平面向量的基本运算 专项训练-2026届高三数学二轮复习

平面向量的基本运算 目录 题型一：平面向量的线性运算 1 题型二：平面向量的数量积 6 题型三：极化恒等式与等和线 10 题型四：奔驰定理与三角形四心 17 题型五：平面向量的综合应用 23 多选题练习 33 题型一：平面向量的线性运算 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 4．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 5．在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，取的三等分点，根据向量的运算法则，得到，得出点在边的中位线上，结合，即可求解． 【详解】如图所示，在中，为三角形所在平面内一点，且， 取的中点，取靠近的三等分点，可得， 由向量的平行四边形法则，可得, 所以点在边的中位线上，所以． 故选：D. 6．已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 7．在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量加减、数乘的定义用表示出即可求解. 【详解】如下图，结合题设易知，， 则 ， ，则，， 所以.      故选：A 8．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可. 【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， 所以，则. 故选：D. 9．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由得，所以为0或锐角，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 题型二：平面向量的数量积 1．已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 2．已知是单位向量，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由为单位向量，可得，结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】由为单位向量，则， 故. 故选：C. 3．在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长及数量积为0，可得四边形为直角梯形，然后结合模长关系利用面积建立方程求解即可. 【详解】因为，，，所以四边形为梯形， 又，所以，即， 所以四边形为直角梯形，则， 又四边形的面积为，所以， 所以， 所以. 故选：C 4．单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角． 【详解】由题意，， 则， 解得，即， 又，所以的夹角为， 故选：C. 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据向量的线性坐标运算求得，然后利用数量积的夹角坐标公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，所以， 所以，解得. 故选：C. 6．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 8．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 9．如图，已知的半径为为该圆的两条切线，为切点，那么的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，求出，令，求出，求出关于和的方程，求出即可求解. 【详解】设，， 则，，， 所以， 令，则， 即， 因为是实数，所以，整理得， 解得或， 故，此时． 故选：D． 10．已知边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【答案】 【分析】应用向量的加减法及数乘运算，最后应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】边长为2的菱形中，，点满足， 则. 因为， 所以. 故答案为：. 题型三：极化恒等式与等和线 1．设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连结，根据极化恒等式求解即可. 【详解】取的中点，连结， 在内使用极化恒等式得 易知，故． 故答案为： 2．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件得出三角形顶点坐标，结合等边三角形性质得出外接圆半径，由点在的外接圆上，设得出，联立构建关于的关系求解. 解法二：过点P作的平行线，与直线相交于点，与直线相交于点，设，则，设，结合图形讨论得出，结合和k构建关于的关系求解. 【详解】解法一： 如图，以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可得，，． 因为是边长为2的等边三角形，所以其外接圆的半径为， 由点在的外接圆上，可设，其中， 则． 又， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值， 所以的最大值为． 解法二： 如图，过点P作的平行线，与直线相交于点，与直线相交于点， 设，则， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当点位于与同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为． 故答案为： 3．已知是边长为6的等边三角形，若点满足，且，其中，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】如图，令，则，其中，，由知点在线段上（不含端点），因此，其中是边上的高，即可得解. 【详解】如图，令，则， 即，其中，， 由知点在线段上（不含端点）. 由于在中，，，，且点在线段上（不含端点）， 因此，其中是边上的高. 由可得， 由可得， 所以. 再由可知. 故答案为： 4．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意和已知条件列出等式并化简，作出相应的图形，然后结合图形将表示出来，进而求得最小值. 【详解】，其中，由条件知该式的最小值是2． 设，则点在直线上， 又，故当长度最小时，为的中点，，如图，得． 取的中点，连结，取的中点，连结， 则， 当点与点重合时，上式有最小值，此时．    故答案为：. 5．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 6．已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出夹角的最小值和最大值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】圆：，圆心为，半径. 记点为点， 因为，所以点在圆内， ， 当点为的中点时，的夹角最小，此时，， 所以，所以，所以， 即夹角的最小值为； 当线段是圆的一条直径时，的夹角最大，最大值为. 所以，, 所以. 故选：A. 题型四：奔驰定理与三角形四心 1．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 2．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 4．若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 5．设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解. 【详解】如图，，， 设，则，故点，，三点共线， ，．    故选：C 6．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】由点是非等边的外心可得，又因为平面内满足，所以，设D为中点，得到，，从而得到，在边的高线上.同理可得在边高线上，在边高线上，故为高线交点，即为垂心. 【详解】 因为点是非等边的外心， 所以. 因为平面内满足， 所以, 设D为中点，则有 ， 所以， 所以在边的高线上. 同理可得，在边高线上，在边高线上. 故点P是高线的交点，即为的垂心. 故选：A. 7．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案. 【详解】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 8．已知为线段上一点，为直线外一点，满足，，，为上一点，且，则的值为（    ）． A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据题意分析得出平分，为的内心，以及在双曲线上，利用数量关系，由切线长定理求出在上的投影. 【详解】设因为， 则，，平分； 而，， 又因为分别表示方向上的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形为菱形，故在的角平分线上； 由为上一点，则为的内心；作各边的垂线，如图所示， 由内心的性质可知，设，，， 由，，则， 解得，则. 故选：C． 题型五：平面向量的综合应用 1．在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误， 故选：A. 2．已知向量，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，结合诱导公式可得，即可得模长. 【详解】因为向量， 则， 即，可得， 则， ， 可知向量，且， 所以. 故答案为：2. 3．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得点的轨迹方程为，根据题意可得，结合数量积的坐标运算可求的取值范围. 【详解】由椭圆，得，解得，所以，， 设，则，所以， 由，得， 两边平方得， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹方程为， 又因为动点在椭圆内，所以，即， 故． 故答案为：． 4．平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论． 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上， 以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当都在线段上时，等号成立， ， 当且仅当O在线段上，且在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 5．已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且，则 ；若在线段AB上存在动点P使得，则xy的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】根据正弦定理边角互化，以及数量积的定义可得，，进而结合余弦定理可求解，建立平面直角坐标系，设，根据与得到的等量关系，可求得的最大值． 【详解】由可得，又,故，所以， 由和正弦定理可得，即，,故， 又，故， 联立可得，且故， 以为原点、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，，设， 设得,,， 则 由得,,,，，，得，的最大值为，当且仅当时取等号． 故答案为：4， 7．已知分别为三个内角的对边，向量，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量的坐标表示和正弦定理得到，再结合辅助角公式即可求解； （2）由条件得到，通过平方求得，再由面积公式即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得，， 化简得， 即， ，即， 又，故，即； （2）， ， 则， 由（1）知，， ， ， 或（舍去）， 故. 8．在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解， （2）利用向量法结合中线长公式求出边的值，再利用三角形面积公式求解 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， （2）由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. 9．已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用数量积坐标公式计算化简，再应用函数是偶函数得出即可得出最小值； （2）应用平移得出，再应用零点得出，进而应用个数得出的最小值. 【详解】（1）， 因为为偶函数， 所以，， 因此当时，. （2）把图象向右平移个单位长度， 得到函数，， 令，则. 所以，或，， 解得，或，. 函数的每个周期内有2个零点， 函数在一个周期内有两个零点，20个零点即10对， 为使区间长度最小，该区间应从第1个零点延续到第20个零点， 所以的最小值为. 10．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解； （2）由三角形面积可得，再将用与进行表示，表示出后，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，可转化为， 在三角形中，恒成立，两边同除，得， 即，则，则或， 则或（舍去）， 故. （2） 由题可知，为的中点，为的三等分点，且. 又， . 由，可得. ， 当且仅当时，即时，等号成立. 故的最小值为. 多选题练习 1．下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 2．下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD 【分析】直接利用向量的概念，向量的线性运算，三角形法则，向量的模的应用逐项判断． 【详解】对于A，因为向量与的方向相同或相反且，所以的方向必与或的方向相同，故A正确； 对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，故B错误； 对于C，当A，B，C三点共线时，也可以满足，故C错误； 对于D，当，反向时，，等式不成立，故D错误. 故选：BCD. 3．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【分析】对A，若，则与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断. 【详解】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量的模都相等 B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】ACD 【分析】结合空间向量的基本概念依次判断即可． 【详解】对于A项，空间中所有的单位向量的模都为1，故A项正确； 对于B项，若两个非零向量方向相同且长度相等则它们是相等向量， 但它们的起点与终点可以不相同，故B项错误； 对于C项，若两个非零向量，不共线， 则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个向量不在此平面内， 使得，，不共面，从而构成空间的一个基底， 这与题设“与任何一个向量都不能构成空间的一个基底”矛盾， 故假设不成立，所以，共线，故C项正确； 对于D项，因为，所以，，，四点共面，故D项正确． 故选：ACD 5．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 6．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【分析】选项A，用向量平行的坐标条件，求；选项B，用向量垂直的数量积为0求.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项D，先由相反向量得坐标，再用投影向量公式计算验证. 【详解】选项A，若，则， 即，()，得=，所以A正确。 选项B，若，则 即，得，所以B正确。 选项C，若与的夹角为， 又因为，而， 代入得：，所以C错误。 选项D，若与方向相反，则()，且， ，由，得， 故，在上的投影向量公式为： ，计算，， 代入得：，D正确. 故选：ABD. 7．在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的基本运算 目录 题型一：平面向量的线性运算 1 题型二：平面向量的数量积 3 题型三：极化恒等式与等和线 4 题型四：奔驰定理与三角形四心 5 题型五：平面向量的综合应用 6 多选题练习 8 题型一：平面向量的线性运算 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 5．在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 9．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：平面向量的数量积 1．已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是单位向量，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（    ）． A．3 B． C． D． 4．单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．5 D．6 6．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 9．如图，已知的半径为为该圆的两条切线，为切点，那么的最小值为（    ）． A． B． C． D． 10．已知边长为2的菱形中，，点满足，则 . 题型三：极化恒等式与等和线 1．设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是 ． 2．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 ． 3．已知是边长为6的等边三角形，若点满足，且，其中，则的取值范围为 . 4．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ． 5．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 6．已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：奔驰定理与三角形四心 1．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 2．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 4．若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 5．设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 7．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 8．已知为线段上一点，为直线外一点，满足，，，为上一点，且，则的值为（    ）． A． B．2 C． D．0 题型五：平面向量的综合应用 1．在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 2．已知向量，且，则 ． 3．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 4．平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是 . 5．已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且，则 ；若在线段AB上存在动点P使得，则xy的最大值为 ． 7．已知分别为三个内角的对边，向量，且. (1)求； (2)若，求的面积. 8．在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 9．已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 10．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 多选题练习 1．下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 2．下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 3．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量的模都相等 B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 5．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 6．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 7．在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 学科网（北京）股份有限公司 $