精品解析：贵州省遵义市第十七中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期遵义市第十七中学期中 高二数学试卷 考试时间：150分钟；命题人：姜余；审题人：高二数学组全体教师 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列几何体不是多面体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多面体的定义判断. 【详解】A.该几何体是球，是旋转体； B.该几何体是三棱柱，是多面体； C.该几何体是棱台，是多面体； D.该几何体是三棱锥，是多面体， 故选：A 2. 矩形ABCD中，，.以AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，所得旋转体为圆柱，利用体积公式计算，即可得答案. 【详解】根据题意，所得旋转体为底面半径为2，母线长为1的圆柱， ∴体积. 故选：C. 【点睛】本题考查圆柱的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中与向量平行的向量，即可找出平面的一个法向量． 【详解】因为平面平面，即两个平面的法向量平行， B选项，由，所以向量与向量平行， 故向量是平面的一个法向量，故B正确； 显然ACD选项中的向量均不与向量平行，所以不能作为平面的一个法向量，故ACD均错误． 故选：B． 4. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）倍. A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可． 【详解】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知， 三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半， 故三角形的高变为原来的， 故直观图中三角形面积是原三角形面积的. 故选：A. 【点睛】本题考查平面图形的直观图，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可，属于基础题. 5. 如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形 C. D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】充分利用中点的特征，通过证明，，来得到四边形是矩形，从而确定选项A正确，选项B错误.选项C、D可利用反证法. 【详解】在长方形中，因为点，分别为，的中点， 所以，. 在长方体中，有平面，又， 所以平面，又平面，所以. 在长方形中，同理可得，. 所以，，又，所以四边形是矩形. 故选项A正确，选项B错误. 若，则由知，， 又点，分别为，的中点，所以， 所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误. 由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误. 故选：A. 6. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断平行或垂直. 【详解】A.若若，则或，故A错误； B. 若，则与相交或平行，故B错误； C.若直线相交，若，则，若直线平行，则或相交，故C错误； D.满足面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：D 7. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 8. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（ ） A. 直线CE//平面A1BD B. CE⊥BD1 C. 三棱锥C1－B1CE的体积为 D. 直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断AB，根据三棱锥体积公式判断C，由线面角的定义法判断D. 【详解】以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 故， 设平面A1BD的法向量， 则，即， 令，则， 所以， 因为,所以不垂直平面A1BD的法向量， 故直线CE//平面A1BD不正确，故A错误； 因为， 所以CE⊥BD1不正确，故B错误； 因为，所以三棱锥C1－B1CE的体积为，故C正确; 因为平面CDD1C1，所以即为直线B1E与平面CDD1C1所成的角， 所以，而,所以， 故D不正确. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB 10. 在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 直三棱柱 C. 三棱台 D. 四棱柱 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知结合平面图形分别分析即可得出. 【详解】如图，连接，则平面可截得三棱锥，故A正确； 如图，过作，过作，则过E，F的平面可截得直三棱柱，故B正确. 如图，延长至，连接，分别与交于两点，则可得平面截得三棱台，故C正确； 因为将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱，故D错误. 故选：ABC. 11. 在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点，则（ ） A. 平面平面 B. C. 直线和所成角的余弦值为 D. 该棱柱外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明，，由面面平行的判定定理可判断选项A；证明面，即可判断选项B；由可得即为异面直线和所成角，在中计算即可判断选项C；根据三棱锥的对称性以及等边三角形的性质求出外接圆的半径，由求得面积公式计算面积即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点， 所以且，所以四边形平行四边形，所以， 因为面，面，所以面， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以面， 因为，所以平面平面，故选项A正确； 对于B：因为是等边三角形，是线段的中点，可得，因为三棱柱为直棱柱，可得面，面，所以，由，所以 面，因为面，所以，故选项B正确； 对于C：因为所以即为异面直线和所成角，，，，由余弦定理可得： ，故选项C不正确； 对于D：设上下底面的中心分别为，，则三棱锥的外接球的球心为的中点， 设外接圆的半径为，三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以外接球的表面积为 ，故选项D正确， 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 半径为2的球的体积为__． 【答案】. 【解析】 【分析】由球体体积公式可得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆锥体积公式，利用半径比以及体积相等即可得. 【详解】设窄口容器的液体高度为，宽口容器的液体高度为， 由液体体积相同及液体表面圆的半径分别为3，6可得， 即可得，所以. 故答案为：4 14. 如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，､分别是侧棱､上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】先连接AC交BD于O，进而通过线面平行的性质定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，进而证明∥，得出∥，进一步得到四边形是平行四边形，得出，结合条件的长度关系最后得到答案. 【详解】由题意可知，长方体的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形， 连接AC交BD于O，连接PO，因为EF∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥. 在上截取PQ，使得PQ=PA=1，连接QC，易知O为AC的中点，所以∥， 所以∥，又∥，所以四边形是平行四边形，所以. 又，所以，所以CF=1. 故答案为：1. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体，化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算求得正确答案. 【小问1详解】 因，， 所以． 【小问2详解】 因为，所以 ． 16. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质可知，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据线面垂直性质和正方形特征可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 17. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. （1）求这种“笼具”的体积； （2）现用的纱网材料制作这种“笼具”，问可以制作多少个“笼具”？ 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）先根据条件求圆柱的底面半径，圆锥的高，再分别求圆柱和圆锥的体积，用圆柱的体积减去圆锥的体积即为该“笼具”的体积. （2）分别求圆柱的侧面积、1个底面积和圆锥的侧面积，相加即得该“笼具”的表面积，再用总面积除以“笼具”表面积，可得可制作“笼具”的个数. 小问1详解】 设圆柱的底面半径为，则， 设圆锥的高为，则. 设圆柱的高为，则. 所以， , 所以该“笼具”的体积为. 【小问2详解】 因为圆柱的侧面积为 圆柱的一个底面积为， 圆锥的侧面积为. 所以该“笼具”的表面积为. 因为，所以的纱网材料可制作这种“笼具”20个. 18. 如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. （1）求证：面面 （2）求直线与面夹角的正弦值. （3）在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出的长，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在；. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接和，得，根据面面垂直判定定理得面面； （2）建立空间直角坐标系，确定个点坐标，求出面的法向量，利用向量法及确定角的正弦值； （3）通过向量垂直的条件判断是否存在点，并求出的长度. 【小问1详解】 取的中点，连接和， 由且，得，且，， 由为正三角形，得， 在中，，满足，得， 又面，故面， 而面，由面面垂直判定定理得面面； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，各点坐标： ，为中点，故， 故，因此，， ，设面的法向量为， 则， 令，得，故， 设直线与面的夹角为， 则； 【小问3详解】 设在上，令（），则的坐标为，则， 由，得，即：， 化简得：，解得， 因此，的坐标为，的长度为：. 19. 如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点G在上，且．判断是否存在这样，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定即可证结论. （2）构建以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴空间坐标系，根据已知确定对应点坐标，进而求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值，即可得其正弦值. （3）由题设有且，根据点共面结合（2）中面的一个法向量，利用向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 由面面，则， 又且，可得：面. 【小问2详解】 以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：， 由可得：，由可得：， 设平面的法向量为：，则， ∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量， ∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为． 【小问3详解】 存在这样的. 由可得：，则， 若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为， ∴，即，可得. ∴存在这样的，使得四点共面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期遵义市第十七中学期中 高二数学试卷 考试时间：150分钟；命题人：姜余；审题人：高二数学组全体教师 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列几何体不是多面体的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形ABCD中，，.以AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的体积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）倍. A. B. C. D. 2 5. 如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形 C. D. 平面平面 6. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 8. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（ ） A. 直线CE//平面A1BD B. CE⊥BD1 C. 三棱锥C1－B1CE的体积为 D. 直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A B. C. D. 10. 在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 直三棱柱 C. 三棱台 D. 四棱柱 11. 在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点，则（ ） A. 平面平面 B. C. 直线和所成角余弦值为 D. 该棱柱外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 半径为2的球的体积为__． 13. 两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________. 14. 如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，､分别是侧棱､上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体，化简下列各式： （1）； （2）． 16. 如图，已知四棱锥底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：. 17. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. （1）求这种“笼具”的体积； （2）现用纱网材料制作这种“笼具”，问可以制作多少个“笼具”？ 18. 如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. （1）求证：面面 （2）求直线与面夹角的正弦值. （3）在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出长，若不存在请说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $