专题10 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学讲义通过分类框架系统梳理了全等三角形对角互补模型，将90°+90°、120°+60°、α+（180°-α）三种类型按“模型来源-条件结论-证明方法”递进呈现，用结构图表归纳每种模型的核心要素，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“真题现模型”的练习设计，如结合吉林校考题探究90°模型中线段数量关系，通过作垂线构造全等培养推理意识与几何直观。例题涵盖基础证明与变式应用，帮助不同层次学生掌握截长补短等方法，既支持学生自主构建模型认知，也为教师精准分层教学提供系统资源。

专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 例2（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 例3（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知在四边形中， ，． (1)如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． (2)如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． (3)如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将两个全等的和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． (1)求证：； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出之间的数量关系； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图③．你认为（2）中猜想的的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出与之间的关系，并说明理由． 例5（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 例2（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 例3（25-26八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系（直接写出结论）：___________． 例4（25-26八年级上·广西南宁·期中）“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 例5（25-26八年级上·全国·单元测试）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______； (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，，平分，于点．若，，则四边形的周长（    ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 例3（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 例4（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 例5（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）已知四边形中，平分，于点，若，则（   ） A． B． C． D．以上都不正确 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明的解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 3．（25-26八年级上·河南漯河·期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断的取值范围是___________，则中线的取值范围是___________． （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，过点D作于点交于点交于点，连接，求证． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，角的两边分别交于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究与的数量关系． (1)猜想：与的数量关系是 ； (2)请证明上述猜想； (3)如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变．请写出与的数量关系，并说明理由． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为，连接得到和，易得四边形的内角和为 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形中，，，． ①求证：平分． ②若，，求的长． 6．（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 8．（25-26八年级上·浙江金华·月考）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 9．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．    (1)求与的数量关系，并写出理由． (2)如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由． (3)如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系 ． 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 12．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）小明遇到这样一个问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明探究发现，解决此问题可以用如下办法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是__________． （2）问题解决：（用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题） 如图2，在四边形中，点E为边上一点，， ，，，P为的中点，求的度数． （3）问题拓展：如图3，在四边形中， ，， ，以C为顶点做一个角，角的两边分别交，于E，F两点，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知在四边形中，，． (1)【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； (2)【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 16．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 17．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点C到的距离是______． 19．（25-26八年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点到的距离是 ． 20．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 21．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 22．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 23．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 24．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 25．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，， ∴，则． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． 例2（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知在四边形中， ，． (1)如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． (2)如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． (3)如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将两个全等的和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． (1)求证：； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出之间的数量关系； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图③．你认为（2）中猜想的的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不成立，结论为：，理由见详解 【分析】本题考查三角形证明，涉及旋转性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转性质、直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）连接，如图①，由旋转性质得到，进而得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质求解即可得证； （2）根据题意，作出图形，连接，如图所示，由旋转性质得到，进而得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得到，数形结合，表示出线段关系即可得证； （3）连接，如图③，由旋转性质得到，进而得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得到，数形结合，表示出线段关系即可得证． 【详解】（1）证明：连接，如图①， 由旋转性质可知，， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）解：画出图形如图②所示： 则之间的数量关系为：， 理由如下： 连接，如图所示： 由旋转性质可知，， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）不成立，结论为：， 理由如下： 连接，如图③， 由旋转性质可知，， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ． 例5（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 例2（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 例3（25-26八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系（直接写出结论）：___________． 【答案】（1）；（2）见详解；（3） 【分析】（1）证明，推导，在中利用三角形三边关系确定的取值范围； （2）延长到H，使得，连接，证明，推导，再借助垂直平分线的性质证明，在中利用三角形三边关系确定求证； （3）结论：．延长至H，使得，连接，依次证明和，推导，由即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，延长到H，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴； （3）结论：． 证明：如图，延长至H，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是作出辅助线构造全等三角形解决问题． 例4（25-26八年级上·广西南宁·期中）“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的值为 【分析】由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得； 在取点G，使得，连接同得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出； 延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 【详解】证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， 解： 理由：如图，连接，在取点G，使得，连接， 同得， ，，， ， ，即， ， ， ， 解：的值为；理由如下： 延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 同理可证：，， ，， ， 设，，， 则，，， ，，， ， ，， 即，， 解得：， ． 例5（25-26八年级上·全国·单元测试）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______； (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． （1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，，平分，于点．若，，则四边形的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握“角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及全等三角形的判定方法”是解题的关键． 通过作辅助线（过作的延长线于），利用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，结合的条件，推导四边形各边的长度，进而计算周长． 【详解】解：过点作的延长线于点． ∵平分，， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴（） ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴ ∴四边形的周长 故选：． 例2（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， ， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， ， ， ． 例3（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）见解析（3）结论：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）解：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）解：结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 例4（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． 例5（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的定义． （1）根据已知条件证明出，再用“”证明即可； （2）由（1）得出，，通过，得出，再用“”证明，得到，即平分． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）已知四边形中，平分，于点，若，则（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作交延长线于点，根据角平分线的性质可得，证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 平分，于点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明的解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见详解（2）（1）中的结论仍然成立，证明见详解（3） 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）理解题意，结合已有的过程，以及运用全等三角形的判定与性质，进行分析和补充，即可作答． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，那么，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南漯河·期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断的取值范围是___________，则中线的取值范围是___________． （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，过点D作于点交于点交于点，连接，求证． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，角的两边分别交于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）详见解析（3），详见解析 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，在中，，即； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，延长到点使，再连接， ， ， ∴， ， ∴， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图②，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即； （3）解：，理由如下： 如图③，延长至使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究与的数量关系． (1)猜想：与的数量关系是 ； (2)请证明上述猜想； (3)如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意可猜想 （2）延长到点，使，连结．根据SAS证明，则可得 ，，．再根据SSS证明，则可得 ．由，可得 ，进而可得． （3）在延长线上取一点，使得，连结．根据SAS证明，则可得，，．再根据SSS证明，则可得．由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：猜想． （2）证明：如图，延长到点，使，连结， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ． （3）结论：．理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连结， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为，连接得到和，易得四边形的内角和为 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形中，，，． ①求证：平分． ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查三角形内角和定理和四边形内角和，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是证明． （1）根据三角形内角和定理即可解决问题； （2）①过点作交的延长线于点，证明，得，然后根据角平分线的性质即可证明平分； ②证明，得，然后根据，，即可求的长． 【详解】解：，， ， ， 四边形的内角和为， 故答案为：； ①证明：如图2，过点作交的延长线于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 平分； ②解：平分， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 8．（25-26八年级上·浙江金华·月考）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；理由见解析（2）见解析（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】(1)，， (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．    (1)求与的数量关系，并写出理由． (2)如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由． (3)如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，再利用证明，从而可得出，进而可得，从而可得； （2）先分别证明，，结合全等三角形的性质可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得出，，再证明，根据全等三角形的性质可得出，从而可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：、、三条线段间的数量关系为：， 如图2，延长至点，使，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3，在上截取，连接，    同理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 12．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析． (2)①图见解析，②． 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是利用对称和全等转化线段关系从而证明结论． （1）连接，结合对称可得，进而证明，可得，由四边形内角和等于即可得出结论， （2）①按要求作图即可，②延长交于，连接，过点作交于点，证明，得出，，进而证明，可得，进而证明，再证明，利用等角对等边证明，从而证明，由此得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， （2）①如图， ②延长交于，连接，过点作交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）小明遇到这样一个问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明探究发现，解决此问题可以用如下办法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是__________． （2）问题解决：（用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题） 如图2，在四边形中，点E为边上一点，， ，，，P为的中点，求的度数． （3）问题拓展：如图3，在四边形中， ，， ，以C为顶点做一个角，角的两边分别交，于E，F两点，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）； （3），理由见详解 【分析】（1）延长到点E使，连接，证明，得对应相等的线段，再结合三角形三边的关系即可求解； （2）延长，与的延长线交于点，证明 ，进而证明，得，即可证明，根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （3）延长至，使，连接，证明，，则，，而，则． 【详解】解：（1）延长到点E使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． （2）延长，与的延长线交于点， ， ， ， ， ， P为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， ， ； （3）． 理由∶延长至，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定，中点的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质 （1）过点作于点，过点作于点，证明即可； （2）过点作于点，过点作于点，证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ∵，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知在四边形中，，． (1)【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； (2)【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即； （3）解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键解决问题的关键． （1）如图1：延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点，使，连接，先判定，进而得出，再判定可得出； （3）先根据四边形的内角和以及已知条件可求得的度数，如图3：在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵，，， ∴， 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点C到的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析  ② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）只需证明，即可求解； （2）①过点C作交于点E，过点C作交于点F，通过证明，即可求解； ②证明，可得，再由已知得到，则点C到的距离是． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点C作交于点E，过点C作交于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离是． 19．（25-26八年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点到的距离是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）只需证明，即可求解； （2）①过点C作交于点E，过点C作交于点F，通过证明，即可求解； ②证明，可得，再由已知得到，则点C到的距离是． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点C作交于点E，过点C作交于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离是． 20．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 21．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 22．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 23．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 24．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 25．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $