专题05 平面直角坐标系（10大题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05平面直角坐标系 题型归纳·内容导航 题型1定位法的应用 题型6根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 题型2判断点所在的象限（常考点） 题型7平面直角坐标系中的平移作图（常考点） 题型3求点到坐标轴的距离 题型8平面直角坐标系中的新定义型问题（难点） 题型4根据点的对称性求参数（常考点） 题型9平面直角坐标系中的动点面积问题（重点） 题型5平面直角坐标系中点的特征（重点） 题型10平面直角坐标系中点的规律探究问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一定位法的应用（共5小题） 1.(24-25七年级下广西南宁.期末)如果剧院里的“5排7号”记作(5,7)，那么(6,4)表示() A.6排4号 B.4排6号 C.6排6号 D.4排4号 2.(24-25七年级下山西吕梁期末)A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（) 70° 北纬60， 50° 40° 120°130°140°150° 东经 A.东经130°，北纬50° B.东经60°，北纬130 C.东经50°，北纬130 D.东经130°，北纬60 3.（24-25七年级下·江西宜春期末)江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下能准确表示 丰城市地理位置的是() A.东接抚州市 B.北纬28° C.距离南昌60公里处 D.东经116°，北纬28 4.(24-25七年级下·湖南湘西·期末)2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧Bot》中，它们 将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果，如果用30,50)表示机器 人从起点向右移动30cm、向前移动50cm,那么机器人从起点向左移动40cm、向前移动60cm可以表示是 () 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（40,60】 B.-40,-60 C.(40,-60 D.-40,60 5.（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特期末)如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A,B,C 三个目标.图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为”，α).其中，”表示目标与船 的距离，O表示以正东方向开始逆时针旋转的角度.例如，目标A,B相对于船的位置分别表示为A(5,30), B(4,240).用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是() 90 120 60 150 309 180° 2345一01 210° 330 240° 3009 270 A.(120°，3 B.(3,120 C.(4,120 D.4,4 题型二判断点所在的象限（共5小题） 6.(24-25七年级下北京·期末)在平面直角坐标系中，点(-2025,2026)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(24-25七年级下·贵州遵义期末)已知点A(5,-6),则点A在平面直角坐标系中位于第()象限 A.- B.二 C.三 D.四 8.(23-24七年级下·浙江台州期末)若m<0,则点Mm,m-1)在() A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 9.(24-25七年级下黑龙江哈尔滨期末)若√a=-a(a≠0)，则在平面直角坐标系中，点P(a,3)在第() 象限 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.一 B.二 C.三 D.四 10.(24-25七年级下河北邢台期末)若关于x,y的方程组 (3x-y=m 与方程组 [2x+3y=n 的解相同， x-y=2 2x+y=1 则点(m,n)所在的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型三求点到坐标轴的距离（共5小题） 11.(24-25七年级下湖南长沙期末)点(7，)到y轴的距离为一： 12.(24-25八年级下·河南安阳·期末)在平面直角坐标系中，点A(-8,15)到坐标原点的距离为」 13.(24-25七年级下·广东湛江·期末)点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，则点 P的坐标为· 14.(24-25七年级下山东日照期末)在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(a-1,-a),把点A到x轴 的距离记作m,到y轴的距离记作n.若a<0,m+n=5,则点A的坐标是， 15.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨期末)己知平面直角坐标系内不同的两点A4,3a+2)和B(2a+2,3)到 y轴的距离相等，则a的值为一· 题型四根据点的对称性求参数（共5小题） 16.（24-25八年级上河北石家庄·期末)若点P(1+m,1-n)与点9(-4,3)关于y轴对称，则m+n的值是 17.(24-25八年级上·甘肃庆阳·期末)已知点Am,n)与点B(1,-3)关于x轴对称，则m+n的值是一， 18.(24-25八年级上青海期末)已知点P(a-1,5)和点P,(2,b+3关于y轴对称，则(a+b)24的值是 19.(24-25八年级上·福建福州期末)在平面直角坐标系x0y中，若点A-2,4)与点B(m,n)关于y轴对称， 则wm的值为一 20.(24-25八年级上广东广州期末)已知M(a-2,b-1)关于x轴对称的点为N(4,2),则a°= 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五平面直角坐标系中点的特征（共5小题） 21.(24-25八年级上.宁夏固原期末)己知点A2a-1,a-1),根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标： (②)若点A在过点P(-4,2)且与x轴平行的直线上，求线段AP的长度. 22.(24-25七年级下.甘肃庆阳·期末)在平面直角坐标系中： (①)若点P(m+3,m-1在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点P(2a+4,3a-6)在第四象限，求a的取值范围. 23.(24-25八年级下河北石家庄期末)在平面直角坐标系中，已知点M(m+2,m-5). (I)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标. 24.(24-25八年级下.河北沧州·期末)已知点P(2a-2,a+5),回答下列问题： (I)点P在y轴上，求出点P的坐标： (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求a2025+2025的值. 25.(24-25七年级下河南商丘·期末)已知点A的坐标为2x+1,-x+5). (1)若点A在x轴上，求点A的坐标. (2)若点A在过点B(-3,1)且与y轴平行的直线上，求点A的坐标. (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值. 题型六根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图（共5小题） 26.(23-24八年级下·四川广安·期末)如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府 和四川省武胜中学校的坐标分别是(0，-2)，（-1,3).解答下列问题： 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四川省武胜中学校 沿口古镇 ●、 --● 县政府. 客运中心 (1)请在示意图中建立平面直角坐标系： (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远 27.(24-25七年级下·福建·期中)如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位 于点1,2)，“车”位于点(-2,2). ® (1)请根据题意，画出平面直角坐标系Oy,并写出炮对应的点坐标： (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标.（按照象棋规则，棋子 “马”只能沿着棋盘上“或的对角线行走) 28.(24-25八年级上河南郑州·期末)如图是河南省行政区域图，图中每个小正方形的边长代表60k,为 了确定各地级市的位置，请解答以下问题： 5/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 安阳 濮阳 鹤壁 济源焦作 ·新乡 三门峡 洛阳 郑州 许昌 商匠 平顶山漯河-+周口 ● 南阿 驻马店 信阳 (1)请你以驻马店为原点建立平面直角坐标系； (2)写出南阳、郑州、新乡、商丘的坐标： (3)驻马店到安阳的最短距离为 km 29.(24-25八年级上辽宁锦州期末)某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1 个单位长度 北 学校 →东 图书馆 超市 0产场 ●。 博物馆 大剧院 ()请以广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)在(1)的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为(4,4)，请在图中标出公园的位置. (3)若超市与图书馆所在的直线为1，大剧院到直线1的距离是多少个单位长度？ 30.(24-25七年级下·湖北襄阳·期末)慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边长代表100m)·慧慧说：“超市的坐标是(200,200).”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向.” 北 影院 超市 图书馆广场 公园 学校少年宫 ()根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴： (2)写出学校、少年宫的坐标： (3)写出超市到少年宫的距离： (④)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上，”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约 为280m,请写出图书馆相对于公园的位置. 题型士平面直角坐标系中的平移作图（共5小题） 31.（23-24八年级上·重庆丰都期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1). y -5-4-3-2-1 O12345x 3 3 (I)在图中画出ABC关于y轴对称的图形△AB,C (2)若A(-2,-2)与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点B坐标是 (3)求△ABC1的面积. 32.(23-24八年级上·新疆喀什，期末)ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点 上 7/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 4 3 5-4-3-2-10 3 45 2 3 5 (I)作出ABC关于x轴对称的△AB,C,并写出C点的坐标； (2)作出ABC关于y轴对称的△A,B,C2,并写出C,点的坐标： (3)求ABC的面积 33.(24-25八年级上·云南大理期末)已知：如图，ABC三个点的坐标分别为A(0,-2),B(2,-4), C(4,-1). y ! 6 5 4 3 65-4-32-1Q 1 23456x A 2 ⊙ -6外 (I)画出ABC关于y轴对称的图形△AB,C1;写出△A,B,C各顶点坐标； (2)求ABC的面积. (3)在x轴上找一点P,使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 34.(24-25八年级上·山东青岛期末)ABC如图所示. 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 343211.234.5六 …………2…… …………3………… …女4…… (I)写出A,B,C三点的坐标. (2)若ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘-1，请你在同一坐标系中描出对应的点A、B、C,并依次 连接这三个点，所得的△A,B,C与原ABC有怎样的位置关系； (3)如果点P是坐标系中格点上的一点，要使点P、B、C构成的三角形与ABC全等，请写出符合条件的 点P的坐标. 35.(24-25八年级上·贵州遵义·期末)某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐 标关系 己知点 A2,-3) B(3,0 C(-2,2) 关于直线x=aa=1 A(0,-3) B( C,(4,2) 的对称点 关于直线 C2( y=b(b=-2)的对称 A22,-1 B2(3,-4 点 e 3 2 5-4-3-2-1 O 2345大 3 5 6 (1)结合图表，写出B 9/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)结合上述探究规律填空： ①点P(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为 ②点P(x,y)关于直线y=b的对称点的坐标为 (3)若点M(2024,2025)与点N(-2023,2025)关于一条直线对称，直接写出M,N两点的对称轴所在直线， 题型八平面直角坐标系中的新定义型问题（共5小题） 36.(24-25七年级上吉林·期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值 称为点P的长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. (1)点A(-3,5)的长距为； (2)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由。 37.(25-26八年级上·全国·期末)新定义：对于平面直角坐标系x0y中的点P(a,b),若点P的坐标为 (a+b,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P为点P的“k属派生点”. 例如：P1,4的“2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6). (1)点P(-1,6)的“2属派生点”P的坐标为 ； (2)若点P的3属派生点”P的坐标为(6,2)，则点P的坐标为 (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P,且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的 值。 38.(24-25七年级上·云南保山期末)平面直角坐标系x0y中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到x 轴、y轴的距离中的最大值等于Q点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”，己知点 A的坐标为(-4,2). 10/16专题05 平面直角坐标系 题型1 定位法的应用 题型6 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 题型2 判断点所在的象限（常考点） 题型7 平面直角坐标系中的平移作图（常考点） 题型3 求点到坐标轴的距离 题型8 平面直角坐标系中的新定义型问题（难点） 题型4 根据点的对称性求参数（常考点） 题型9 平面直角坐标系中的动点面积问题（重点） 题型5 平面直角坐标系中点的特征（重点） 题型10 平面直角坐标系中点的规律探究问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定位法的应用（共5小题） 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如果剧院里的“5排7号”记作，那么表示（   ） A．6排4号 B．4排6号 C．6排6号 D．4排4号 【答案】A 【分析】此题考查了用有序数对表示位置，根据第一个数表示排，第二个数表示号，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，“5排7号”记作，说明有序数对的第一个数表示排，第二个数表示号， 因此，中第一个数6表示第6排，第二个数4表示第4号，即“6排4号”， 故选：A 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了写出图中点的位置，根据图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，A地的位置是东经，北纬， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下能准确表示丰城市地理位置的是（   ） A．东接抚州市 B．北纬 C．距离南昌60公里处 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】此题主要考查了确定地理位置，解答此题的关键是熟知地理上关于某点的表示方法． 根据在地理上常用经纬度来表示某个点的位置，既有经度，又有纬度进行求解即可． 【详解】解：根据地理上表示某个点的位置的方法可知选项D符合条件． 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧》中，它们将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用表示机器人从起点向右移动、向前移动，那么机器人从起点向左移动、向前移动可以表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，用有序数对表示位置，根据向右为正，则向左为负，再根据表示方法进行表示即可． 【详解】解：∵表示机器人从起点向右移动、向前移动， ∴向左移动、向前移动可以表示为； 故选D． 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为．其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为，．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，数形结合是解题的关键．按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】解：∵中，其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度． ∴用这种方法表示目标C的位置为． 故选：B． 题型二 判断点所在的象限（共5小题） 6．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）已知点，则点在平面直角坐标系中位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据坐标的符号特征，确定其位于第四象限，解答即可．本题考查了点与象限的关系，熟练掌握坐标符号特征与象限的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限 故选：D． 8．（23-24七年级下·浙江台州·期末）若，则点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；根据，得出，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ∴点在第三象限， 故选：B． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，各象限点的坐标的特点，根据二次根式的性质求得的值是解题的关键． 先根据二次根式的性质求出的值，然后再根据坐标的特点判定所在象限即可． 【详解】解：， ， 点的横坐标，纵坐标， 在平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限， 故选：B． 10．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．解决本题的关键是根据题意打乱原方程组，构造新的方程组．由于x、y是两个方程组的公共解，所以适合组中的四个方程．先由方程组求得x、y的值，把x、y的值代入方程组求得n、m的值，最后判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 题型三 求点到坐标轴的距离（共5小题） 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“点到轴的距离等于横坐标的长度”即可求解，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到原点的距离，勾股定理， 先确定点Ａ到坐标轴的距离，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：点到x轴的距离是15，到y轴的距离是， ∴点到原点的距离是． 故答案为：17． 13．（24-25七年级下·广东湛江·期末）点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与点的坐标的关系． 设点P坐标为，根据P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，列出关于x、y的方程，解方程求出x、y，再根据点P的位置，求出点P的坐标． 【详解】解：设点P坐标为， 到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4， ，， 解得：，， 点P在第四象限， ，， ，， 点P的坐标为：， 故答案为： ． 14．（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知平面直角坐标系内不同的两点和到轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：两点到y轴的距离相等的点的横坐标相等或互为相反数，根据题意则有，解出方程即可． 【详解】解：点和到轴的距离相等， ， 解得， 故答案为：1或． 题型四 根据点的对称性求参数（共5小题） 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 17．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）已知点与点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴． 故答案为：4． 18．（24-25八年级上·青海·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特点，代数式求值，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可列式求出a、b，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 19．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案， 熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知关于x轴对称的点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得a，b的值，进而得出结论． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 题型五 平面直角坐标系中点的特征（共5小题） 21．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段的长度． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意得到，求解即可得出答案； （2）根据题意得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中： (1)若点在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求解即可； （2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可． 【详解】解：（1）点在x轴上， ， 解得， 点P的坐标为； （2）点在第四象限， ， 解得 23．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)点M的坐标为 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点所在的象限． 对于，根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答； 对于，根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值以及第三象限点的坐标特征可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ， 解得：， 点M的坐标为； （2）解：∵点M在第三象限，且到y轴的距离为3， ∴， 解得：， 点M的坐标为. 24．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的特点进行解答即可； （2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可． 【详解】（1）解：，在y轴上， ，解得：， 点的坐标为，； （2）点P在第二象限， 且。 又点P到x轴和y轴的距离相等， ，可得，即， 解得：， 把代入得：， 答：的值为2024． 25．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案； （3）由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵点A在x轴上， ∴ ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 （3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上， ∴， ∴或． 题型六 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图（共5小题） 26．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键． （1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为， ∴沿口古镇到坐标原点的距离为， 客运中心到坐标原点的距离为． ∴， ∴客运中心离坐标原点更远． 27．（24-25七年级下·福建·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】(1)画图见解析，炮的坐标 (2) 【分析】本题考查的是建立坐标系，根据位置确定点的坐标； （1）根据棋子“马”位于点，“车”位于点，确定坐标原点与坐标轴即可得到坐标系，再结合炮的位置可得其坐标； （2）先画“马”再走一步到达第二象限的位置，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵棋子“马”位于点，“车”位于点， ∴画图如下： ∴炮的坐标； （2）解：“马”再走一步到达第二象限，“马”所有可能出现的新位置如图所示： 此时点坐标为：． 28．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是河南省行政区域图，图中每个小正方形的边长代表，为了确定各地级市的位置，请解答以下问题： (1)请你以驻马店为原点建立平面直角坐标系； (2)写出南阳、郑州、新乡、商丘的坐标； (3)驻马店到安阳的最短距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)南阳，郑州，新乡，商丘 (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）根据平面直角坐标系即可求解． 本题考查了坐标确定位置，掌握平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法是解题的关键． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：依题意，南阳，郑州，新乡，商丘； （3）解：驻马店到安阳的最短距离为； 故答案为： 29．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)请以广场为原点，以正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)在（1）的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置． (3)若超市与图书馆所在的直线为，大剧院到直线的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)见解析 (2)①博物馆的坐标为，②见解析 (3)大剧院到直线的距离是4个单位长度 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征及点到直线的距离，正确理解每个知识点是解题的关键． （1）根据题目要求建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征回答问题①②即可．第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； （３）根据点到直线的距离定义回答即可． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系， （2）①博物馆在第四象限， 博物馆的坐标为； ②公园的坐标为， 公园在第三象限，如图所示； （3）如图，超市与图书馆所在的直线为， 大剧院到直线的距离是4个单位长度 30．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)同意，见解析，东北方向上，且距离为 【分析】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可． （2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可； （3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）； （4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置． 本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下： （2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为． （3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是， 故两地距离为（米）． （4）解：同意， ∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是， ∴都在一三象限的象限角的平分线上， 由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为． 题型七 平面直角坐标系中的平移作图（共5小题） 31．（23-24八年级上·重庆丰都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出关于y轴对称的图形 (2)若与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点坐标是________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题考查了作图：作轴对称图形，求点关于坐标轴对称的点的坐标，割补法求图形的面积． （1）分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点、、，并依次连接这三点即可； （2）根据和两点坐标得出它们关于直线对称，即可求解； （3）用割补法求解，长方形的面积减去三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：，且与点A关于一条直线成轴对称， 和两点关于直线对称， ， 点B关于这条直线的对称点坐标是； （3）解：的面积． 32．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解， (2)见详解， (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求， 点的坐标为； （3）的面积． 33．（24-25八年级上·云南大理·期末）已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再根据各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，连接， 则，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图所示． (1)写出，，三点的坐标． (2)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系； (3)如果点是坐标系中格点上的一点，要使点、、构成的三角形与全等，请写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)、、 (2)图见解析，关于轴对称 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题意观察得知A，B，C三点的坐标； （2）根据题意将A，B，C三点横坐标均乘以得到，依次连接并观察图形即可得到本题答案； （3）结合图得出点、、构成的三角形与全等时点P坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知：、、； （2）∵各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，、、， ∴， ∴将点坐标在平面直角坐标系中画图，如图所示： 通过观察得知与关于y轴对称； （3）如下图，符合条件的点的坐标为． 35．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系． 已知点 ．．． 关于直线的对称点 （______，_______） ．．． 关于直线的对称点 （_________，_______） ．．． (1)结合图表，写出（_________，_______），（_________，_______） (2)结合上述探究规律填空： ①点关于直线的对称点的坐标为___________； ②点关于直线的对称点的坐标为___________． (3)若点与点关于一条直线对称，直接写出两点的对称轴所在直线． 【答案】(1)；0；； (2)；． (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-对称、点的坐标规律等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质在坐标系内确定点、的位置，然后直接写出其坐标即可； （2）根据轴对称的性质即可解答； （3）由题意得，点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：如图： ． 故答案为：；0；；． （2）解：①点关于直线的对称点的坐标为； ②点关于直线的对称点的坐标为． 故答案为：；． （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴M，N两点的对称轴所在直线为． 题型八 平面直角坐标系中的新定义型问题（共5小题） 36．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 37．（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 38．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 39．（24-25八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； （2）解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； （3）解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 40．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 题型九 平面直角坐标系中的动点面积问题（共5小题） 41．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． (1)求点的坐标． (2)在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． (3)在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由非负数的性质求出，，则可得出答案； （2）由三角形面积可得出答案； （3）过点作于点．证出．同理，，得出．则可得出结论． 【详解】（1）解：，满足， ，， 解得，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 又轴，轴， 点的坐标为； （2）解：三角形的面积是12， ， 即， 解得， ； （3）， 理由：如图，过点作于点． 轴，， ， ． 同理，， ． ， 【点睛】． 42．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可； （3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：；；； （2）解：， 轴， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ； 综上所述，三角形的面积； （3）解：∵，，， ，， 设三角形边边上的高为h，则 ， 即， ， ， ， ， ， 由（2）得，即， ， ， 解得， 或． 43．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题． 44．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 45．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半 【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题； （2）①由长方形的性质写出坐标； ②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解． 【详解】（1）解：如图1，设，， 的平分线和的平分线交于点， ，，     ， ， ， ，   过点作，则， ，     ， ， 即的度数为； （2）解：①∵，，， ∴， 由长方形的性质知， ∴； ②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下： ， ∴长方形只在第一象限内移动，     如图2，延长交轴于点，则， ∵，， ∴， 由题意知，，，， ，     ∵， ， ， ， 解得． 题型十 平面直角坐标系中点的规律探究问题（共5小题） 46．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 47．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 48．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，得出横坐标为，而，据此，即可求解，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴，，，， ； ∴的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上， ∴的横坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-对称，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， 观察图象可知，6次一个循环， ∵余2， ∴的坐标与的坐标相同，坐标为， 故答案为：． 50．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ $