2.5二次函数与一元二次方程 同步练习 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数y=x2-x+1的图象与x轴的交点的情况是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 3．若二次函数y=a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，则点B的坐标是（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（-1，0） D．（3，0） 4．二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s,t（s＜t）是关于x的方程1+（x-m）（x-n）=0的两根，且m＜n,则m,n,s,t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 5．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点（1，0），（3，0），则x为（　　）时，y＞0． A．1＜x＜3 B．x＞3或x＜1 C．x≥3或x≤1 D．x＞3 6．若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（　　） A．m=0 B．m=-1 C．m=1 D．m=0或m=1 7．已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c的值为（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为（-2，0），则2a+c的值为（　　） A．-2 B．0 C．1 D．2 9．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，下列五个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=-4； ②若点C（-4，y1），D（π-1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2； ③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b； ④3b＞-2c； ⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④ 10．如图，抛物线y=-x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①一元二次方程-x2+2x+2-3=0有两个相等的实数根； ②若点M（-2，y1），N（1，y2），P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2； ③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是y=x2-3； ④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则D点坐标为（0，4）． 以上四个结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数y=ax2-2ax-4a（α＞0）图象与y轴交于点A，点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC．当等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点时a的取值范围是 ______． 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＞0的解集是______． 13．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c=3的解为 ______． 14．（1）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0）．若x1+x2=4，+=10，则抛物线对应的函数表达式为 ______． （2）已知一元二次方程7x2-（k+13）x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是 ______． 15．如图，抛物线y=-x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 ______． 三．解答题（共5小题） 16．已知抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求它与x轴的两个交点及顶点坐标． 17．已知二次函数y=（x+1）2-4． （1）该二次函数的顶点坐标为 ______； （2）该函数的图象与x轴的交点坐标为 ______； （3）用五点法画函数图象： x … … y … … （4）将该抛物线绕其顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为 ______． 18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B（2，-2），直线l：y=mx+n与抛物线交于点A，B． （1）分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式； （2）根据图象，直接写出ax2+bx+c＜mx+n的解集． 19．综合与探究：如图二次函数y1=-x2+bx+c与直线y2=mx+n交于A、C两点，已知：A（-3，0）、C（0，3），二次函数的图象与x轴的另一个交点为点B，点D在直线上方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）设四边形ADCB的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标． 20．如图，抛物线y=x2+bx+c分别与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，点C（0，-4），且OB=OC，点P（m,0）为线段OA上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接AC，与PQ交于点M． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当点M分线段PQ的比为1：2时，求m的值． 北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、A 2、C 3、A 4、C 5、B 6、C 7、D 8、B 9、D 10、C  二．填空题（共5小题） 11、0＜a＜； 12、-1＜x＜5； 13、x1=-2，x2=3； 14、y=-x2+4x-3；-2＜k＜； 15、5-；  三．解答题（共5小题） 16、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6）， ∴， 解得a=2，b=-4， ∴该抛物线的解析式：y=2x2-4x； （2）令y=0， ∴2x2-4x=0， 解得x=0或x=2， ∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0）， ∵y=2x2-4x =2（x-1）2-2， ∴顶点坐标（1，-2）； ∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0），顶点坐标（1，-2）． 17、解：（1）∵y=（x+1）2-4， ∴二次函数的顶点坐标为（-1，-4）， 故答案为：（-1，-4）； （2）令y=0，则（x+1）2-4=0， 解得x1=-3，x2=1， ∴二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）， 故答案为：（-3，0），（1，0）； （3）令x=0，则y=-3， 故抛物线和y轴的交点为（0，-3）， 根据函数的对称性，当x=-2时，y=-3， 列表： 将表格数据描点连线画出如下函数图象： （4）旋转后只是抛物线开口向下了，即a=-1， 故抛物线的表达式为y=-（x+1）2-4， 故答案为：y=-（x+1）2-4． 18、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为B（2，-2）， ∴y=a（x-2）2-2， ∵y=a（x-2）2-2过原点O（0，0）， ∴0=a（0-2）2-2， 解得， ∴，即， 令y=0，则， 解得x=0或x=4， ∴A（4，0）， ∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2）， ∴ 解得， ∴直线l：y=x-4； （2）不等式ax2+bx+c＜mx+n表示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于一次函数y=mx+n的图象的下方， ∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2）， ∴由函数图象得：2＜x＜4， 即不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4． 19、解：（1）将A，C两点坐标代入二次函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为． 将A，C两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以直线的解析式为y2=x+3． （2）连接AD，CD和BC， 将y=0代入二次函数解析式得， -x2-2x+3=0， 解得x1=-3，x2=1， 所以点B坐标为（1，0）． 所以AB=1-（-3）=4， 则． 令D点坐标为（a,-a2-2a+3）， 因为DE∥y轴， 所以点E的横坐标为a, 将x=a代入y=x+3得， y=a+3， 所以点E的坐标为（a,a+3）， 则DE=-a2-2a+3-（a+3）=-a2-3a. 所以， ， 则S△ADC=S△ADE+S△CDE=． 所以S=， 则当a=时， S有最大值为：=． 且-a2-2a+3==， 故点D的坐标为（）． 20、解：（1）∵C（0，-4）， ∴OC=4， ∵OB=OC， ∴OB=1， ∴B（-1，0）， 将B（-1，0），C（0，-4），代入y=x2+bx+c得：b=-3，c=-4， ∴抛物线的函数解析式为y=x2-3x-4； （2）令y=0，则有x2-3x-4=0， 解得：x1=-1，x2=4， ∴B（-1，0），A（4，0）， ∴直线AC的解析式为：y=x-4， ∵P（m,0）， ∴M（m,m-4），Q（m,m2-3m-4）， ∴PM=-（m-4），PQ=-（m2-3m-4）， 当点M分线段PQ的比为1：2时，分两种情况： ①当PM：MQ=1：2时，则PM：PQ=1：3，即， 解得：m1=2，m2=4（与A点重合，舍去）， ②当PM：MQ=2：1时，则PM：PQ=2：3，即， 解得：m1=，m2=4（与A点重合，舍去）， 故当点M分线段PQ的比例为1：2时，m的值为2或． 学科网（北京）股份有限公司 $$