精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

2025~2026学年第一学期高二第二次月考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为． 故选：C． 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数的值. 【详解】因为共面，所以存在实数对,使得, 即， 所以解得 故选：D． 5. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 6. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线（、为常数）则（ ） A. 若，，则曲线为椭圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D. 存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线方程的形式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，则曲线为圆，A错； 对于B选项，若，则曲线为双曲线，B对； 对于C选项，对任意实数、，曲线中的、都无一次项， 即曲线不会是拋物线，C对； 对于D选项，取，，可得，此时，曲线表示两条平行直线，D对. 故选：BCD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，，不垂直，A错误； 对于B，三棱锥的体积，B正确； 对于C，，，而， 即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误； 对于D，，设平面的法向量，则， 取，得，与平面所成角的正弦值，D正确. 故选：BD 11. 已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（ ） A. B. 若，则直线过定点 C. 若，则直线的斜率为 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线定义求得，判断A选项；设直线方程，联立直线和抛物线方程，借助韦达定理，由得，解得，得到直线必过的定点，判断B选项；由得三点共线，设根据题意和抛物线的性质可知，，，然后由直角三角形边角关系求得斜率，判断C选项；求出外接圆圆心的纵坐标，即可求得该圆半径，判断D选项. 【详解】对于A，根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线，，故A正确； 对于B，因为直线，，的斜率必存在，设直线的方程为，，， 联立方程消去得，则，，，因为， 所以， 解得，满足，所以直线过定点，故B正确； 对于C，因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，当在第一象限时，如图，过点，分别向准线作垂线段，， 过点向作垂线段，设，则，，， 则，，，， 当在第二象限时，同理可得，所以直线的斜率为，故C错误； 对于D，因为线段的垂直平分线为，所以外接圆圆心的纵坐标为，所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求得即可求得的值. 【详解】因为，所以存在实数，使得，即， 所以，所以 故答案为： 13. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可； （2）利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为， 由可得，，所以，解得， 所以双曲线的右焦点为， 所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由，得双曲线的右顶点为， 因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为， 设，，联立直线与拋物线的方程， 消去，得，所以，， 所以． 17. 已知圆，圆． （1）讨论圆与圆的位置关系； （2）当时，求圆与圆的公切线的方程． 【答案】（1）答案见解析 （2），或. 【解析】 【分析】（1）求两圆圆心距及半径，利用几何法判断两圆位置关系； （2）先判断两圆位置关系，法一，设出公切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系待定系数即可；法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与轴交点坐标，再由交点设出点斜式方程待定斜率即可. 【小问1详解】 由题意知， ，两圆的半径分别为和4， ①当，即， 解得或时，圆与圆内含； ②当，即， 解得或时，圆与圆内切； ③当，即， 解得时，圆与圆相交； ④当时，，无解， 即圆与圆不可能外切也不可能外离． 综上所述，当或时，圆与圆内含； 当或时，圆与圆内切； 当时，圆与圆相交. 【小问2详解】 当时，由（1）得圆与圆相交，由图可知公切线的斜率存在， 法一：设圆，圆的公切线的方程为，即， 则由直线与两圆都相切可得， ，所以， 则，或 即或，分别代入， 得或（无解），解得， 所以，或. 则公切线方程为或， 即为，或. 法二：因为两圆圆心都在轴上， 则由对称性可知，两公切线关于轴对称，且交点在轴上，设为点， 如图，，则与相似， 则有，又由, 得，所以有， 解得，即， 设公切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 则公切线方程为或， 即为，或. 18. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）把问题转化为证明即可； （2）证明出，利用勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，然后计算出平面的一个法向量和平面的一个法向量，最后利用二面角的向量公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 易知， 因为， 所以， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 所以. 【小问3详解】 如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则， 设， 则 由得 解得， 所以，则. 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设二面角的大小为，因为，所以. 所以， 整理得， 解得或(舍去). 故线段上存在满足题意的点，且点为线段的中点. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高二第二次月考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 6. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线（、为常数）则（ ） A. 若，，则曲线为椭圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D. 存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 10. 如图，在棱长为2正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 11. 已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（ ） A. B. 若，则直线过定点 C. 若，则直线斜率为 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则___________． 13. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知双曲线右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线标准方程； （2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 17. 已知圆，圆． （1）讨论圆与圆位置关系； （2）当时，求圆与圆的公切线的方程． 18. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $