专题07 一次函数的应用问题（9大题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题07 一次函数的应用问题 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（重点） 题型6 一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（常考点） 题型7 一次函数中折叠的综合问题（常考点） 题型3 一次函数的应用之行程问题（重点） 题型8 一次函数中的新定义型综合问题（难点） 题型4一次函数的应用之梯度计费问题（难点） 题型9 一次函数与几何图形的综合问题（难点） 题型5一次函数的应用之几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数的应用之分配方案问题（共5小题） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨． (1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【答案】(1) (2)当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元． 【分析】此题考查了一次函数的应用． （1）从长城化工厂运往农场吨化肥，从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场，据此列出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：从长城化工厂运往农场吨化肥， 从长城化工厂运往农场吨化肥， 从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场吨， （2）由于是一次函数，， 随的增大而减小． ，当时，运费最少，最少运费是114600元， 当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】(1)，当时，最小 (2)A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可； （2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴随x的减小而减小， ∵， ∴当时，最小． （2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时，W的值最小， ∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 (2)该经销商获得最大利润是21500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． （2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资 (2)当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是列出方程组和函数解析式． （1）设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资，根据题意列方程组求解即可； （2）先列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资． （2）解：根据题意，得． ∵，， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 故当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨． 题型二 一次函数的应用之最大利润问题（共5小题） 6．（24-25八年级下·山西大同·期末）“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 7．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)每台冰箱进价为2000元；每台空调进价为1600元 (2)购进电冰箱33台，空调67台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出一次函数解析式． （1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据购买3台空调和2台电冰箱共需8800元，列出方程，解方程即可； （2）设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元．得出一次函数解析式，然后根据一次函数增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元， ， 解得：， （元）， 每台空调进价1600元，每台电冰箱进价为2000元． （2）解：设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元． ， ， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即购进电冰箱33台，空调67台时，利润最大． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 (1)求y与x的函数关系式． (2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【详解】（1）解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； （2）解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，且限定商店最多购进A型空调70台，实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m（）元，若商店保持同种空调的售价不变，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大． 【答案】(1)每台A型空调的销售利润为100元，每台B型空调的销售利润为150元 (2)该商店购进A型空调70台，B型空调30台，销售总利润最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）每台A型空调的销售利润为m元和B型空调的销售利润为n元，根据题意列方程求解即可； （2）先求出y与x的函数关系式，然后求出自变量x的取值范围，且x为正整数，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：每台A型空调的销售利润为m元和B型空调的销售利润为n元， 根据题意，得， 解得：， 答：每台A型空调的销售利润为100元，每台B型空调的销售利润为150元． （2）解：由题意，得， ， ， ，且x为正整数， 当时，， y随着x的增大而增大， 当时，y取最大值， 此时， 该商店购进A型空调70台，B型空调30台，销售总利润最大． 题型三 一次函数的应用之行程问题（共5小题） 11．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知两地之间距离600千米．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发半小时后，乙车从地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回地．两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时，_____； (2)求乙车返回过程中，与之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间． 【答案】(1)100，120，5.5 (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象求得甲的速度，根据题意求得乙的速度，进而求得的值； （2）根据待定系数法求解析式即可； （3）将代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲车的速度为：（千米/时）， 乙车的速度为：（千米/时）， ∴， 故答案为∶ 100，120，5.5； （2）解：设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是； （3）解：相遇之前两车最大相距的距离为千米， 相遇后，当时，， 解得， 答：当甲、乙两车相距240千米时，甲车的行驶时间是小时． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时，， 时，， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 13．（23-24八年级下·吉林四平·期末）某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按小强返回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为（米），小强从家出发后的时间为（分），与之间的函数图象如图所示． (1)体育场与小强家的距离为_________米； (2)求小强去体育场时离家的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家． 【答案】(1)3000 (2)（） (3)妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，读懂图象信息是解答本题的关键． （1）根据图象可得结论； （2）运用待定系数法可求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求出点B的坐标，根据点D和点B的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式，将代入其内可求出x的值，用其减去50即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象得体育场与小强家的距离为3000米， 故答案为：3000； （2）解：设直线的解析式为（）， 把代入，得， ， 与之间的函数关系式为（）； （3）解：当时，． ． 设直线的解析式为（）． 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 答：妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家． 14．（23-24八年级下·山东日照·期末）下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【项目主题】品味经典． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 组成员用表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． 根据图1回答下列问题 问题1：乌龟在这次比赛中的平均速度是___________米/分钟； 问题2：试解释图中线段的实际意义； 【分组探究】 组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛， 心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象． 问题3：图2中，表示兔子和乌龟所行的时间，表示所行的路程，求在乌龟行进过程中，当乌龟和兔子相距120米时，是多少？ 【答案】（1） （2）线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟 （3）当乌龟和兔子相距120米时，或或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）用路程除以时间可得乌龟在这次比赛中的平均速度； （2）根据图象即可得到结论； （3）用含的式子表示兔子和乌龟距起点的路程，然后根据条件列出方程即可． 【详解】解：（1）由图象可得赛跑的全程是1200米，乌龟花了60分钟， ∴乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； （2）由图象知，， 即线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟； （3）由图可知，兔子距起点的路程（米）， 乌龟距起点的路程为（米）， ∵乌龟和兔子相距120米， ∴或， ①， ， ∴， 解得：或； ②， ， ， 解得：； 综上，当乌龟和兔子相距120米时，或或． 15．（24-25八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2)米/秒，； (3) (4)秒 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒）， 提速后速度为（米／秒）． 段经过的时间为（秒）， ； 安安警官的速度为（米／秒）， ； （3）解：由题意得点，点． 设线段所在直线的函数解析式为， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段所在直线的函数解析式为， 当时，，当时，． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官后方120米时，， 解得； 当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，， 解得． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）． 题型四 一次函数的应用之梯度计费问题（共4小题） 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 17．（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： (1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； (2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)7， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键. （1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元）， 故答案为：7；； （2）解：设， 把代入，得：， 解得：； ∴； （3）解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 18．（24-25八年级上·山西晋中·期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 元 元 方案二：公共充电桩充电 元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用? (2)当已行驶里程大于千米时，求出电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）的函数表达式．当电池剩余电量为 时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米? (3)李先生都是在电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数） 【答案】(1)到公共充电桩一次性充满电需要元； (2)此时理论上还能继续行驶千米； (3)累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 【分析】（）根据“充电费用一般损耗率充电电量每千瓦时所需费用”计算即可； （）先求出电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：，则电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为，再求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程充满电行驶的最大里程电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可； （）当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时），设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样，列出方程，然后解方程即可； 本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，正确列出函数式与方程是解题的关键． 【详解】（1）解：电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要（元）； 答：到公共充电桩一次性充满电需要元； （2）解：当时，设电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：， ∴，解得：， ∴电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴（千米）， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）， 设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 19．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 题型五 一次函数的应用之几何问题（共5小题） 20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点P是边上一动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点B出发沿向点C以3的速度运动．求的面积与点P的运动时间之间的关系式． 【答案】． 【分析】本题考查了求函数解析式，熟练掌握长方形的性质及三角形面积公式是解题的关键；首先根据点的运动速度和时间求出的长度，进而得到的长度．然后根据三角形面积公式，结合长方形的边长，即可求出的面积与点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：点从点出发沿向点以的速度运动，运动时间为， ． ， ． 四边形是长方形，， 点到的距离等于的长度，即． ， ∴． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 【答案】(1) (2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)2或 【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． （1）分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动， 则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为2或． 22．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)16 【分析】本题考查三角形的面积、函数关系式，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据在等腰三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D． ∵在等腰三角形中，， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴底边上的高h为8． （2）解：， ∴S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围为． （3）解：当时，． 23．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动，到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出的取值范围为，再分两种情况：和，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据一次函数图象的画法画出两段函数图象，再写出函数的增减性即可得； （3）先求出这三个临界点处的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 当时，点在（含两个端点）上运动， 则， ∴的面积为； 当时，点在（含端点）上运动， 则， 如图，过点作于点， 在中，， ∴的面积为， 综上，． （2）解：在直角坐标系中画出的函数图象如下： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：将点代入得：，解得， 将点代入得：， 将点代入得：，解得， 由函数图象可知，若与的图象有且只有一个交点，则或． 题型六 一次函数与三角形的面积问题（共5小题） 25．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴负半轴交于点，且，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为，则点B的坐标为 (2)12 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成时三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令x，y为0即可得出点A，B两点的坐标； （2）画图结合三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得：， 则点A的坐标为， 当时，，则点B的坐标为． （2）解： 当点P在x轴的负半轴上时，如图， ∵， ∴， ∴的面积． 26．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的周长为（）； (2)存在，或． 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，进而求出点的坐标，求出点横坐标，代入解析式，进而求出点坐标，勾股定理求出的长，再利用周长公式进行计算即可； （2）设，直线与轴交点为，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由得， ∴，， ∵轴于，又点在的图象上， 设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）如图，假设存在点满足题意，设，直线与轴交点为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴，解得或， ∴或． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别与直线交于点． (1)求的值及的面积； (2)若，求的值； (3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)5；7 (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积． （1）由直线求得E的坐标，代入求得b的值，即可求得D的坐标，再求出A，B点坐标即可求得的面积； （2）通过证得，得出，进而根据点E的坐标，求得点M的横坐标，从而求得a的值． （3）由勾股定理求出，分为底和腰两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， 把E点的坐标代入得，， 解得， ∴直线为， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴； ∴， ∴． （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为． （3）解：过点作于点 ∵， ∴, ∵ ∴ ∴由勾股定理得，； 若为腰时，则，如图， ∴； 若为底时，则的垂直平分线交于，则。 设，则 ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 28．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，且，过A作x轴平行线． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数； (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求N点的坐标． 【答案】(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）利用平方与算术平方根的非负性即可求解； （2）构造轴，利用平行线的性质求解即可； （3）先求出直线的解析式为，利用，求出，再设出直线的解析式为，得到，利用，得到，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：如图，过D点作轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴，， 又∵m，n满足， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象与性质，涉及到了解一元一次方程、算术平方根的非负性和平行线的性质等知识，解题关键是会进行面积的转化以及求一次函数的解析式． 29．（24-25八年级下·重庆梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入求出的值，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； （3）解：如图，连接，过点Q作轴于点H， 设点P的坐标为， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此时，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 题型七 一次函数中折叠的综合问题（共2小题） 30．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在，或. 【分析】（1）先求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）计算，可得，点是轴上一动点，设，可得，再进一步求解即可； （3）分两种情况讨论：①，；②，；然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一动点，设， ∴， ∴或； ∴或； （4）解：如图，过作，使，则为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 综上：的坐标为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 31．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型八 一次函数中的新定义型综合问题（共4小题） 32．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 33．（21-22八年级下·福建厦门·期末）定义：一次函数与（a，b为常数且）叫做一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是______； (2)若，一次函数与它的交换函数的图象交于点P． ①求点P的横坐标； ②两个函数图象与y轴的交点分别为点A和点B，求的面积（用含b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据交换函数的定义作答即可； （2）①先求出的交换函数为：，联立：，即可求解；②先求出一次函数和与y轴的交点坐标为(0,b)、(0,2)，即可得AB=b-2，结合交点P的横坐标为1，以及，即可求解． 【详解】（1）的交换函数为：， 故答案为：； （2）①的交换函数为：， 联立：， 即有：， ∵， ∴， ∴，即， 故交点P的横坐标为1； ②当x=0时，，， ∴一次函数和与y轴的交点坐标为(0,b)、(0,2)， ∵， ∴AB=b-2， ∵交点P的横坐标为1， 又∵， ∴， 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质以及根据一次函数求解其与坐标轴的交点等知识，掌握一次函数的性质以及新定义交换函数的含义是解答本题的关键． 34．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. (1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; (2)设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)函数是函数的“友好函数”，理由见解析 (2)①;②, 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质,弄懂“友好函数”的定义是解题的关键. (1)根据定义进行判断即可; (2)①求出点的坐标为,再求出函数的“友好函数”,根据点在函数的“友好函数”图象的上方得到,整理后根据即可得到p的取值范围;②将点的坐标代入“友好函数”得到由得到将代入“友好函数”得到,把代入得到 解得,进一步即可求出定点Q的坐标. 【详解】（1）解：是函数的“友好函数”, 理由:由函数的“友好函数”为: 把代入上式, 得, 函数是函数的“友好函数”; （2）解:①解方程组 得, 函数与的图象相交于点, 点的坐标为 的“友好函数”为 点在函数的“友好函数”图象的上方, 整理得, 的取值范围为; ②存在,理由如下: 函数的“友好函数”图象经过点. 将点的坐标代入“友好函数”,得 将代入, 把代入, 得 解得: 当,则 , 对于不等于2的任意实数,存在“友好函数”图象与轴交点的位置不变. 35．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）我们知道：任意一个二元一次方程（a、b、c为常数，且）有无数个解．现约定：在平面直角坐标系中，不妨将二元一次方程的每一个解用一个点的坐标表示出来，记为，称为“关联点”；将这些“关联点”在坐标系中连接便可得到一条直线，称这条直线为“关联点”的“关联线”．结合定义，根据所学，解决下列问题： (1)若“关联线”，则在、三点中，是“关联线”l的“关联点”有 （填字母）； (2)已知D、P两点是“关联线”的“关联点”，且D在y轴上；E、P两点是“关联线”的“关联点”，且E在y轴上．若在平面直角坐标系中存在一点Q，满足且． ①求点D与点E的坐标； ②求点Q的坐标． 【答案】(1)A、B (2)①D，E；②Q或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了新定义理解，方程和函数的关系等知识，读懂题意，将“关联点”问题转化为适合方程是解题的关键． （1）分别把，，代入求解即可； （2）分别把代入，求解即可；②根据题意设，即可求出，再根据且，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：； 把代入得：； 把代入得：； ∴是“关联线”l的“关联点”有A、B点； （2）解：①∵D点是“关联线”的“关联点”，且D在y轴上， ∴把代入得：， ∴； ∵E点是“关联线”的“关联点”，且E在y轴上， ∴把代入得：， ∴； ②由①得：，， ∴， ∵P点是“关联线”的“关联点”， ∴设， ∵P点是“关联线”的“关联点”， ∴设， ∴，解得：， ∴ ∵且， ∴Q或； 题型九 一次函数与几何图形的综合问题（共6小题） 36．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，四边形是正方形，点E在上，连接，于点F．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象经过点D，E． (1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标； (2)连接，判断与的数量关系，并给予证明； (3)连接，点G在直线上，若，求点G的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）以点为原点，建立直角坐标系，设，则点D的坐标为，将点D的坐标代入，即可求解， （2）由，求出，由，得到，点M的坐标为，进而求出直线的表达式为，联立求出点F的坐标为，根据由勾股定理得，，即可求证， （3）分两种情况讨论：（i）当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得， 由，为等腰直角三角形，得到，作，，由，得到，，即可求解；（ii）当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则，此时点的坐标为，求出直线的直线表达式为，联立即可求解． 本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，两直线交点坐标，解题的关键是：熟练掌握分情况讨论． 【详解】（1）解：以点为原点，建立直角坐标系， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则点D的坐标为， 将点D的坐标代入，得， 解得， ∴点D的坐标为， （2）解：， 如图2，延长交于点M， ∵直线的表达式为， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， 联立 解得， ∴点F的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， （3）解：分两种情况讨论： （i）如图3，当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，延长交x轴于点P，过点G作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点G的纵坐标为， 当时，， ∴点G的坐标为， （ii）如图4，当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则 ，此时点的坐标为， 设直线的直线表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， ，解得， ∴点G的坐标为， 综上所述，点G的坐标为或． 37．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能， 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）设点的坐标为，过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点，同（2）理可证得，从而，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则，所以点坐标为； 令，则，所以点坐标为． 所以点、坐标分别是和； （2）解：如图，过点向轴作垂线，为垂足．    为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为，假设以为直角边的△BQC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ∴由，，， 此时，m适合题意． 此时．    【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 38．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点C，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)_______，________； (2)若直线轴且在y轴右侧，直线与直线，分别交于点D和点E，，求点D的坐标； (3)若点P是直线上一点，是否存在点P使得三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，9； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式即可得b，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）设点D的坐标为，则点E的坐标为，由，可列出关于m的含绝对值的一元一次方程，解之可求出m的值，再将其代入点D的坐标中，即可求出结论； （3）存在，设点P的坐标为，根据三角形的面积为9，可列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程解之可求出n的值，再将其代入点P的坐标中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 将代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为； ； 故答案为：，9； （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 又， ， 解得：， 因为在轴右侧，所以舍去 当时，； 点的坐标为； （3）解：存在，设点的坐标为， ， 解得：或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是∶(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；(2)根据，列出关于m的含绝对值的一元一次方程；(3)根据三角形的面积为9，列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程． 39．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 40．（25-26八年级上·全国·期末）如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； (3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）长方形的性质，得到，，平行线的性质结合角平分线的定义推出，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，进而得到，用含的表达式表示出的长，三角形的面积公式求出S与x的函数关系式即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标，求出的长，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵的平分线在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则：， 解得：， ∴； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，则：， 由（1）知，直线的解析式为， ∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵的周长， ∴当点在线段上时，的周长最小为的长， 同（1）法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 41．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07一次函数的应用问题 题型归纳·内容导航 题型1一次函数的应用之分配方案问题（重点） 题型6一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2一次函数的应用之最大利润问题（常考点） 题型7一次函数中折叠的综合问题（常考点） 题型3一次函数的应用之行程问题（重点） 题型8一次函数中的新定义型综合问题（难点) 题型4一次函数的应用之梯度计费问题（难点） 题型9一次函数与几何图形的综合问题（难点） 题型5一次函数的应用之几何问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一一次函数的应用之分配方案问题（共5小题） 1.(24-25八年级上·陕西西安期末)长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥 运往两家农场，如果从长城化工厂运往A农场和B农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往 A农场和B农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知A农场需要化肥1100吨，B农场需要化肥1400吨. (1)如果设从长城化工厂运往A农场x吨化肥，求此时所需的总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式（直 接写出自变量x的取值范围). (②)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费， 2.(24-25八年级上·甘肃兰州期末)现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各 有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元吨，到乙地30元/ 吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨.设A村往甲地运送蔬菜x吨. (1)设A村运费为W元，请写出W,与x的函数关系式，并说明x为何值时，W4最小？ (②)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式.并求出当1≤x≤14时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 3.(24-25八年级上广东深圳期末)某服装经销商计划购进A型、B型两种型号的童装.若购进1件A型 童装和1件B型童装需用50元，若购进2件A型童装和3件B型童装需用120元. (I)求每件A型童装和每件B型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进A型童装和B型童装共100件.若A型童装的定价为260元； B型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装，该经销商获得的最大利润是多少？ 4.(24-25八年级上·安徽阜阳·期末)在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就 是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究， 1/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 决定租用当地租车公司一共62辆A,B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种 型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 ⊙ 20人辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元. (I)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用， 5.(23-24八年级上贵州毕节·期末)北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发 生62级地震.一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、 乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 甲种货车辆 乙种货车辆 运送物资总数/ 次数 数 数 旽 第 2 24 次 第二 2 5 38 次 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车m(2≤m≤8)辆， 当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值？最大是多少吨？ 题型二一次函数的应用之最大利润问题（共5小题） 6.(24-25八年级下山西大同期末)“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两 种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进 两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝.设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获 利润y元. 2/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求出y与x之间的函数关系式. (②)该花店如何进货才能获得最大利润？ 7.(24-25八年级下·湖北恩施期末)某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的 进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元. (①)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元.若商店准备购进这两种家电共100 台，其中购进电冰箱x台33≤x≤40)，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 8.（24-25八年级下·河北廊坊期末)近年来，文旅业爆火出圈，尤其以汉服文化”最为游客喜爱，古城附 近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示.设购进甲系列汉服x套， 该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元. 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套》 60 80 售价（元/套） 100 150 (I)求y与x的函数关系式， (②)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则 汉服店可获得的最大利润是多少元？ 9.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期末)“中国乳都呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写 城市传奇、铸就辉煌.其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一，某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合 以下材料解决问题. 内容 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总 金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、 材 乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐. 料 y(元) 1500---- 500 50150x(罐) 3/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 材 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于 料 150罐，且不高于400罐. 任 务 (1)根据图像求出y与x的函数关系式. 任 (2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利 务 润为w元，求出w(单位：元)与乙种品牌酸奶的进货量x(单位：罐)之间的函 数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案. 10. (24-25八年级下·福建厦门期末)红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元， 销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元. (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润： (②)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，且限定 商店最多购进A型空调70台，实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m(50<m<100)元，若商店保 持同种空调的售价不变，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B 型空调各多少台，销售总利润最大. 题型三一次函数的应用之行程问题（共5小题） 11.(24-25八年级下·吉林长春期末)已知A,B两地之间距离600千米.甲车从A地出发匀速开往B地， 甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地.两 车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： 4/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y(千米) 600 550 50万 00.5 x(小时) (1)甲车的速度是 千米时，乙车的速度是 千米/时，m=; (2)求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式： (3)当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间. 12.(24-25八年级上·辽宁沈阳·期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相 向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地.行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后 立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶.两车之间的距离yk)和货车行驶时 间x(h)之间的函数图象如图①所示， Ay/km As/km 320 320f 240 160 80 40----- 0 28D 5/h 0 12345 3 ① ② (1)货车的速度为 km/h,轿车的速度为 km/h (2)求线段DE表达式： (3)在图②中，画出货车离乙地的距离s(km)和行驶时间xh)之间的函数图象. 13.(23-24八年级下·吉林四平.期末)某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结 束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按小强返 回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为？（米），小强从家出 发后的时间为t（分)，s与t之间的函数图象如图所示 5/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s/米 D 3000 小强 、B 妈妈 C 0 20 30 501分 (1)体育场与小强家的距离为 米； (②)求小强去体育场时离家的距离s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家. 14.(23-24八年级下·山东日照·期末)下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题. 【项目主题】品味经典， 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟， 骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌 龟先到达终点。 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，乃、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能 大致表示上面故事情节的图象，如图1. y(米) 1200 1000 800 600 400 B 200 10203040506070x(分) 图1 根据图1回答下列问题 问题1：乌龟在这次比赛中的平均速度是 米/分钟； 问题2：试解释图中线段AB的实际意义； 【分组探究】 B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛， 心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔 子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘 制如图2的图象. 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y(米) 1200 1000 800H 600H 400 200H 102030405060x(分) 图2 问题3：图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，、y2表示所行的路程，求在乌龟行进过程中，当乌龟和 兔子相距120米时，x是多少？ 15.(24-25八年级下河北邢台期末)随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器 人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处(A,B在同一直线上)巡逻，安安 警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.己知安安 警官、麦克警官行走的路程y(米)，乃（米）与安安警官行走的时间x(秒)之间的函数关系图象如图2 所示. y(米) 450 310 ② /① 3042---- E 0 1517 x(秒) 安安 麦克 图1 图2 (1)如图2，折线①表示 警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”)； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m,n的值； (3)求折线①中线段EF所在直线的函数解析式： (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长. 题型四一次函数的应用之梯度计费问题（共4小题） 16.(24-25七年级下·河南郑州期末)为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收 费标准，具体如下： 7/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 年用水量 收费标准 不超过180t部分 4.40元/t 超过180t,不超过300t部分 5.95元/t 超过300t部分 10.60元/t 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准。 (1)小明同学家2023年用水xt(x<180),应交水费y元.写出y与x之间的关系式： (2)小明家2024年交了911元水费，求2024年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因。 17.(24-25八年级下·重庆南川期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3~10km的出行 市场，现有A,B两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费y(元)与骑行时间x(m)之间的函 数关系，其中A品牌收费方式对应y,B品牌的收费方式对应% y(元) 10 10 20 x(min) 请根据相关信息，解答下列问题： ()B品牌共享电动车的起步价是元；A品牌共享电动车的收费是每分钟元； (2)求B品牌共享电动车超过10min后，收费2关于x的函数解析式： (3)请直接写出当骑行时间x为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元. 18.(24-25八年级上山西晋中期末)李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为50千瓦时，目 前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程x(千米) 有如图关系. 安装费 方案 每千瓦时所需费用 用 方案一：私家安装充电桩 2500元 0.5元 8/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费） y(千瓦时) 50N 25 250350x(千米) (①)己知新能源车充电时一般损耗率为1.1，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为 50×1.1×0.5=27.5（元)，则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于250千米时，求出电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程x(千米)的函数表达式.当 电池剩余电量为15%时，会提示充电，此时理论上还能继续行骏多少千米？ (3)李先生都是在电池剩余电量不低于25千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方 案费用一样.（结果保留整数） 19.(24-25八年级下，新疆喀什期末)我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之 一，为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价 的含义：用水量不超过144m3,每立方米收费3.15元，用水量在144240m3,前144m3按3.15元/m3, 144240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推) 价格 年用水量 供水类型 阶梯分类 (元/ (m3) m3) 第一阶梯 0-144(含) 3.15 居民生活 第二阶梯 144240(含) 4.05 用水 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为xm3,请按阶梯分类求用水年费用y(元)关于年用水量x(m3)的函数解析 式 (2)若小米家2024年全年用水量为120m3,则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量. 9/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五一次函数的应用之几何问题（共5小题） 20.(24-25八年级上陕西西安期末)如图，在长方形ABCD中，AB=5Cm,BC=7cm,点P是边BC上 一动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点，点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动.求 △QPC的面积y(cm)与点P的运动时间x(s)之间的关系式. A B D 21.(24-25八年级上江苏扬州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,AB=5.动点P以 每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线C→A→B运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间 为t秒(0<t<8),aBCP的面积为y. 8 6 5 3 1 o1234567897 (I)求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (②)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： (3)当aBCP的面积等于4时，结合函数图像，求t的值 22.(24-25八年级下·河北石家庄·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=12,点P在 边BC上运动（不与点B,C重合），连接AP,设BP=x,△ABP的面积为S. A B 10/19