2.2.1 直线的倾斜角与斜率专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 2．（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 3．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为 . 4．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 题型二 直线斜率的定义 5．已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 6．（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 7．已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则 . 8．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 9．已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为 ． 12．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 题型四 已知两点求斜率 13．若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 14．（多选）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A．8 B．6 C．2 D． 15．已知不能构成三角形，则 ． 16．已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 题型五 已知斜率求参数 17．经过，两点的直线的倾斜角为0，则实数的值为（   ） A．-1 B． C．1 D．3 18．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 19．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为 . 20．已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 题型六 斜率公式的应用 21．若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 22．(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 23．已知三点共线，则实数的值为 . 24．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 26．（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 27．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 28．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求． 【详解】直线的斜率为， 由斜率和倾斜角的关系可得， 又∵，∴， 故选：B. 2．（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 3．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为 . 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 因为，，可得直线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 4．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 题型二 直线斜率的定义 5．已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 6．（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 7．已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则 . 【答案】8 【分析】根据倾斜角可得斜率，结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 且点，，则，解得. 故答案为：8. 8．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 9．已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的两点，先判断直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】根据题意，直线过，两点，且，点的横坐标相同， 所以直线垂直于轴，所以直线的倾斜角的大小为. 故选：C 10．（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 11．已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 12．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 题型四 已知两点求斜率 13．若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 14．（多选）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A．8 B．6 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线的斜率即可求出结果. 【详解】如下图所示：    易知直线的斜率分别为， 结合图形可知当直线的斜率满足或时，满足题意； 因此直线的斜率可能是. 故选：ABD 15．已知不能构成三角形，则 ． 【答案】 【分析】利用三点共线，则斜率相等，即可求解. 【详解】已知不能构成三角形， 所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在， 即， 故答案为： 16．已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    题型五 已知斜率求参数 17．经过，两点的直线的倾斜角为0，则实数的值为（   ） A．-1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直线平行于轴，则，可解. 【详解】根据经过，两点的直线的倾斜角为0， 即直线平行于轴， 则，解得. 故选：C 18．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 19．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 20．已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以． （2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得． （3）由题意可知，直线的斜率，即，解得． 题型六 斜率公式的应用 21．若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 22．(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 23．已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 24．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为 (2) 【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可． 【详解】（1）由斜率公式得：， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为； （2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为． 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 26．（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分别求得的斜率，然后结合图形及斜率变化关系求解斜率范围，结合选项即可判断. 【详解】如图    当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 27．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 28．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $