江苏省扬州市广陵区2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上册第1~4章，九年级数学上册第5~6章。 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况，如下表： 鞋码码 平均每天销售量双 假如每双鞋的利润相同，下列统计量中专卖店老板最关心的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3.已知半径为，平面内有一点，，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 4.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是(    ) A. B. C. D. 5.对抛物线的描述，其中说法错误的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，随的增大而增大 6.如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于，，，四点，连接交于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，，、分别为边、的中点，与、分别交于点、，则的长为(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9.某次篮球球赛，赛制为单循环比赛即每两个队之间比赛一场，计划安排场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请支球队参加比赛，则列得方程为        ． 10.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ． 11.现有数据：，，，，，若该组数据的中位数是，则      ． 12.小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是：，若烛焰的高是则实像的高是        ． 13.若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为        ． 14.如图，正方形是由个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为        ． 15.如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，点是弧的中点，，，则的长为        ． 16.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点，与轴交于点，并与轴交于点点是圆弧上一点，连接，点为的中点当点沿着圆弧从点顺时针运动到点时，点的运动路径长是        ． 17.若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则的取值范围为        ． 18.如图，直角三角形纸片 中， ， ， ，点为 的中点，点为 上一动点不与端点重合，且 ，沿直线 折叠该纸片，点的对应点为 ，再沿直线 折叠该纸片，点的对应点为 ，设点 ，之间的距离为，则的取值范围为          ． 三、解答题（本大题共10小题，满分94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.解方程： ； ． 20.本小题分 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 小明利用平均数、方差进行分析通过计算平均数，环，______环，可以看出，______填或的平均成绩略高；通过计算方差，，______，可以看出，______填或的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 小颖利用四分位数、箱线图如图进行分析处应填______环，处应填______环，处应填______环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数填，或，且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 21.本小题分 哪吒自年月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为______； 小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”与组合或与组合，求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 22.本小题分 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． 求与的函数关系式，并写出的取值范围； 要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 23.本小题分 如图所示，抛物线：的顶点坐标为，它与直线：交于、两点． 求抛物线的解析式； 当时，的取值范围是______； 当时，的取值范围是______． 24.本小题分已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． 求证：是的切线． 若的半径为，，求图中阴影部分的面积结果保留 25.本小题分如图，在等腰三角形中，，点在的平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． 求证：∽； 若，是的中点，求的值． 26.本小题分 如图，是由小正方形组成的网格每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下作图： 在边上画一个点，使得． 小明的画法如下：如图，先在网格中找一点，连接交于点，则点即为所求作的点请你尝试用我们学过的相似图形的知识说明这样画图的原理． 过点画于点． 小颖受小明的启发，如图先连接了格点、交格线于点，再连接交于点，则即为所求作的线段请你尝试说明这样作图的原理． 27.本小题分 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． 求抛物线的函数解析式； 当的横坐标为，求与的面积比； 若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 28.本小题分 【特例感知】 如图，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，________． 【类比迁移】 如图，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 如图，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为____________． 第4页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：苏科版九年级数学上册第1~4章，九年级数学上册第56章。 第一部分（选择题共24分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.一元二次方程x(5.x-2)=0的解是() 2 A.1=0,2=5 2 B.=0,2= 5 C.m1=0,2=2 5 D.n1=0,=2 2.万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况，如下表： 鞋码（码 353637383940 平均每天销售量（双）64101486 假如每双鞋的利润相同，下列统计量中专卖店老板最关心的是() A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 3.已知⊙O半径为5，平面内有一点P,OP=3,则点P与⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.无法判断 4.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字 外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉 字能组成“金明”的概率是() 1 c D.2 5.对抛物线y=-(x-2)+5的描述，其中说法错误的是() 第1页，共9页 A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线x=2 C.函数的最小值为5 D.当<2时，y随x的增大而增大 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,则∠ACD 的度数为() A.40 B.45 C.50° D 55 B D 7.我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线·如图，小颖在两条横线上画出△ABC,且边AB,AC 与中间的另外两条横线交于D,F,E,G四点，连接CD交FG于点H,若HG=2,则BC的长为() A.14 B.12 C.10 D.8 D H 8.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别为边AB、AD的中点，BF与ED、EC分别交于 点M、N,则MN的长为() A.8V⑤ B.2V5 C4v⑤ D 15 3 5 3v5 10 D E 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 9.某次篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），计划安排66场比赛，应邀请多少支球队 参加比赛？设应邀请x支球队参加比赛，则列得方程为一· 第2页，共9页 10.若关于心的方程2-r+0=0有两个相等的实数根，则的值是一· 11.现有数据：1,4,3,2,4，x.若该组数据的中位数是3，则x=一 12.小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，若烛焰AC的高 是3cm则实像DB的高是· 屏幕 挡板 13.若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为cm2, 14.如图，正方形ABCD是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形ABCD内投掷一个排球，落在 阴影区域的概率为一· B 15.如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆上两点，点C是弧BD的中点，∠DAC=30°，BC=3, 则AC的长为 D B 16.如图，在平面直角坐标系中，以P(2,2)为圆心作⊙P,使其经过原点O,与x轴交于点B,并与y轴交 于点A.点E是圆弧上一点，连接OE,点F为OE的中点·当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时， 点F的运动路径长是· y个 。P B在 17.若二次函数y=x2-4r+m的图象在x≤4的部分与一次函数4=2.x-1的图象有两个公共点，则m 的取值范围为一· 第3页，共9页 18.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AB=6,BC=8,点D为AC的中点，点E为BC上 一动点（不与端点重合），且CE<4,沿直线DE折叠该纸片，点C的对应点为C,再沿直线BC折叠 该纸片，点C的对应点为C2,设点C?,D之间的距离为d,则d的取值范围为一 B☐ 三、解答题（本大题共10小题，满分94分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.解方程： (1)z2-2.x-1=0; (2)x(3x-2)=2.x2+48. 20.(本小题8分) 【数据收集】 某市射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮 射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A,B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集， 【数据整理】 如图1，将A,B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图. 射击成绩环 射击成绩环 10 9 运动员A 8 运动员B 6 2345678轮次/次 选手A 选手B 图1 图2 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析·通过计算平均数，A=8.5环，心B=一环，可以看出，一一一一（填 第4页，共9页 A或B)的平均成绩略高；通过计算方差，s号=1.75，s名=_一一，可以看出，一一（填A或B)的射击 水平发挥更稳定； 最小值、四分位数和最大值 选手 最小值 1m25 7n50 77175 最大值 A ① ② 9.5 10 B 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.①处应填 环，②处应填 环，③处应填 环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数 选手B射击成绩的中位数（填>，< 或=)，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大 【作出决策】 (③3)如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 你会选择谁？说明理由， 21.（本小题8分) 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热 潮·以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A,B,C,D来表 示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好. A一哪吒 B-太乙真人 C-申公豹 D-敖丙 (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为一； (2)小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”(A与D组合或B与C组合)，求小明抽到的两张卡 片恰好是一套的概率. 第5页，共9页 22.(本小题8分) 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2. (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)要围成面积为452的花圃，AB的长是多少米？ (3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ ∠wuuiutezulelliueuuuzlulallesee A D B 23.(本小题8分)】 如图所示，抛物线：h1=a.2+b.x+c(a≠0)的顶点坐标为(1,4)，它与直线AB:2=-x+3交于A、B 两点 (1)求抛物线的解析式： (2)当a.x2+br+c≥0时，x的取值范围是 (3)当a.x2+b+c≤-x+3时，x的取值范围是 第6页，共9页 24.(本小题8分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的©O交BC于点D,过点D作 DE⊥AC于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若⊙O的半径为2V3,∠C=30°，求图中阴影部分的面积.（结果保留π） D 25.(本小题8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点P在∠BAC的平分线AD上，过点P作线 段EF分别交BD,AC于点E,F,己知∠CEF=2∠BAD. (1)求证：△ABC∽△EFC; (2)若BE=3DE=6,F是AC的中点，求CF的值. ◇ B ED 26.(本小题8分) 如图，是由小正方形组成的5×7网格·每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下作图： 1)在边AB上画一个点E,使得AE=2BE. 小明的画法如下：如图1，先在网格中找一点/，连接1D交AB于点E,则点E即为所求作的点·请你 尝试用我们学过的相似图形的知识说明这样画图的原理。 第7页，共9页 (2)过点C画CQ⊥BD于点Q. 小颖受小明的启发，如图2先连接了格点G、H交格线于点F,再连接CF交BD于点Q,则CQ即为所 求作的线段·请你尝试说明这样作图的原理 M H E. G A B D D 图1 图2 27.(本小题8分) 如图，已知二次函数y=2+r十c的图象与r轴交于A和B3.0)两点，与y轴交于C0.-2),连接BC, 3 在线段BC上有一动点P,过点P作)轴的平行线交二次函数的图象于点V,交x轴于点M. (1)求抛物线的函数解析式： (②)当P的横坐标为)，求△PCV与△BPM的面积比： (3)若动点P横坐标记为t,△CBN的面积记为S,△CBM的面积记为S2,且S=S-S2,写出S与t 的函数关系，并判断S是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由. 第8页，共9页 28.(本小题8分) 【特例感知】 (1)如图1，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D,DE⊥AB,若BC=5, BD=4,则AD=一一一，DE A ◇ D B “0 B O B C 图1 图2 图3 【类比迁移】 (2)如图2，∠ABC是©O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交©O于点D,过点D作DF⊥BC, 垂足为F,探索线段AB、BF、BC之间的数量关系，并说明理由， 【问题解决】 (3)如图3，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D,若∠ABC=90°， ?V2,4B二3，则△ABC的内心与外心之间的匯 第9页，共9页 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上册第1~4章，九年级数学上册第5~6章。 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：一元二次方程， 或， 解得：，． 故选：． 根据解一元二次方程的方法：因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 2.万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况，如下表： 鞋码码 平均每天销售量双 假如每双鞋的利润相同，下列统计量中专卖店老板最关心的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C  【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同， 鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：． 平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．利用销量大的尺码就是这组数据的众数即可解答． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 3.已知半径为，平面内有一点，，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 【答案】A  【解析】解：半径为，平面内有一点，， 点到圆心的距离半径， 该点在内． 故选：． 直接根据点与圆的位置关系进行解答即可． 本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内． 4.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设“金”、“明”、“中”、“学”分别用、、、表示． 根据题意，列表如下： 由表可知，能组成“金明”即和的结果有种：和． 组成“金明”． 故选：． 通过列表法列出所有等可能结果，再找出能组成“金明”的结果数，利用概率公式求解即可． 本题考查不放回摸球的概率计算，熟练掌握该知识点是关键． 5.对抛物线的描述，其中说法错误的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C  【解析】解：、抛物线，开口方向向下，选项正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，选项正确，不符合题意； C、抛物线的最大值为，选项不正确，符合题意； D、抛物线开口方向向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，选项正确，不符合题意． 故选：． 根据二次函数性质逐项分析判断即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6.如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 故选：． 由，，求得，由，得，则，于是得到问题的答案． 此题题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 7.我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于，，，四点，连接交于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：横线为平行且等距的格线，的边，与中间的另外两条横线交于，，，四点， ，，， ∽，∽， ，， ， ，． 故选：． 由题意可得，，，从而得出∽，∽，再由相似三角形的性质即可得解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 8.如图，在正方形中，，、分别为边、的中点，与、分别交于点、，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：过点作交于，如图， 四边形是正方形， ，， 点，是、的中点， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ． 故选：． 过点作交于，先证明是的中位线得，再证明和全等得，，进而得，再求出，利用三角形面积公式求出，然后证明和相似得，由此即可得出的长． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明∽． 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9.某次篮球球赛，赛制为单循环比赛即每两个队之间比赛一场，计划安排场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请支球队参加比赛，则列得方程为        ． 【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 利用比赛的总场数参赛队伍数参赛队伍数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：由条件可知，即， 解得， 故答案为：． 根据方程有两个相等的实数根得到，求解即可． 此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 11.现有数据：，，，，，若该组数据的中位数是，则      ． 【答案】  【解析】解：对原数据，，，，，， 进行大小排列，，，，，该组数据的中位数为， 则， ， 故答案为：． 根据中位数的定义，数据：，，，，，，共有个数，最中间的数只能为和，然后根据它们的中位数为，即可求出的值． 本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的概念． 12.小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是：，若烛焰的高是则实像的高是        ． 【答案】  【解析】解：由题意可得：：：， 烛焰的高是， ：：， ， 故答案为：． 根据题意，列出比例式求解． 本题考查了相似三角形实际应用，解题关键是正确列出比例式． 13.若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为        ． 【答案】  【解析】解：这个圆锥的侧面积为 故答案为：． 根据圆锥的侧面积等于半圆的面积，计算半圆的面积即可． 本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键． 14.如图，正方形是由个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为        ． 【答案】  【解析】解：正方形是由个大小相等的三角形构成，阴影区域有个， 随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 用阴影部分的面积除以正方形的面积即可． 本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解几何概率的求法，难度不大． 15.如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，点是弧的中点，，，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：是半圆的直径，，是半圆上两点， ， 点是弧的中点，，， ，， ， 故答案为：． 由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 本题主要考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点，与轴交于点，并与轴交于点点是圆弧上一点，连接，点为的中点当点沿着圆弧从点顺时针运动到点时，点的运动路径长是        ． 【答案】  【解析】解：如图：作出的中点，的中点，连接，，则，，点的运动路径为的长度， ， ， 由题意得：， 四边形是矩形， ， ，且为所在的圆的直径， 点的运动路径长为， 故答案为： 易得点经过的中点，的中点，点，那么点的运动路径为的长度，判断出线段的长度及为所在的圆的直径，求得半圆的长度即可． 本题考查点的轨迹的相关知识．判断出点的运动路径是以为直径的半圆是解决本题的关键． 17.若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则的取值范围为        ． 【答案】  【解析】解：根据题意令， ， 的图象在的部分与的图象有两个公共点等价于的图象在的部分与直线有两个公共点， 作抛物线图象和直线图象如下： 当时，， 当时，， 结合图象可得， 解得：． 故答案为：． 由题意得，所求问题等价于的图象在的部分与直线有两个公共点，利用图象法即可求出的取值范围． 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 18.如图，直角三角形纸片 中， ， ， ，点为 的中点，点为 上一动点不与端点重合，且 ，沿直线 折叠该纸片，点的对应点为 ，再沿直线 折叠该纸片，点的对应点为 ，设点 ，之间的距离为，则的取值范围为          ． 【答案】  【解析】由勾股定理可得 ，设 与 交于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，由 ，点 为 的中点，可得 ，连接 ， ，则 与 关于直线 对称，由对称性可得点 在以点 为圆心，为半径的 上运动，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ，  ， 如图，设 与 交于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，  点 与点 关于 对称，  ， ，  ，  ，  ，  ，  点 为 的中点，  ，即 ，  ，  ，  ， 连接 ， ，则 与 关于直线 对称，  、 关于直线 对称，且点 ， ， 共线，点 ， ， 共线，且 ，点 在以点 为圆心，为半径的 上运动，  当点 在 上时，点 、 之间的距离最小，最小值为 ， 又 ，  的取值范围为 ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，满分94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.解方程： ； ． 【答案】(1)解：， ∴， ∴， ∴， 解得：；   (2)解：， ∴， 即， ∴， ∴或， 解得：．   【解析】  本题考查了解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程，即可求解．   先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 20.本小题分 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 小明利用平均数、方差进行分析通过计算平均数，环，______环，可以看出，______填或的平均成绩略高；通过计算方差，，______，可以看出，______填或的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 小颖利用四分位数、箱线图如图进行分析处应填______环，处应填______环，处应填______环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数填，或，且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【答案】    选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强  【解析】解：， ， 的成绩略高； ， ， 的射击水平发挥更稳定， 故答案为：；：；； 选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， 则下四分位数为， 即； 则中位数为， 即， 选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；；；； 选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； 先把选手，的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； 根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． 21.本小题分 哪吒自年月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为______； 小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”与组合或与组合，求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】    【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好是“哪吒”的结果有种， 恰好是“哪吒”的概率为． 故答案为：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好是一套的结果有：，，，，共种， 小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好是“哪吒”的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片恰好是一套的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.本小题分 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． 求与的函数关系式，并写出的取值范围； 要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 【答案】  的长为  当的长是米时，围成的花圃的面积最大是  【解析】解：根据题意，得， ， ． ； 根据题意，当时，， 解得，， 当时，不成立， 当时，成立． 答：的长为； ， ，对称轴是直线，开口向下， 当时，花圃的面积最大，最大面积是． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大是． 根据矩形的面积即可写出函数关系式； 根据中所得函数关系式当为时，列出一元二次方程即可求出的长； 根据中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是正确列出函数解析式． 23.本小题分 如图所示，抛物线：的顶点坐标为，它与直线：交于、两点． 求抛物线的解析式； 当时，的取值范围是______； 当时，的取值范围是______． 【答案】    或  【解析】解：设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线，， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：； 令，得， 点的坐标为． 由图象可得，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 用待定系数法求二次函数解析式即可． 由题意得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，再结合图象可得答案； 由题意得点的坐标为，再结合图象可得答案． 本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.本小题分 已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． 求证：是的切线． 若的半径为，，求图中阴影部分的面积结果保留 【答案】连接，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 是的切线    【解析】证明：连接，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 是的切线； 解：过点作， ， ， ． 在中，， ， ， ． ， ． ， ． 欲求直线与位置关系，关键是证明，因而连接，通过平行线的性质证明之； 过点作，先求得，根据三角函数及勾股定理求解即可． 本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系．本题解决的关键是运用平行线的性质与判定，以及等腰三角形的性质，最终得出． 25.本小题分 如图，在等腰三角形中，，点在的平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． 求证：∽； 若，是的中点，求的值． 【答案】(1)证：平分， ， ， ， 又， ；   (2)解：， ，， ，平分， ， ，， 是的中点， ， ， ， 则， ．   【解析】  本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、三线合一定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 利用角平分线定义推得即可证明∽；   由题意得，，再结合三线合一定理得，根据相似三角形性质得，代入、、即可求解． 26.本小题分 如图，是由小正方形组成的网格每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下作图： 在边上画一个点，使得． 小明的画法如下：如图，先在网格中找一点，连接交于点，则点即为所求作的点请你尝试用我们学过的相似图形的知识说明这样画图的原理． 过点画于点． 小颖受小明的启发，如图先连接了格点、交格线于点，再连接交于点，则即为所求作的线段请你尝试说明这样作图的原理． 【答案】四边形都是矩形， ， ∽， ， ；   由作图可知，， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ，   【解析】四边形都是矩形， ， ∽， ， ； 由作图可知，， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ． 证明∽，可得结论； 证明∽，可得结论． 本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 27.本小题分 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． 求抛物线的函数解析式； 当的横坐标为，求与的面积比； 若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】(1)解：∵二次函数的图象交，两点， ∴， 解得， ∴；   (2)解：设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；   (3)解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值．   【解析】  ，代入求出，的值，即得；   求出，得，得，即得；   写出，得， 得，， 得，即得当时，有最大值． 28.本小题分 【特例感知】 如图，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，________． 【类比迁移】 如图，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 如图，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为____________． 【答案】解：；； 如图中，作于． 平分，，， ， 四边形内接于， ， ， ， 在和中， ≌ ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 如图中，结论：． 理由：作于，连接，． 由可知， ， ，， ， ， 如图中，由可知：四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， 由可知：， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， 以． 设内切圆的半径为， 则， 解得， 即， 在中，． 故答案为：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第13页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $