专题 5.2 一元一次方程的解法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一元一次方程的解法核心知识点，以等式基本性质为起点，逐步延伸至移项、去括号，最终系统梳理包含去分母的完整解法步骤，构建从基础原理到综合应用的递进式学习支架。 资料通过★到★★的分层题型设计，结合天平模型等直观案例培养几何直观与抽象能力，错题辨析环节强化推理意识，同步练习分层助力课中教学与课后查漏补缺，体现数学语言表达和应用意识，提升教学实效。

专题 5.2 一元一次方程的解法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等式的基本性质： 2 【★题型1】利用等式的基本性质进行判断 2 【★题型2】天平上的等式基本性质 3 【★题型3】利用等式基本性质解方程 5 【知识点二】移项 7 【★题型4】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 7 【★题型5】解一元一次方程——合并同类项与移项 9 【知识点三】一元一次方程的解法——去括号 10 【★题型6】一元一次方程的解法——去括号辨析 10 【★题型7】一元一次方程的解法——去括号 11 【★★题型8】一元一次方程的解法——去括号 14 【知识点四】解一元一次方程的一般步骤 16 【★题型9】解一元一次方程——去分母辨析 17 【★题型10】解一元一次方程——去分母 19 【★★题型11】解含小数的一元一次方程辨析 21 【★★题型12】解含小数的一元一次方程 23 二．同步练习 26 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 26 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 33 一．知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】等式的基本性质： 等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 用字母可以表示为: 如果，那么； 如果,那么如果且，那么 【★题型1】利用等式的基本性质进行判断 考查对等式两条基本性质的理解和应用，判断等式变形是否成立，常以选择题、判断题形式出现。 【例题1】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 解：A. 若，则，故该选项错误，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不符合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不符合题意． 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 解：两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立， 故第①步变形的依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． 根据等式的性质求解即可． 解：（1）如果，那么； （2）如果，那么． 故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． （1）根据等式的性质1求解即可； （2）根据等式的性质2求解即可． 解：（1）如果，那么，根据的是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是， ∴． 故答案为：． 【★题型2】天平上的等式基本性质 以 “天平平衡”为直观模型，理解等式的基本性质：等式两边的操作对应天平两边的操作，平衡状态对应等式成立，常以选择题、填空题形式出现。 【例题2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【答案】个 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，由号天平可知：个苹果个梨；由号天平可知：个梨个菠萝；可得：号天平：个菠萝个梨个梨个梨． 解：号天平：个苹果个梨， 个苹果个梨， 号天平：个梨个菠萝个梨， 个梨个菠萝， 号天平：个菠萝个梨个梨个梨， 个梨个苹果个苹果， 答：号天平的右边盘里应该放个苹果． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 【★题型3】利用等式基本性质解方程 初中数学解方程的基础原理，通过等式变形，将方程化为的形式，常以解答题形式出现，需规范步骤。 【例题3】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键． （1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可求解； （2）利用等式的性质，方程两边同时加3，化简后再同时乘，即可求解． 解：（1）解：方程两边同时减4，得：， 得：． （2）方程两边同时加3，得：， 化简，得：， 方程两边同时乘，得． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）利用等式的基本性质进行计算即可； （2）利用等式的基本性质进行计算即可． 解：（1）解：等式两边都加上，得， 即， 等式两边都乘，得， 即． （2）解：等式两边都减去3，得， 即， 等式两边都乘，得， 即， 等式两边都加上，得， 即． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用等式的性质1，得出，再利用等式的性质1得到，然后合并同类项，再利用等式的性质2求解． 解：两边同时减3，得：（等式的基本性质1）， 两边同时减，得：（等式的基本性质1）， 合并同类项，得：（合并同类项法则）， 两边同时乘，得（等式基本性质2）． 【知识点二】移项： 把原方程中的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项。 【要点提示】移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边。 【★题型4】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 【例题4】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质和移项法则是解题的关键． 根据等式的性质和移项法则，对每个选项的方程变形进行判断． 解：∵ ，移项得， ∴ 选项A中不正确，故A选项符合题意． ∵ ，两边同乘得， ∴ 选项B正确，不符合题意． ∵ ，两边同除以得 ∴ 选项C正确，不符合题意． ∵ ，移项得 ∴ 选项D正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答的关键．根据等式的基本性质：等式两边都加上或减去同一个代数式，结果仍是等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍是等式；逐一判断即可． 解：① ， ，故错误； ② ， ，故错误； ③ ， ，故正确； ④ ， ，故错误。 ∴ 正确的只有1个， 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列方程的变形过程中，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查方程变形的基本规则，包括移项和等式的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 解：A、，方程两边同时除以5，得，故该选项不符合题意； B、，移项得，故原方程的变形错误，该选项符合题意； C、，方程两边同时乘上，得，故该选项不符合题意； D、，移项得，故该选项不符合题意； 故选：B 【★题型5】解一元一次方程——合并同类项与移项 【例题5】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列解方程的过程中正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，合并同类项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．移项合并同类项，即可求解． 解：A、方程，移项得，故本选项错误，不符合题意； B、方程，合并同类项得，故本选项错误，不符合题意； C、方程，去括号得，故本选项错误，不符合题意； D、方程，系数化为1得，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【小结归纳】 一般来说，有同类项先合并同类项，再把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边，易错点:（1）移项没有变号.（2）系数化为1时，的解写成了 【知识点三】一元一次方程的解法——去括号 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 【★题型6】一元一次方程的解法——去括号辨析 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下列解方程的步骤正确的是（    ） A．方程去括号，得 B．方程移项，得 C．方程去分母，得 D．方程，两边都除以，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，等式的性质，逐一进行判断即可． 解：A、方程去括号，得，原步骤错误，不符合题意； B、方程移项，得，正确，符合题意； C、方程去分母，得，原步骤错误，不符合题意； D、方程，两边都除以，得，原步骤错误，不符合题意； 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的去括号操作，需根据乘法分配律和符号法则进行计算，注意负数乘以正数得负数． 解：∵ ∴去括号后方程为． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．根据乘法分配律先将2乘进去即可． 解： 去括号，得， 故选∶B． 【★题型7】一元一次方程的解法——去括号 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可． （2）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． （3）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． （4）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． 解：（1）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可. 解：（1）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （5）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （6）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）（2）（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求解即可． 解：（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【★★题型8】一元一次方程的解法——去括号 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） （1）该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；去括号时，未乘；（2）见分析 【分析】（1）根据去括号的法则判断即得答案； （2）根据去括号的法则、移项的法则、合并同类项的法则，即得答案； 解：（1）， ， 故答案为：一；去括号时，未乘． （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，去括号，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 解：（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，正确的运算是解题的关键． （1）去括号再合并同类项即可求解； （2）去括号再合并同类项即可求解； （3）去括号再合并同类项即可求解． 解：（1）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． （3）去小括号，得， 去中括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【小结归纳】 解一元一次方程的去括号步骤是解方程的关键环节之一，也是学生容易出错的地方，易错点在符号处理和分配律应用两大方面，具体如下： （1）漏乘括号内的项:错误原因：应用乘法分配律时，只将括号外的系数乘括号内的第一项，忽略后面的项；（2）符号处理错误：一是括号前是负号，去括号后各项未变号；二是多层括号的去括号顺序错误，错误原因：遇到多层括号（如小括号外有中括号）时，未从内向外逐层去括号，导致符号混乱。 【新知识引入】 （24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：； （1）解：去分母得：（理论依据：等式基本性质2）， 去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）， 系数化为得：（理论依据：等式基本性质2）. 【知识点四】解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【★题型9】解一元一次方程——去分母辨析 【例题9】解方程需下列四步，其中发生错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，得 D．合并，得 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 掌握解一元一次方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意移项时，需变号，即可判断求解． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， ∴移项，得步骤错误， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 【★题型10】解一元一次方程——去分母 【例题10】（23-24七年级下·全国·课后作业）请根据下面的解题过程，在横线上填上正确变形的结果，在括号内写出变形的依据． 解方程 解：去分母，得_______________________________．（　　　　　　） 去括号，得___________________________________．（　　　　　　） 移项，得___________________________________________．（　　　　　　） 合并同类项，得_____________________________________．（　　　　　　） 两边都_______，得_________________________________．（　　　　　　） 【答案】见分析 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解． 解：去分母，得，（等式的基本性质2） 去括号，得，（去括号法则） 移项，得，（等式的基本性质1） 合并同类项，得，（合并同类项法则） 两边都除以7，得，（等式的基本性质2）． 故答案为：；等式的基本性质2；；去括号法则；；等式的基本性质1；；合并同类项法则；除以7；；等式的基本性质2 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的求解步骤． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 解：（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 故原方程的解为； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故原方程的解为． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤成为解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可； （4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可． 解：（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得： 系数化为1可得：； （4）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得： 系数化为1可得：． 【新知识引入】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：． 解：整理得：（理论依据：分数的基本性质）， 去分母得：（理论依据：等式基本性质2）， 去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）， 系数化为得：（理论依据：去括号法则）． 【★★题型11】解含小数的一元一次方程辨析 【例题11】解方程﹣1的步骤如下： 【解析】第一步：﹣1（分数的基本性质） 第二步：2x﹣1＝3（2x+8）﹣3……（①） 第三步：2x﹣1＝6x+24﹣3……（②） 第四步：2x﹣6x＝24﹣3+1……（③） 第五步：﹣4x＝22（④） 第六步：x＝﹣……（⑤） 以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项（　　） A．②①③④② B．②①③④③ C．③①②④③ D．③①④②③ 【答案】C 【分析】利用等式的性质及去括号、合并同类项法则判断即可． 解：第一步：﹣1（分数的基本性质） 第二步：2x﹣1=3（2x+8）﹣3……（等式性质二） 第三步：2x﹣1=6x+24﹣3……（去括号法则） 第四步：2x﹣6x=24﹣3+1……（等式性质一） 第五步：﹣4x=22（合并同类项法则） 第六步：x=﹣……（等式性质二）． 故选C． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键． 【变式1】将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 【变式2】24-25七年级上·全国·期末）将方程 中分母化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 解：分母化为整数时， 分子分母同乘10得，分子分母同乘10得， 即化为 故选：C． 【★★题型12】解含小数的一元一次方程 【例题12】（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【答案】见分析 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数． 先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解． 解：原方程可变形为（①分数的性质） 去分母，得②6（③等式的基本性质2） 去括号，得（④乘法分配律与去括号法则） （⑤移项），得（⑥等式的性质1） （⑦合并同类项）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了解一元一次方程：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1． （1）方程变形后，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 解：（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 整理得， 去括号，得， 移项合并，得， 将x系数化为1，得． 【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，涉及移项合并、去括号、分母化为整数等步骤；解题的关键是根据方程特点选择对应步骤（如含括号先去括号、含小数分母先化整数），再通过移项合并、系数化为1求解． （1）直接移项合并同类项，将含x的项移到左边、常数项移到右边，再系数化为1； （2）先去括号，再移项合并、系数化为1； （3）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． （4）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． 解：（1）解：， 移项：， 合并：， 系数化为1：． （2）， 去括号：， 合并：， 移项：， 合并：， 系数化为1：． （3）， 分母化整数：， 化简：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． （4）， 分母化整数：， 去分母：， 去括号：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． 【小结归纳】 解一元一次方程的去分母步骤，核心是利用等式的基本性质消除分母，简化方程。该步骤的易错点主要集中在等式性质的应用、公倍数的选择和符号与括号的处理上，具体如下： （1）漏乘不含分母的项：去分母时，只将等式两边同乘各分母的最小公倍数，却忽略了方程中不含分母的整数项或整式项。正确做法为：去分母时，把方程中的每一项都看作一个整体，与最小公倍数相乘，一项都不能漏。 （2）最小公倍数选择错误：对 “各分母的最小公倍数” 概念模糊，误用分母的乘积或公因数作为公倍数，导致计算复杂化或出错。正确做法为：先对各分母分解质因数，再取各质因数的最高次幂相乘，得到最小公倍数； （3）分子是多项式时，漏加括号：当分数的分子是多项式时，去分母后未给分子加括号，导致后续去括号时符号混乱。正确做法：去分母前，观察分子是否为多项式，若是，去分母后必须给分子整体加括号，再按去括号规则处理符号。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）已知关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先解第一个方程得到的值，由于两个方程的解相同，将该解代入第二个方程求出，再计算的值即可． 解：解方程得：， 又∵两方程解相同， ∴满足方程， 即， ∴， ∴； 故选C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解． 根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 解：根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学解方程时，把□处的数看错了，计算得．他把□处的数看成了（   ） A．9 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程常见的过程有移项、合并同类项、系数化为等．注意符号的确定是解题关键． 把代入原方程，解这个方程就得□． 解：把代入，得：， 解得：， 故选：A． 5．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同时乘以分母3和2的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，且分子是多项式时应加括号，据此进行分析，即可作答． 解：∵， ∴两边乘以6得：， ∴整理得， 故选：C． 6．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东江门·期中）若，则的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将绝对值方程转化为两个一元一次方程求解即可． 解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或5． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）定义：，若，则 【答案】3 【分析】本题考查了新定义问题、多项式的乘法、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新定义列出方程，进而求解． 解：由题意知，， ， ， ， ∴． 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）若代数式与值相等，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程，解方程即可求解． 解：， ∴， ∴ 解得： 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方程的解是（b为常数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参的一元一次方程的解，把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 解：把代入方程 得： 解得： 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题目信息，理解无限循环小数转化为分数的方法是解题的关键．设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． 解：设，则， ， 即， 解方程得， 即． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）代数式（m、n为常数，）的值随x的取值变化而变化，下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 8 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，据表格提供的数据可直接得出方程的解． 将方程两边乘以6，转化为表格中代数式的形式，然后从表格中找出使代数式值为3的x值． 解：方程 两边同时乘以6，得， 由表格可知，当时，， 所以方程的解为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·河北沧州·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）先去掉括号，再移项、合并同类项、系数化为1求解． 解：（1）解： 解得； （2）解： 解得． 14．（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 先把原方程变形，根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 解：， 整理得， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 解：（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 16．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点拨】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·开学考试）下列变形后的等式不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则（a≠0） C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 解：A．若，两边同时加5，等式仍成立，故A一定成立，不符合题意； B．若且，两边同时除以，等式仍成立，故B一定成立，不符合题意； C．若，两边同时除以（非零数），得，故C一定成立，不符合题意； D．若，当时，两边除以得；但若，无论、取何值等式均成立，此时无法确定，因此D不一定成立，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．把代入方程求出的值，确定出正确的方程，求出解即可 解：∵小娜移项时忘记改变符号，得出错误方程：，并解得， ∴代入错误方程：，即，解得， 将代入原方程：， 移项得：，即， ∴ 故原方程正确的解为 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由，得到原方程的解为，且，则，即可解答． 解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵， ∴原方程的解为，且， ∴． 故选A． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．分别求得两个方程的解，根据两个解之和等于，得出，即可求解． 解：， ， 解得：， ， ∴， 解得：， 依题意，， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·山东德州·月考）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入，得：， 解得：， 故选：A． 6．（25-26七年级上·云南临沧·期中）如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离．设点C所表示的数为，点B所表示的数为，根据两点间距离公式列式得到，据此求解即可． 解：设点C所表示的数为， ∵B和C互为相反数， ∴点B所表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据小马虎的错误方程和解得的x值求出a的值，再代入原方程求解即可． 解：小马虎将方程误看作，解得：． 代入错误方程：，解得：． 将代入原方程得： ， ， ， ， ． 所以原方程的解为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的方程的解，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到，即．然后将代入方程求解即可． 解：∵是方程的解， ∴，即， 将代入方程，得， ∴， ∴． ∵， ∴，解得． 故答案为． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 【答案】55 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：55． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 10．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，解之可得出，将方程转化为，再将代入求解即可得到x的值． 解：将代入原方程得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是2，当点到点的距离是点到点距离的2倍，则点对应的数为 【答案】或 【分析】本题考查了数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，设点对应的数为，则点对应的数为，由点到点的距离是点到点距离的倍，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得：或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、去分母、系数化为1）． （1）先通过移项将含未知数的项和常数项分开，再合并同类项，最后将系数化为1求解； （2）先去分母消去分数，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1求解． 解：（1）解：， ， ， ， ， （2） 去分母 （两边乘6）∶ 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 14．（24-25七年级上·河南商丘·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 解：（1）解： 解得． （2） 解： 解得． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 解：（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 16．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 （3）如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，求的度数． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）首先由得，然后将，，代入之中进行计算即可得出答案； （）首先设则方程可转化为 ，进而得，然后结合已知可得出，进而得 ，由此解出即可； （）设，，，则，然后将代入之中得 ，继而由可得出答案； 此题考查了求代数式的值，解一元一次方程，角度的计算，理解题意，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 解：（）∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， 故答案为：； （）设， 则方程可转化为：， 即， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解是， ∴， 即， ∴， 即关于的方程的解是； （）设，，，则，， ∵，， ∴，，即， 将代入，得：， ∴， ∴， 将，，代入上式得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 一元一次方程的解法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等式的基本性质： 1 【★题型1】利用等式的基本性质进行判断 2 【★题型2】天平上的等式基本性质 2 【★题型3】利用等式基本性质解方程 3 【知识点二】移项 3 【★题型4】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 4 【★题型5】解一元一次方程——合并同类项与移项 4 【知识点三】一元一次方程的解法——去括号 4 【★题型6】一元一次方程的解法——去括号辨析 5 【★题型7】一元一次方程的解法——去括号 5 【★★题型8】一元一次方程的解法——去括号 5 【知识点四】解一元一次方程的一般步骤 6 【★题型9】解一元一次方程——去分母辨析 7 【★题型10】解一元一次方程——去分母 7 【★★题型11】解含小数的一元一次方程辨析 8 【★★题型12】解含小数的一元一次方程 8 二．同步练习 9 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 10 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 11 一．知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】等式的基本性质： 等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 用字母可以表示为: 如果，那么； 如果,那么如果且，那么 【★题型1】利用等式的基本性质进行判断 考查对等式两条基本性质的理解和应用，判断等式变形是否成立，常以选择题、判断题形式出现。 【例题1】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【★题型2】天平上的等式基本性质 以 “天平平衡”为直观模型，理解等式的基本性质：等式两边的操作对应天平两边的操作，平衡状态对应等式成立，常以选择题、填空题形式出现。 【例题2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【变式2】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【★题型3】利用等式基本性质解方程 初中数学解方程的基础原理，通过等式变形，将方程化为的形式，常以解答题形式出现，需规范步骤。 【例题3】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程：． 【知识点二】移项 把原方程中的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项。 【要点提示】移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边。 【★题型4】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 【例题4】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列方程的变形过程中，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【★题型5】解一元一次方程——合并同类项与移项 【例题5】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列解方程的过程中正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，合并同类项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【小结归纳】 一般来说，有同类项先合并同类项，再把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边，易错点:（1）移项没有变号.（2）系数化为1时，的解写成了 【知识点三】一元一次方程的解法——去括号 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 【★题型6】一元一次方程的解法——去括号辨析 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下列解方程的步骤正确的是（    ） A．方程去括号，得 B．方程移项，得 C．方程去分母，得 D．方程，两边都除以，得 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【★题型7】一元一次方程的解法——去括号 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【★★题型8】一元一次方程的解法——去括号 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） （1）该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ （2）写出正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2） 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【小结归纳】 解一元一次方程的去括号步骤是解方程的关键环节之一，也是学生容易出错的地方，易错点在符号处理和分配律应用两大方面，具体如下： （1）漏乘括号内的项:错误原因：应用乘法分配律时，只将括号外的系数乘括号内的第一项，忽略后面的项；（2）符号处理错误：一是括号前是负号，去括号后各项未变号；二是多层括号的去括号顺序错误，错误原因：遇到多层括号（如小括号外有中括号）时，未从内向外逐层去括号，导致符号混乱。 【新知识引入】 （24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：； 【知识点四】解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【★题型9】解一元一次方程——去分母辨析 【例题9】解方程需下列四步，其中发生错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，得 D．合并，得 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【★题型10】解一元一次方程——去分母 【例题10】（23-24七年级下·全国·课后作业）请根据下面的解题过程，在横线上填上正确变形的结果，在括号内写出变形的依据． 解方程 解：去分母，得_______________________________．（　　　　　　） 去括号，得___________________________________．（　　　　　　） 移项，得___________________________________________．（　　　　　　） 合并同类项，得_____________________________________．（　　　　　　） 两边都_______，得_________________________________．（　　　　　　） 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）． （2）． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【新知识引入】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：． 【★★题型11】解含小数的一元一次方程辨析 【例题11】解方程﹣1的步骤如下： 【解析】第一步：﹣1（分数的基本性质） 第二步：2x﹣1＝3（2x+8）﹣3……（①） 第三步：2x﹣1＝6x+24﹣3……（②） 第四步：2x﹣6x＝24﹣3+1……（③） 第五步：﹣4x＝22（④） 第六步：x＝﹣……（⑤） 以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项（　　） A．②①③④② B．②①③④③ C．③①②④③ D．③①④②③ 【变式1】将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】24-25七年级上·全国·期末）将方程 中分母化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【★★题型12】解含小数的一元一次方程 【例题12】（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【小结归纳】 解一元一次方程的去分母步骤，核心是利用等式的基本性质消除分母，简化方程。该步骤的易错点主要集中在等式性质的应用、公倍数的选择和符号与括号的处理上，具体如下： （1）漏乘不含分母的项：去分母时，只将等式两边同乘各分母的最小公倍数，却忽略了方程中不含分母的整数项或整式项。正确做法为：去分母时，把方程中的每一项都看作一个整体，与最小公倍数相乘，一项都不能漏。 （2）最小公倍数选择错误：对 “各分母的最小公倍数” 概念模糊，误用分母的乘积或公因数作为公倍数，导致计算复杂化或出错。正确做法为：先对各分母分解质因数，再取各质因数的最高次幂相乘，得到最小公倍数； （3）分子是多项式时，漏加括号：当分数的分子是多项式时，去分母后未给分子加括号，导致后续去括号时符号混乱。正确做法：去分母前，观察分子是否为多项式，若是，去分母后必须给分子整体加括号，再按去括号规则处理符号。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）已知关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．4 B． C．10 D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学解方程时，把□处的数看错了，计算得．他把□处的数看成了（   ） A．9 B． C． D．7 5．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东江门·期中）若，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）定义：，若，则 9．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）若代数式与值相等，则的值是 ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方程的解是（b为常数），则 ． 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）代数式（m、n为常数，）的值随x的取值变化而变化，下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 8 三、解答题 13．（25-26七年级上·河北沧州·期中）解方程： （1） （2） 14．（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 16．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·开学考试）下列变形后的等式不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则（a≠0） C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东德州·月考）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 6．（25-26七年级上·云南临沧·期中）如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 ； 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的方程的解，则关于x的方程的解是 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 10．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 12．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是2，当点到点的距离是点到点距离的2倍，则点对应的数为 三、解答题 13．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）解方程： （1） （2） 14．（24-25七年级上·河南商丘·期末）解方程： （1）； （2）． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 16．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 （3）如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $