2.2.1直线的倾斜角与斜率（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 尝试与发现 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线. O x y 过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 倾斜角：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角。 一、倾斜角 l x y O θ 当直线 l 与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0° 0°≤ θ <180° 倾斜角θ 的范围： 尝试与发现 平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角。 O x y 分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论： (1)经过A(-1,-1)，B(3,-1)的直线l1； (2)经过C(2,1)，D(2,2)的直线l2； (3)经过E(-1,0)，F(1,2)的直线l3. A B C D E F 0° 90° 45° 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1=y2时(此时必有x1≠x2)，θ=0°； (2)当x1=x2时(此时必有y1≠y2)，θ=90°； (3)当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以AB为斜边且 两直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的 直角三角形，如图所示，此时 二、斜率 二、斜率 一般地，如果直线l的倾斜角为θ， 则当θ≠90°时，称 k = tan θ 为直线l的斜率； 当θ=90°时，称直线l的斜率不存在. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点， 则当x1≠x2时，直线l的斜率为 ， 当x1=x2时，直线l的斜率不存在。 【典型例题一】 例1 已知直线l经过点A(-1,3)与B(2,0)，求直线l的斜率k与倾斜角θ. 解：因为A，B两点的横坐标不相等，所以斜率 因此tanθ=-1，由θ∈[0,)可知倾斜角θ=. 【典型例题二】 例2 已知平面直角坐标系中的四条直线l1，l2，l3，l4，如图所示，设它们的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，θ4，而且斜率分别为k1，k2，k3，k4. 分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列. 解：按照倾斜角的定义，从图上可以看出 θ1<θ2<θ3<θ4， 因为ki=tanθi，i=1，2，3，4， 又因为正切函数在[0,)递增且函数值大于0， 在)递增且函数值小于0，所以 k3<k4<k1<k2 O x y l1 l2 l3 l4 【典型例题三】 例3 已知A(-2,-1)，B(0,-3)，C(1,-4)，D(2,-6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 解：因为， ， 所以，因为A,B,C共线，而A,B,D不共线。 三、直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l. (1)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线； (2)如果A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则 是直线l的一个方向向量. 尝试与发现 (1)如图所示，如果a=(-1,1)为直线 l 的一个方向向量，你能写出 l 的斜率k和倾斜角θ吗？ (2)一般地，如果已知向量a=(u,v)为直线l的一个方向向量，你能由此写出l的斜率k和倾斜角θ吗？ l x y O θ a 三、直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l. a 若向量a=(u,v)为直线l的一个方向向量，则 直线的斜率为k=， 直线的倾斜角满足tanθ= 【典型例题四】 例4 已知直线l通过A(0,1)，B(1,1)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角. 解：由已知可得是直线l的一个方向向量， 因此，直线的斜率 ， 直线的倾斜角θ满足， 从而可知=120° 四、直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. v 显然，直线的方向向量与法向量相互垂直。 特别地，当x0与y0不全为0时， 若向量(x0,y0)是直线l的方向向量，则向量(y0,-x0)是直线l的法向量. 【典型例题五】 例5 已知a=(1，2)是直线l的一个方向向量，则直线l的一个法向量是v=_________ (2,-1) 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$