专题2.4 二次函数应用（2大考点+ 7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

专题2.4 二次函数的应用 教学目标 1. 能分析实际问题（如利润、面积、拱桥问题）中变量的二次函数关系，掌握建立数学模型的方法。 2. 能运用二次函数的图象与性质，结合顶点、端点特征求解实际问题的最值。 3. 体会数形结合与建模思想，感受数学在生活中的应用价值，增强用数学解决问题的意识。 教学重难点 1.重点 （1）核心是将实际生活中的最值问题（如销售利润、图形面积）转化为二次函数的最值问题。 （2）关键是掌握利用二次函数顶点坐标或增减性求实际问题最值的方法。 2.难点 （1）难点在于读懂实际问题题意，准确提炼变量间的数量关系，正确构建二次函数模型。 （2）难以理解函数图象的顶点、端点与实际问题最值的关联，尤其在自变量有取值限制时易出错 。 知识点01 二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 3．（河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题）网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元） (1)求出与之间的函数关系式； (2)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 题型01 拱桥问题 【典例1】（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为 米． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．          (1)求抛物线的表达式； (2)若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 题型02 销售问题 【典例2】（25-26九年级上·重庆·月考）霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为 元． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． (1)若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 题型03 投球问题 【典例3】（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 【变式1】（25-26九年级上·四川广元·月考）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 【变式3】（25-26九年级上·云南红河·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门OB高为．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)通过计算判断小明此次射门能否射入球门内． 题型04 喷水问题 【典例4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【变式1】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度与水平距离之间的函数图象，点为两个水柱的落水点，点为两个水柱的最高点．点的坐标为．喷头的高度为． (1)求右面抛物线的函数关系式； (2)若需要在上的点处竖立雕塑，．，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 题型05 图形问题 【典例5】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·期中） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 题型06 图形运动问题 【典例6】（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点 D 从点A 出发，沿A→C→B 运动．在运动过程中，过点 D 作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则 y关于x的函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 题型07 跳跃问题 【典例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 题型08 隧道问题 【典例8】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【变式1】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道的底部宽：为，高为，集装箱的宽与货车的宽都是，集装箱顶部离地面，这辆货车 通过这个隧道（填“能”或“不能”）． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． (1)求抛物线的关系式； (2)现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 题型09 增长率问题 【典例9】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为 ． 【变式2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 题型10 实物问题 【典例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为 ． 【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． (1)写出和的解析式：__________； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，小瑞乘雪橇从点A处沿的斜坡滑行，滑行的距离与时间之间的函数表达式为，已知滑到坡底B的时间为，则小瑞滑行的竖直高度为 m． 7．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为 ． 8．（25-26九年级上·山西阳泉·期中）景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，则当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为 ．（结果保留根号） 9．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲 个房间； （2）每间定价为 元时，种客房一天的营业额最大． 10．（25-26九年级上·广西钦州·期中）近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 12．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． (1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． (2)一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 13．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某超市销售一种文创产品，已知每个文创产品的进价为15元（不计其他成本）：经市场调查发现，当售价为20元/个时，每天的销售量为50个．若每个的售价每降低1元，每天就能多售出5个，为了回馈客户，超市决定将这种文创产品适当降价销售． (1)超市要想使这种文创产品每天的销售利润达到220元，每个文创产品应降价多少元？ (2)超市每天销售这种文创产品的利润可以达到300元吗？请说明理由． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 15．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 16．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）为迎接羽毛球比赛，小明进行了羽毛球练习．如图1所示，将羽毛球从点击出，在处落到地面，羽毛球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2所示，比赛前夕，组委会以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线一定经过两点，不一定经过点（落地点会发生变化），求出解析式中与之间满足的关系式； (3)在（2）的条件下，若羽毛球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 17．（25-26九年级上·广东广州·月考）某广场的音乐喷泉是随着音乐节拍的变化而变化的抛物线形水线．如图所示，随着音乐节拍的变化，出水口会喷出一组不同的抛物线形水线．抛物线形水线的形状在变化过程中，每条抛物线形水线总是在与出水口的水平距离为米处达到最高，高度（相对于出水口的竖直高度）为米．已知喷泉的出水口与水线的落地处、岸边的观赏点既在同一直线上，也在同一高度，并且出水口与观赏点的水平距离为米，请先建立平面直角坐标系，再解决以下问题． (1)若，喷出的抛物线形水线最大高度为米时，求此时喷出的抛物线形水线对应的函数解析式； (2)当时，若喷出的抛物线形水线不能触及岸边的观赏点，请通过计算判断：抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度（相对于出水口的竖直高度）能否超过米？ 18．（25-26九年级上·河北沧州·期中）下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 二次函数的应用 教学目标 1. 能分析实际问题（如利润、面积、拱桥问题）中变量的二次函数关系，掌握建立数学模型的方法。 2. 能运用二次函数的图象与性质，结合顶点、端点特征求解实际问题的最值。 3. 体会数形结合与建模思想，感受数学在生活中的应用价值，增强用数学解决问题的意识。 教学重难点 1.重点 （1）核心是将实际生活中的最值问题（如销售利润、图形面积）转化为二次函数的最值问题。 （2）关键是掌握利用二次函数顶点坐标或增减性求实际问题最值的方法。 2.难点 （1）难点在于读懂实际问题题意，准确提炼变量间的数量关系，正确构建二次函数模型。 （2）难以理解函数图象的顶点、端点与实际问题最值的关联，尤其在自变量有取值限制时易出错 。 知识点01 二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 3．（河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题）网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元） (1)求出与之间的函数关系式； (2)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) ； (2) 第天所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答． 活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件，根据利润销量单位利润，可得函数关系式：； 根据二次函数的性质可知当时，取最大值，又因为促销活动只有天，所以当时所获利润最大，把代入函数解析式计算即可求出最大利润． 【详解】（1）解：活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件， 可得：， 整理得：； （2）解：二次函数中， 有最大值， 二次函数的对称轴为， 当时，取最大值， 由题意可知：， 当时，有最大值， 最大值为， 第天所获利润最大，最大利润是元． 题型01 拱桥问题 【典例1】（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为 米． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，把代入求出k，根据镜面对称可得，即可求得结果． 【详解】解：∵约为24米， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴主桥拱最高点点坐标为， ∵P和关于x轴对称， ∴（米）， 即主桥拱最高点到水中倒影的距离为22米． 故答案为：22． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．          (1)求抛物线的表达式； (2)若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】(1) (2)可以安全通过此桥 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线型桥洞问题），解题的关键是根据已知条件确定抛物线的顶点与交点坐标，进而求出表达式，再结合实际场景分析船的通行情况． （1）根据桥洞的跨度、拱高确定抛物线的顶点与交点坐标，设出抛物线表达式并代入求解； （2）先确定船对应的水平位置，代入抛物线表达式求出桥洞此处的高度，再结合船的高度判断能否安全通过． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线． 拱顶的坐标为，为抛物线的顶点． 设抛物线解析式为：． 经过点， 解得． 抛物线的函数表达式为：； （2）如图，观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点． 根据吃水深度可知在起拱线下方处． ， 点的横坐标为：． 当时，， 即点到水面的高度为． 船顶到船底的距离为，吃水深度为， 观赏船在水面上方的高度为， ， 观赏船可以安全通过此桥． 题型02 销售问题 【典例2】（25-26九年级上·重庆·月考）霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】设降价元，则售价为元， ∵进价为50元， ∴每个利润为元． 又∵每降价1元，多售5个， ∴降价元，多售个，销售量为个． ∵利润= 每个利润销售量 ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为 元． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键． 设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设所获利润为w元 由题意得： 由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w取得最大值，最大值为25元 故答案为：25． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查“二次函数的实际应用”，根据题意找到等量关系是解题关键． 根据利润公式，利润等于每件利润乘以销售件数，结合涨价对售价和销售量的影响，列出函数关系式即可． 【详解】由题意得，涨价x元，售价为元，销量为件， 故利润． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． (1)若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)24元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后商品的价格从144元变为81元建立方程求解即可； （2）设每件降价m元，每天的利润为W元，根据每天的利润等于每件商品的利润乘以销售量列出W关于m的二次函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每件降价m元，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每件应降价24元才能使每天获得的利润最大． 题型03 投球问题 【典例3】（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值． 【详解】解：令，则， 解得或（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·四川广元·月考）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出x的值即可． 【详解】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·云南红河·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门OB高为．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)通过计算判断小明此次射门能否射入球门内． 【答案】(1) (2)小明此次射门能射入球门内 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的解析式，再将代入求出的值即可； （2）令，将求出对应的的值与作比较后即可判断． 【详解】（1）解：由题意知：该抛物线的顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数解析式； （2）∵当时，， ∴小明此次射门能射入球门内． 题型04 喷水问题 【典例4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，把一般式化为顶点式求解是解题的关键． 根据判断最值即可． 【详解】， ， 二次函数有最大值是． 故选． 【变式1】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度与水平距离之间的函数图象，点为两个水柱的落水点，点为两个水柱的最高点．点的坐标为．喷头的高度为． (1)求右面抛物线的函数关系式； (2)若需要在上的点处竖立雕塑，．，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)顶部不会碰到水柱 【分析】本题考查的是二次函数的应用． （1）根据题意设右边的抛物线为：，再进一步求解即可． （2）当时，，再进一步判断即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为． ∴设右边的抛物线为：， ∵喷头的高度为． ∴， ∴， 解得：， ∴右面抛物线的函数关系式为：． （2）解：∵， 当时， ， ∵， ∴， ∴顶部不会碰到水柱． 题型05 图形问题 【典例5】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求自变量的取值范围． 用x表示的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长列不等式，可求x的范围． 【详解】解：由已知得：， ∴， ∵墙长， ∴， 解得， ∴x的取值范围为； 故答案为：，． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·期中） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 【答案】(1)与墙垂直的一边的长度为 (2)，要想使花圃的面积最大，则，最大面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：与墙垂直的一边的长度为； （2）解：由题意得， ， ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴，且， ∴， ∵， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴要想使花圃的面积最大，则，最大面积为． 题型06 图形运动问题 【典例6】（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点 D 从点A 出发，沿A→C→B 运动．在运动过程中，过点 D 作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则 y关于x的函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的知识；根据题意可知，点C为临界点，分别研究D在C点两侧时的情况即可． 【详解】解：当 在中，， ， ，函数为开口向上的抛物线； 当时， 在中，， ， ，函数为开□向下的抛物线， 根据解析式可知C正确， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 【答案】 2 4 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2， 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 题型07 跳跃问题 【典例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， 当时，有最大值为， 他能跳过的最大高度为. 故选：A ． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是掌握二次函数的性质．把分别代入函数解析式求出的值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键. 利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴他能跳过的最大高度为m． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)； (2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）代入计算出函数值，比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知，当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 题型08 隧道问题 【典例8】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键． 设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：∵，矩形脚手架在隧道正中， ∴设，，则， ∴D点坐标为， 将代入 得， 解得或（舍） ∴ 故选：C． 【变式1】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道的底部宽：为，高为，集装箱的宽与货车的宽都是，集装箱顶部离地面，这辆货车 通过这个隧道（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】以O点为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，继而求得时y的值，据此即可判断． 【详解】解：如图，以O点为原点为x轴，建立直角坐标系， 根据题意知点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 所以货车不能通过隧道． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． (1)求抛物线的关系式； (2)现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)这辆货运卡车能从正中间通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解析式； （2）根据题意，把代入解析式，得到，由于，于是得到货运卡车能通过． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点E的坐标为， 设抛物线的解析式为．由已知可得，点A的坐标为，且在此抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：这辆货运卡车能从正中间通过该隧道，理由如下： 当时，． ∵， ∴这辆货运卡车能从正中间通过该隧道． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)点距地面的高度为； (2)两排灯的水平距离最小是米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先确定B点和顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，求得的值，从而得到点距地面的高度； （2）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为6所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 【详解】（1）解：根据题意得：，顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线的函数关系式为， 令，， ∴点距地面的高度为； （2）解：灯离地面的高度不超过， 令，则， 解得，， ， 如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是米． 题型09 增长率问题 【典例9】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ． 【答案】20% 【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ∴x的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 题型10 实物问题 【典例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 【变式1】（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设二次函数的解析式为，再将点代入可得的值，然后将代入二次函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， 将代入得：， 即， 所以大棚与墙的交点到原点的距离为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． (1)写出和的解析式：__________； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线， 故答案为：，． （2）解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：依题意，令，则， 整理得 解得： （舍去）， ∴他将铅球推出的距离为 故选：C 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴底面积， ∵，且，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的边角关系及分段二次函数的图象特征，解题的关键是分情况推导的面积关于的函数关系式，再分析其图象形状． 先根据菱形的边长、内角，结合直角三角形边角关系求出对角线AC的长度及相关角的度数；再结合“直线”与菱形的对称性，分和两种情况，用直角三角形边角关系表示出的长度；然后分情况结合三角形面积公式，推导的面积关于的二次函数关系式；最后根据二次函数的开口方向、对称轴，判断函数图象的形状，进而确定对应选项． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下， ∴对称轴为直线； 如图所示，当时， ，， ∴ ∵ ∴抛物线开口向上， ∴对称轴为直线； 结合各选项的图像，与选项完全吻合． 故选：． 5．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，小瑞乘雪橇从点A处沿的斜坡滑行，滑行的距离与时间之间的函数表达式为，已知滑到坡底B的时间为，则小瑞滑行的竖直高度为 m． 【答案】24 【分析】本题考查了二次函数的应用以及解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及代数式求值，根据题中自变量的值先求出函数值，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：把代入中得：， ∵滑下的距离y是直角三角形中角的斜边，下降的高度是直角三角形中角的对边． ∴下降的高度为：． 故答案为：24． 7．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键．依据题意得，抛物线的对称轴是y轴，故可设抛物线为，再由，可得方程组，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴， 故可设抛物线为． 又∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山西阳泉·期中）景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，则当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系待定系数法求解，水位在此基础上继续上涨时为，代入求解，即可求解． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 水位在此基础上继续上涨时， 当时， ， 解得：，， 水面的宽度为（）， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲 个房间； （2）每间定价为 元时，种客房一天的营业额最大． 【答案】 2 220 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲，求解即可； （2）设客房每间定价为元，营业额为，根据营业额＝住的客房数×房间定价，列出关于的函数解析式，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）若每间定价为220元，增加了2个10元，就会有2个房间空闲． 故答案为：2． （2）设客房每间定价为元，营业额为， 依题意得：， 当时，最大． 故答案为：220． 10．（25-26九年级上·广西钦州·期中）近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意和平面直角坐标系，设函数关系式为，将带入即可求出函数解析式，进而问题可求解． 【详解】解：由平面直角坐标系得，，， 设函数关系式为， ， 解得， ， 当时，则， 解得， 水面宽， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)运动员落水点E与点C的距离为5米 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一）； （2）解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米． 12．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． (1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． (2)一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 【答案】(1)抛物线的表达式为，拱顶到地面的距离为 (2)这辆货运汽车可以通过 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线解析式、二次函数的实际应用，结合函数性质分析实际问题是解题的关键． （1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法化成顶点式，从而得到点到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，计算自变量为的函数值，再将函数值与进行大小比较即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，将，分别代入，得 解得， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴， ∴拱顶到地面的距离为． （2）解：隧道内设双向行车道，车宽，对称轴为，取，代入抛物线解析式得 ， ∴这辆货运汽车可以通过． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某超市销售一种文创产品，已知每个文创产品的进价为15元（不计其他成本）：经市场调查发现，当售价为20元/个时，每天的销售量为50个．若每个的售价每降低1元，每天就能多售出5个，为了回馈客户，超市决定将这种文创产品适当降价销售． (1)超市要想使这种文创产品每天的销售利润达到220元，每个文创产品应降价多少元？ (2)超市每天销售这种文创产品的利润可以达到300元吗？请说明理由． 【答案】(1)降价1元 (2)不可以达到300元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用； （1）设每个文创产品应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可； （2）设每个文创产品应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】（1）解：设每个文创产品应降价元， 由题意可得，， 解得，（舍去）， 答：每个文创产品应降价1元； （2）解：设每个文创产品应降价元， 由题意可得，， 整理得，， ， ∴超市每天销售这种文创产品的利润不可以达到300元． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 15．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （3）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 16．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）为迎接羽毛球比赛，小明进行了羽毛球练习．如图1所示，将羽毛球从点击出，在处落到地面，羽毛球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2所示，比赛前夕，组委会以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线一定经过两点，不一定经过点（落地点会发生变化），求出解析式中与之间满足的关系式； (3)在（2）的条件下，若羽毛球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形， 对于（1），将点代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），将点代入关系式整理可得答案； 对于（3），分别将点代入关系式得出b的值，进而得出取值范围． 【详解】（1）解：由抛物线过点， 得 解得 该抛物线的解析式：； （2）解：点的坐标为， 抛物线经过点， ， 整理，得； （3）解：，圆筐的截面为矩形， ． 当抛物线经过点时，，解得； 当抛物线经过点时，，解得． 综上可得解析式中的取值范围：． 17．（25-26九年级上·广东广州·月考）某广场的音乐喷泉是随着音乐节拍的变化而变化的抛物线形水线．如图所示，随着音乐节拍的变化，出水口会喷出一组不同的抛物线形水线．抛物线形水线的形状在变化过程中，每条抛物线形水线总是在与出水口的水平距离为米处达到最高，高度（相对于出水口的竖直高度）为米．已知喷泉的出水口与水线的落地处、岸边的观赏点既在同一直线上，也在同一高度，并且出水口与观赏点的水平距离为米，请先建立平面直角坐标系，再解决以下问题． (1)若，喷出的抛物线形水线最大高度为米时，求此时喷出的抛物线形水线对应的函数解析式； (2)当时，若喷出的抛物线形水线不能触及岸边的观赏点，请通过计算判断：抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度（相对于出水口的竖直高度）能否超过米？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 以出水口为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据、的值确定抛物线的顶点坐标和抛物线与轴交点的坐标，利用待定系数法确定抛物线的解析式； 设当时，喷出的水线正好达到观赏点，利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，当抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米时，，求出此时的值，根据求出的结果进行判断． 【详解】（1）解：如下图所示，以出水口为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，， 解得：， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与轴的交点坐标是和， 设抛物线的解析式是， 把顶点坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线对应的函数解析式是， 整理可得：； （2）解：设当时，喷出的水线正好达到观赏点， 则抛物线与轴的交点坐标是和， 在与出水口距离米时，达到了最大高度，最大高度为米， 抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 与观赏点 的水平距离为米处的位置，与出水口位置的水平距离是米， 当时，， 抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度不能超过米． 18．（25-26九年级上·河北沧州·期中）下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查抛物线的点坐标求解、解析式确定及函数与几何图形的结合，涉及知识点：抛物线的函数值计算、顶点式解析式、正方形的坐标范围．解题关键是准确利用函数与坐标的对应关系，易错点是坐标计算或范围边界的处理．解题思路：（1）令中求H；（2）由矩形得的坐标，结合顶点式求；（3）根据正方形边长确定、的坐标，代入求的范围． （1）通过抛物线的函数值求点； （2）结合矩形性质得点坐标，利用顶点式和最高点相同求解析式； （3）根据正方形边长确定、的坐标范围，代入抛物线求的取值． 【详解】（1）令，解得，， 由图象分析可知，点的横坐标为； （2）∵，点为中点， ∴点横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； 的最大高度为2， 与的最大高度相同， ，将代入的解析式， 解得（舍），， 的解析式为； （3）点的坐标为，点N的坐标为()， 令， 解得（舍）． 光点落在边（不含边界）上， ，， m的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $