，由此可证明，即可得，再证明，由此可得，设出未知数即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， ； （2）为的中点，， 垂直平分， ， 由（1）知， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，即． 12．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查角平分线的性质，能求出是解此题的关键． 如图，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作，交的延长线于E，则， ∵平分， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：35． 13．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，的两条角平分线交于点，作，若，的周长为，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质，连接，作，根据角平分线的性质，得到，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：连接，作，垂足分别为， ∵为的两条角平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，， ∴； 故答案为：8． 14．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于点，为外一点，平分，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过作，交延长线于点，证明，，则有，，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，的两条外角平分线相交于点交的延长线于点．若的周长为的面积为3，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查角平分线的性质，连接，先过点作于，由于和的外角平分线交于，根据角平分线的性质可得，根据，可得，解得，再根据的周长为，可得，继而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 过点作于，作交延长线于， 因为和的外角平分线、交于， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为的周长为， 所以， 所以 ； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）根据，得出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：设， 则，， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作于，根据角平分线性质得；根据中点得进而得，再根据角平分线的判定得 平分； （2）根据“”证明和得和，根据，即可得证； （3）根据和得和，代入已知 ,即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：由（1）得， 在和中， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ （3）由（2）可得，， ∴，， ∴． 20．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 21．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 22．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等判断出，证明，判断出，再证明，进而判断出，即可得出结论； （2）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出，即可得出是的角平分线． 【详解】（1）证明：连接，延长，交的延长线于 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）不变化， 理由：如图，过点作于，作于， 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，而， ， ，， 平分， ， 即：不变化． 23．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图．与中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G．连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)4 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）过点A作于H，根据可得，从而得到，再由角平分线的判定定理，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点A作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴、均为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 24．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，过作于点，作于点，由折叠性质可知，，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到得距离为，则，再通过等面积法得出，，然后由列出解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 25．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究． (1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______． (2)已知 ，平分，平分． ①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______． ②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由． ③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示） 【答案】(1)3 (2)①②，理由见详解③当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的性质进行作答即可； （2）①根据，平分，平分．则， 故，即，解得； ②结合平行线的性质以及角平分线的性质，证明，，，得，则，故，即可作答． ③充分理解题意，再进行分类讨论，当点在直线的点A的右边时或当点在直线的点A的左边时，分别作图，运用全等三角形的性质以及数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵点P是平分线上一点，，， ∴， 即点P到的距离为； 故答案为：3． （2）解：①过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵点E到与的距离之和为4， ∴， ∵平分，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 故答案为：2． ②，理由如下： 过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 则 ∴ 即， ③依题意，当点在直线的点A的右边时，如图所示： 与②同理，过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： 此时，，， ∴ ∴，， 则，， ∴ ∴ 即 故； 当点在直线的点A的左边时，延长交于点，如图所示： ∵， ∴ ∵平分，平分． ∴ ∴ 即 ∴ 即， ∵平分． ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 综上：当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，． 26．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，,于点，交于点，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，,求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据垂直可得，再根据角平分线求得，然后证得，得到，再证，即可求解； （2）由（1）得到，然后即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为 ． 例2（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，平分，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：． (2)求之间的数量关系． 例3（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 例4（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 例5（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于点D，过点D作于E，连接． (1)求证：平分； (2)若周长为20，求的长． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 例2（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，，，为的中点，连接，，．则 ． 例3（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是 ． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是 ，的面积是 ． 例5（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为 ． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，，平分且．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②为的中点； ③平分； ④； ⑤到的距离等于的一半． A．5 B．4 C．3 D．2 例2（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 例3（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 例4（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．9 例5（24-25七年级下·江西景德镇·期末）已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，平分交于D，于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）如图，，M是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，CD是的外角的平分线，，垂足为．若，，则的长为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知的面积为，平分，且于，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 6．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 8．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，于点，于点F，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则 ． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，的两个外角的平分线，交于点于点．若，则的周长是 ． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是 ． 13．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，的两条角平分线交于点，作，若，的周长为，则 ． 14．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于点，为外一点，平分，．若，，则的长为 ． 16．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 17．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，的两条外角平分线相交于点交的延长线于点．若的周长为的面积为3，则的面积为 ． 18．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 20．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 22．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 23．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图．与中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G．连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，，求的长． 24．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究． (1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______． (2)已知 ，平分，平分． ①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______． ②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由． ③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示） 26．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，,于点，交于点，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，,求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $