专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，点D是边的中点，设，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，延长至，使得，连接，则，证明，得出，再由三角形三边关系求解即可，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，则， 点D是边的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例2（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 例3（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例5（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，根据定理证明，可得结论； （2）延长至点，使得，连接．证明，得出，，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长交于点，延长到，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，，即可证明结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， 是中点， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， 同可知，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 例2（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案． 【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 例3（2025九年级·全国·专题练习）已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积． 【答案】12. 【分析】在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则 ，可得 ，继而证明△BOE≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案． 【详解】解：在AB上截， ∵AO平分∠BAD， ∴∠DAO=∠EAO， 在△AOD和△AOE中, ∴， ， ，平分，平分， ∴∠AOB=90°， ， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， 在△BOC和△BOE中,   ∴， 四边形ABCD的面积的面积= =12. 故答案为12. 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键． 例4（24-25八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 例5（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，在中，，是的平分线．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查等腰全等三角形判定及性质，角平分线性质，等腰三角形判定及性质．要证，而三者没有直接的关系，首先进行等线段转化，而已知条件中出现，因此考虑构造等腰三角形，再利用边的关系出角的关系即可得到本题答案． 【详解】证明：如图所示，在上截取，连接，   ， ∵是的平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知中,分别平分和交于点O,试判断的数量关系,并说明理由． 【答案】．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键． 在上截取，连结，可证，得，然后可证，得，可以求得． 【详解】；理由如下： 在上截取，连结， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且 ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 6．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是　　． A．     B．      C．       D． （2）求得的取值范围是　　． A．    B．   C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，和是两个等腰直角三角形，，，与交于．取的中点，连，探讨与的数量和位置关系．    【答案】（1）B；（2）C ；问题解决：， 【分析】（1）根据推出和全等即可； （2）根据全等得出，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证,再根据全等三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：∵由（1）知：， ∴， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴， 故选：C； 问题解决： ，     理由∶ 如图2所示， 延长到点，使，连接．，延长交于． ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 又， ∴， ∴．， ∴         ∵， ∴ ，    故，． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 8．（24-25八年级上·全国·课堂例题）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点E，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则x的取值范围是__________． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点E，F分别在上，且．求证：．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， （2）解：； 如图，延长至点，使，连接，    在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）证明：延长至G，使得，连接，    在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边 ，， 又，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．    【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ① ② ③ ④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）见解析；（4）8 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长至，使，连接，   是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接，   是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，是的中线，．    (1)若，，则的取值范围是______； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）延长至点，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解； （2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可； （3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明． 【详解】（1）解：延长至点，使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， （2）由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， （3）由(1)(2)得：，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 11．（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用证明即可； （3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：如图，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． （3）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （4）在中， ， 由（3）得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由． 【答案】(1)B (2)C (3)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据，，，得出和全等即可； （2）根据（1）得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形三边关系，得出，求出即可； （3）①根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，，进而得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；②延长交的延长线于点，根据①得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在和中 ， ∴， 故选：B； （2）解：∵由（1）知：， ∴，， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴， 故选：C． （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ∵由①可知：， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 13．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________； (3)若，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，证明见解析 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得； (2)由，可得，，据此即可解答； (3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答． 【详解】（1）证明：是BC边上的中线， ， 在与中 ， ； （2）解：， ，， ， 故答案为：，； （3）解： 证明：， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，即可证明； （2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形． （2）证明：延长至E，使， P为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 15．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析 【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可； ②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得； （2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD． 【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线， ∴AD=CD， 又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED， ∴△CED≌△ABD（SAS）； ②∵△CED≌△ABD， ∴AB=CE， ∵， ∴即， 又∵， ∴； 故答案为：； （2）MN=2BD，理由如下： 如图所示，延长BD到E使得DE=BD， 同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS）， ∴∠DAE=∠DCB，AE=CB， ∵BC=BN， ∴AE=BN， ∵∠ABM=∠NBC=90°， ∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°， ∴∠BAE+∠ABC=180°， ∴∠BAE=∠MBN， 又∵AB=BM， ∴△BAE≌△MBN（SAS）， ∴MN=BE， ∵BE=BD+ED=2BD， ∴MN=2BD． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等． 16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可； （2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论； （3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP， ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC的中点，BD=CD， 在△ABD与△PCD中， ∴△ABD≌△PCD(SAS)， ∴AB=CP， 在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP， ∴； （2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC， ∵H为DE中点，D、E为BC三等分点， ∴DH=EH，BD=DE=CE， ∴DH=CH， 在△ABH和△QCH中， ∴△ABH≌△QCH(SAS)， 同理可得：△ADH≌△QEH， ∴AB=CQ，AD=EQ， 此时，延长AE，交CQ于K点， ∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK， ∴AC+CQ＞AK+QK， 又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE， ∴AK+QK＞AE+QE， ∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE， ∵AB=CQ，AD=EQ， ∴； （3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE， ∵M为DE中点， ∴DM=EM， ∵BD=CE， ∴BM=CM， 在△ABM和△NCM中， ∴△ABM≌△NCM(SAS)， 同理可证△ADM≌△NEM， ∴AB=NC，AD=NE， 此时，延长AE，交CN于T点， ∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT， ∴AC+CN＞AT+NT， 又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE， ∴AT+NT＞AE+NE， ∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE， ∵AB=NC，AD=NE， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是边上的中线，过作的平行线交的延长线于点．若，，试求的取值范围． 【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 18．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围； （2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到； （3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到． 【详解】（1）延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴； （2）证明:延长到点使,连接， 由（1）知， ∴， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ， ， ， 点在一条直线上， ， ∴， ∴在和中， ，，， ∴≌， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键． 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：，，， ， （2）； 如图，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG， 在和中，，，， ，， 在和中， ，，， ，， 在中，两边之和大于第三边 ，， 又，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 20．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据前后逻辑关系填空即可； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）; 故答案为：，全等三角形的对应边相等； （2）延长到，使，连接，   是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点，   ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 22．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定； （1）根据三角形的中线的性质，得出，根据题意得出，即可求解； （2）倍长中线，延长至，使得，连接，证明，得出，，进而根据三角形的三边关系，即可求解． （3）根据三角形的面积公式求得，进而根据三角形的中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵和的周长之差为， ∴， ∵的长是． ∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中，，即 ∵， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． 23．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．    【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【分析】（1）①根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论； ②先由，得出，再由，得出，最后用三角形的三边关系，即可求出答案； （2）先根据判断出，得出，再根据判断出，得出，即可求出答案． 【详解】（1）①证明：是的中线， ， 在和中， ， ； ②解：由①知，， ， ， ， ，， ， 在中，， 根据三角形的三边关系得，， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长，截取，连接，，     ，， 即，， ∴， ， 是中线， ， ，， ∴， ， ∵， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键． 25．（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），，证明见解析 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）同（1）可证，得出，，进而可得，推出，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ， 又，， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2），证明如下： 由（1）知， ， ； （3），，证明如下： 如图，延长至点Q使得，连接，延长交于点P，    同（1）可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可得，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，点D是边的中点，设，则x的取值范围是 ． 例2（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 例3（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 例5（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 例2（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 例3（2025九年级·全国·专题练习）已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积． 例4（24-25八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 例5（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，在中，，是的平分线．求证：．    2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知中,分别平分和交于点O,试判断的数量关系,并说明理由． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 6．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是　　． A．     B．      C．       D． （2）求得的取值范围是　　． A．    B．   C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，和是两个等腰直角三角形，，，与交于．取的中点，连，探讨与的数量和位置关系．    8．（24-25八年级上·全国·课堂例题）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点E，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则x的取值范围是__________． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点E，F分别在上，且．求证：．    9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．    【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ① ② ③ ④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是______． 10．（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，是的中线，．    (1)若，，则的取值范围是______； (2)求证：； (3)求证：． 11．（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由． 13．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________； (3)若，猜想与的数量关系，并加以证明． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 15．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是边上的中线，过作的平行线交的延长线于点．若，，试求的取值范围． 18．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 20．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    22．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 23．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．    25．（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $