专题2.5 二次函数与一元二次方程（2大考点+ 7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

专题2.5 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会两者的内在联系，感悟数形结合思想。 2. 理解二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数的对应关系，掌握根的判别式的意义。 3. 会用二次函数图象求一元二次方程的近似根，能解决简单相关实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数、根的情况的对应关系。 （2）理解一元二次方程的根与二次函数图象交点横坐标的等价关系，会用图象法求近似根。 2.难点 （1）深入理解一元二次方程ax²+bx+c=h的根与二次函数y=ax²+bx+c和直线y=h交点横坐标的关联。 （2）熟练运用图象法估算一元二次方程的近似根，精准把握数形结合思想的实际应用。 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【即学即练1】1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为 ． 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）已知二次函数当时取最小值，且抛物线图象经过点 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 题型01 抛物线与x轴的交点 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 题型02 利用二次函数的图象确定方程根的情况 【典例2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知点在二次函数的图象上，若方程的一个根为，另一个根为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）若抛物线的图象如图所示，则方程的解是 ． 【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … 2 … … 0 … 关于的方程的解为 ． 题型03 求x轴与抛物线的截线长 【典例3】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 【变式2】（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 题型04 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【典例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【变式2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 【变式3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 题型05 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 【典例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 题型06 利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【典例6】（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级下·广东·阶段练习）对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知拋物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有 ． 题型07 根据两函数交点确定不等式的解集 【典例7】（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 ． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 题型08 根据抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例8】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【变式3】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．当时，的值为 ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，则该函数与轴的交点是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）若关于的方程的解为，，则抛物线与轴的交点的横坐标为（   ） A．0和2 B．0和4 C． 和2 D．0和 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的部分图象如图所示，不等式的解集是 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数（为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图，当时，则x的取值范围为 ． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数的对称轴是直线，若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)求此抛物线与轴的交点坐标． 12．（25-26九年级上·天津静海·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； (2)求的面积． 14．（25-26九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，请根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 15．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式；当时，求的取值范围． (2)将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 16．（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会两者的内在联系，感悟数形结合思想。 2. 理解二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数的对应关系，掌握根的判别式的意义。 3. 会用二次函数图象求一元二次方程的近似根，能解决简单相关实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数、根的情况的对应关系。 （2）理解一元二次方程的根与二次函数图象交点横坐标的等价关系，会用图象法求近似根。 2.难点 （1）深入理解一元二次方程ax²+bx+c=h的根与二次函数y=ax²+bx+c和直线y=h交点横坐标的关联。 （2）熟练运用图象法估算一元二次方程的近似根，精准把握数形结合思想的实际应用。 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【即学即练1】1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解一元二次方程，通过求解二次方程得到抛物线与x轴的交点横坐标，然后代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A和B， ∴令，得， 解得或，即或， ∴或， 故选：C． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）已知二次函数当时取最小值，且抛物线图象经过点 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与轴的交点问题，正确求出解析式是解此题的关键． （1）先确定抛物线的顶点，再设出函数的顶点式，然后运用待定系数法即可解答； （2）令，得到，然后解一元二次方程，再根据一元二次方程与二次函数图像的关系即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数当时取最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线图像经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为， （2）令，得 ， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或． 题型01 抛物线与x轴的交点 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线对称轴为，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键，由顶点坐标和交点坐标的关系，结合对称性求出另一个交点，利用交点式表示函数，通过比较系数求出的值，再代入顶点坐标求即可． 【详解】解：∵ 顶点的坐标为，且， ∴ 对称轴为直线， ∵ 函数与轴交于点， ∴ 另一个交点为 ， 设函数为， 与比较常数项，得， ∴ ， 当时， ， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数图象与轴的交点，先求出对称轴，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求出抛物线与轴的交点坐标，代入函数解析式，求出值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离为4， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，即：， 把代入，得：，解得； 故答案为：． 题型02 利用二次函数的图象确定方程根的情况 【典例2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与一元二次方程的关系，二次函数图象与直线交点的横坐标即为一元二次方程的解．由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为，从而得到抛物线的对称轴，进而利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点的坐标，进而得解． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于的方程的解是或． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知点在二次函数的图象上，若方程的一个根为，另一个根为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与点的坐标的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是通过确定二次函数的大概图象． 利用方程的一个根为，另一个根为负数，可得二次函数的对称轴位于直线的左侧，再利用，可得二次函数图象开口向下，对比和即可得到的取值范围． 【详解】解：方程的一个根为，另一个根为负数， 的对称轴位于直线的左侧， 在二次函数的图象上， 二次函数图象开口向下， 则时，随的增大而减小， 当时，， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）若抛物线的图象如图所示，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为，， 即或时，， 方程的解是，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … 2 … … 0 … 关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称性，由点和点纵坐标相同，求得对称轴，再利用对称轴求点的对称点，从而得到方程的解． 【详解】解：由二次函数可知，当时，，故点在函数图象上． 由表可知，当时，，故点也在函数图象上． 点和点纵坐标相同， ∴函数图象的对称轴为直线． ∵点在函数图象上，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，． 因此方程的解为或． 故答案为：． 题型03 求x轴与抛物线的截线长 【典例3】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 题型04 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【典例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的函数值估算一元二次方程的解；由表格数据可知，当时，；当时，，因此方程根m在1.3和1.4之间，然后对照选项判断即可. 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程根m在1.3和1.4之间， 即 ∴只有C项符合题意. 故选：C. 【变式2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 题型05 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 【典例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，时，和的值异号，根据函数图象与x轴交点分界选择合适范围即可． 【详解】解：当时，和的值异号， 观察图象可得，当的取值范围是或时，． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 题型06 利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【典例6】（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级下·广东·阶段练习）对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，抛物线的图象性质，二次函数与不等式的关系，掌握抛物线与x轴无交点或只有唯一交点，则是解题的关键． 由于，所以不等式恒成立的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知拋物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由拋物线过和两点，且，可求出抛物线对称轴范围，即可判断②；根据当时，，结合，可判断①；将抛物线解析式化为交点式为，令，即，由有实数根， 可知有实数根，则，即，可判断③；由抛物线过点，，求出的值，再结合，解不等式组即可判断④． 【详解】解：∵拋物线过和两点，且， 则， ∴， ∴对称轴为直线，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵抛物线（a，b，c是常数且）过和两点， ∴抛物线的交点式为， 令，即， ∵有实数根， ∴有实数根， ∴，即，③错误，故不符合要求； ∵抛物线过点，，则， 两式相减：，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 题型07 根据两函数交点确定不等式的解集 【典例7】（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征． 由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图像与不等式的关系，熟练掌握“抛物线在直线上方时对应的x取值范围即为不等式的解集”是解题的关键． 将不等式变形为抛物线表达式大于直线表达式的形式，结合图像中抛物线在直线上方的x取值范围求解． 【详解】解：∵不等式可变形为，抛物线与直线的交点为、， 从图像可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式解集是． 故答案为：． 题型08 根据抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例8】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 依照题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与轴交点的横坐标为，将其图象往上平移3 个单位长度可得出二次函数的图象． 观察图象，可知：． 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于点、，可得，由抛物线与y轴负半轴相交，可知，时，抛物线开口向上，另一根利用函数值得不等式组解不等式得；可得满足的条件是． 【详解】二次函数的图象与轴交于点、， ∴， ∴， 由抛物线与y轴负半轴相交，、， ∴ 由，抛物线开口向上， ∵另一根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴满足的条件是， 故选择：B． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解不等式组，掌握二次函数的性质，会利用函数值的特征组成不等式组是解题关键． 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 【变式3】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．当时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力． 将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴交于，两点， ∴关于对称轴对称， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，则该函数与轴的交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握与轴的交点是横坐标为0，是解此题的关键． 令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象与轴的交点是， 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，故A正确； 对称轴为直线，则有，即，与y轴交于正半轴，即 ∴，，故B正确，C错误； ∵对称轴为直线， ∴点与关于对称轴对称， ∴当时，则有，故D正确； 故选C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性和抛物线与一元二次方程的关系，也考查了二次函数的性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得或， 方程的根是， 故选：B. 5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）若关于的方程的解为，，则抛物线与轴的交点的横坐标为（   ） A．0和2 B．0和4 C． 和2 D．0和 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线与轴的交点的横坐标为和，再根据二次函数图象的平移规律解答即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解为，， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， ∵将抛物线向右平移1个单位长度所得到的抛物线解析式为， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的部分图象如图所示，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据抛物线与轴的交点求不等式的解集．观察图象可知对称轴为直线，则另一个交点为，根据图象与轴的交点，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，与轴的交点为， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数（为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时， 与有交点， 即若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图，当时，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次不等式的关系，解题的关键是结合二次函数图象与x轴的交点，确定函数值小于0时对应的x的取值范围．先确定二次函数图象与x轴的交点横坐标，再根据图象开口方向，找出图象在x轴下方对应的x的取值区间． 【详解】解：由二次函数图象可知，其与轴的交点横坐标为和，且图象开口向上， 当时，对应图象在轴下方的部分， 故的取值范围为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数的对称轴是直线，若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， 方程整理为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称性可知，当时，，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标得出对称轴，可判断②结论；利用抛物线的最值可判断③④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， 抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， ，①结论正确； 抛物线的顶点坐标为， ， ， ，②结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 当时，抛物线有最大值为， ，即（的任意实数），③结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论错误； 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)求此抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)点不在此抛物线上 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质． （1）把代入解析式求的值即可判断； （2）把代入解析式求的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点不在此抛物线上； （2）当时，， ∴此抛物线与轴的交点坐标为． 12．（25-26九年级上·天津静海·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； （2）将，，代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与一次函数图象的交点问题、坐标与图形等知识，正确求得点A、B坐标是解答的关键． （1）联立方程组求解可得点A、B坐标；根据函数图象平移规则“上加下减”可得平移后的表达式； （2）先求得直线与y轴的交点D的坐标，再求得点C坐标，然后根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得，， ∴，； 将抛物线向上平移2个单位长度的抛物线表达式为； （2）解：对于，当时，，则， 设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴，又，； ∴． 14．（25-26九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，请根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点、二次函数与不等式，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． （1）由抛物线与轴的交点坐标可得方程的两个根； （2）由抛物线位于轴下方部分图象所对应的自变量的取值范围可得不等式的解集； （3）由图中信息可得二次函数的最大值为2， 若方程有两个不相等的实数根，则k必须小于的最大值，进而可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，，          ∴方程的两个根为，． （2）解：由图象可知，当或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或． （3）解：由图象可知，二次函数的最大值为2， 若方程有两个不相等的实数根，则k必须小于的最大值，则． 15．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式；当时，求的取值范围． (2)将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】(1)这个二次函数的表达式为；当时，y的取值范围为； (2)3或4 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （2）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 当时，， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （2）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴的有一个交点即， 符合题意；当经过原点时， ，向上平移3个单位长度， 函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 16．（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法解函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到当时， x的取值范围； （3）根据图象分两种情况讨论可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：的图象过点，，对称轴是直线， ∴ 解得： ∴二次函数的表达式为：． （2）解：∵， 令，即， ∴， 解得：， ∴二次函数与轴的两个交点是，， ∵， ∴开口向下， 由函数图象可知：当时， ∴． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 由图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标大于0，即此时有两个不同的正实数根． 当时，与的图象有一个交点，且交点的横坐标大于0，即此时有两个相同的正实数根． 综上可知，当时，总有两个正实数根． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $