问题解决策略：直观分析—— 一元一次方程的实际应用 教学设计2025－2026学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 问题解决策略:直观分析 一、学习任务分析 销售问题是生活中常见的问题，具有一定的现实性和开放性，但学生这方面的生活经验不足，且此情境中涉及成本、售价和利润等，数量较多且等量关系不是显而易见的。因此本节课借助“打折销售”这个等量关系较复杂的方程问题，引导学生画图表分析问题,即借助图表直观、形象地呈现数量关系，将复杂的文字语言转化成图形语言，从而帮助我们建立方程解决问题，进一步提升学生数学思维，形成问题解决策略。 二、学生起点分析 学生知识技能基础:通过一元一次方程的应用三个课时的学习，学生对于用方程解决实际问题的一般步骤有了基本的了解，也体会到了借助列表格和示意图等方式可以直观地分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。 学生活动经验基础:学生已经经历过借助图表和示意图直观分析量与量之间数量关系的过程，具备了一定的分析问题、解决问题的经验，但对于数量较多且等量关系不是显而易见的较为复杂的问题，列方程仍是难点。 三、教学目标 1. 数学核心素养： 模型观念：能通过表格、示意图抽象出利润问题的数量关系，建立一元一次方程模型。 运算能力：熟练求解一元一次方程，并验证解的合理性。 直观想象：借助图表将复杂数量关系可视化，提升分析问题的直观思维。 2. 知识与技能： 掌握“成本、标价、售价、利润”的数量关系，能列方程解决利润类实际问题。学会用表格、示意图等直观工具分析实际问题中的数量关系。 3. 过程与方法： 通过“理解问题—拟定计划—实施计划—回顾反思”的步骤，体验问题解决的完整流程。经历“抽象数量关系→建立直观模型→列方程求解”的过程，提升逻辑推理能力。 4. 情感态度与价值观： 感受数学与生活的联系，体会直观分析策略在解决复杂问题中的价值。通过小组交流，培养合作探究、分享反思的学习习惯。 四、教学过程 本节课设计九个教学环节:【第一环节】复习回顾;【第二环节】情境引入;【第三环节】理解问题:【第四环节】拟订计划:【第五环节】实施计划;【第六环节】回顾反思;【第七环节】巩固练习;【第八环节】课堂小结;【第九环节】课堂作业。 【第一环节】复习回顾 1.活动内容 教师提出三个问题: (1)列方程的关键是什么? (2)列方程的思路是什么? (3)分析数量关系有效的方法有哪些? 2.活动目的 通过问题(1)和(2)，教师带领学生梳理本章前面学习的相关知识，让学生总结出前几节课中列方程解决实际问题的核心和步骤。通过问题(3)唤起学生对“可以通过画示意图、列表格等直观的方式帮助厘清量与量之间的关系”的回忆，为本节课后续学生利用不同的示意图解决问题做铺垫，并引出本节课的课题“问题解决策略:直观分析”。 3.活动注意事项 对于问题(1)，大多数学生能够快速回答并认识到列方程的关键是寻找等量关系。对于问题(2)，部分同学可以回答出几个关键词，需要教师的引导从而完善得到列方程的思路:找量、找关系、表示量、表示量相等。 对于问题(3)，学生一开始找不到答题的方向，通过教师对前几节课中各类问题的梳师生共同归纳出列表格、画示意图等方法。 【第二环节】情境引入 1.活动内容 问题一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元? 2.活动目的 选择“打折销售”这一数量关系较复杂的素材，进一步引导学生借助直观图形分析数量关系，将抽象的文字语言转化为形象的图形语言，建立直观分析问题的意识，发展几何直观，提高分析问题、解决问题的能力。 3.活动注意事项 “打折销售”在日常生活中很常见，但对七年级学生来说，他们大多缺乏这方面的生活经验，而且“打折销售”情境中涉及成本、标价、折扣、售价、利润等，数量较多且等量关系并非显而易见。因此，教学之前教师可提前一周布置任务，让学生通过各种途径了解商品打折的有关情况，以及商品利润等有关知识。 【第三环节】理解问题 1.活动内容 (1)这个问题中涉及哪些量?哪些是已知量?哪些是未知量? (2)你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗?你能举例并说明吗? (3)采用什么方式可以更加清楚地展示这个问题中各个量之间的关系? 2.活动目的 此问题涉及的量主要有成本价、提价、标价、折扣、售价、利润等，所蕴含的等量关系主要有:标价=成本价+提价，售价=标价x折扣，利润=售价-成本价。通过问题串，引导学生梳理量之间的关系，为建立方程模型做好准备。 3.活动注意事项 学生在分析数量关系、寻找等量关系的过程中可能会遇到困难，此时应引导学生思考如何设法将这些量之间的关系以直观形象的方式呈现出来，以便于理解和分析。 【第四环节】拟订计划 1.活动内容 (1)想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗? (2)根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系? (3)设每件服装的成本价为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗?根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程? 教师巡视学生，并由学生展示汇报自己的示意图。 2.活动目的 此处留给学生充分的时间与空间，让他们尝试画出能厘清这些量之间关系的示意图,上台展示自己的成果，并解释是如何想到这样来表示的。让学生进一步体会可以通过画示意图、列表格或画流程图等直观的方式帮助分析解决问题。 3.活动注意事项 学生思维活跃，语言表达能力很强，学生对于为什么要设成本为未知数x做了精彩的分析。 【第五环节】实施计划 1.活动内容 (1)求解自己列出的方程，获得问题的解。 (2)教师展示教材的做法:用下面框图直观表示商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。设这种服装每件的成本价为x元。据此，列出方程(1+40%)x·80%-x=15 解这个方程，得 x=125。 因此，这种服装每件的成本价是125元。 2.活动目的 在直观分析的基础上，选择一个量，用不同的代数式表示这个量，根据相应的等量关系列出方程，解方程就可以求得问题的解。 3.活动注意事项 在解方程环节，因为题目涉及小数，少数学生存在计算错误。教师在巡视的过程中发现学生的错误并指导修正错误。 【第六环节】回顾反思 1.活动内容 (1)你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的?与同伴交流不同示意图的优缺点。 (2)示意图对解决这类问题有什么作用?请举例说明: 2.活动目的 策略意识的形成必须贯穿于数学学习的过程，学生只有亲身经历了，才会感悟深刻。这里让学生经历了“画图分析一列方程解答一对比作答一回顾反思”等解决问题的全过程学生在此过程中，不仅解决了问题，还经历了思考、表达和归纳的过程，深刻感受了借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们理解问题、分析问题、解决问题。 3.活动注意事项 通过师生共同归纳，学生认识到各种示意图的优势:线段图可以很直观地利用线段的长短来表示相关量的大小;列表法可以通过表格直接看到相关的数据和量的表达;流程图把每个量之间的顺向关系描述得很清楚。 教师总结提炼:借助图表可以比较直观地把数量关系展示出来。通过这个环节学生对于直观分析有了比较深刻的认识，了解到当量与量的关系不太好确定的时候，可以借助画图或列表等方式来厘清关系。 【第七环节】巩固练习 1.活动内容 某电商销售一款扫地机器人，先按进价提高60%标价，再以9折出售，结果每台仍获利880元，请问这款扫地机器人每台的售价是多少元? 2.活动目的在完成了教材上的“销售问题”的探究之后，通过更贴近学生生活的“扫地机器人”的销售问题使学生进一步巩固和深化刚刚获得的解题策略和经验，熟悉解决问题的方法与过程。让学生通过设不同的未知数，得到不同的方程，对比不同解法，体会如何选择更加合适的方法;进一步体会解决问题的策略，发展模型观念并提高分析问题、解决问题的能力。 3.活动注意事项 学生可能直接设售价为未知数，但在列方程时出现困难，教师可结合示意图帮助学生分析其他量的表示方法。同时帮助学生认识到，在解决实际问题时，选择一个合适的量作为未知数表示其他的量，进而列出方程，一般情况下顺向思维比逆向思维更容易。 解:设这款机器人每台的进价是x元。 根据等量关系，可列出方程（1+60%）x·90%－x=880。 解这个方程，得 x=2000。 2000×（1+60%）×0.9=2880（元）。 答：这款扫地机器人每台的售价是2880元。 【第八环节】课堂小结 1.活动内容 谈一谈学完这节课你有哪些收获。 2.活动目的 让学生通过回顾本节课所学内容，进一步体会借助图表直观分析问题的价值，从而形成解决问题的策略。 3.活动注意事项 学生畅谈自己的切身感受与实际收获。教师再次出示图表，并在学生的回答后总结:借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 【第九环节】课堂作业 1. 必做题：周末记录一次商场促销活动（如提价打折、满减等），运用今天所学的直观分析方法，计算该商品的成本价或利润，并写出完整解题过程。 2. 选做题：教材第157页1-5题，尝试用不同的直观工具分析解题。 活动设计目的 强化知识与生活的联结，深化应用意识：通过 “记录商场促销活动” 的实践任务，引导学生将课堂所学的销售问题知识（成本价、标价、折扣、利润等概念及数量关系）迁移到真实生活场景中，打破 “数学与生活脱节” 的认知，让学生感受到数学在实际生活中的实用价值，进一步增强用数学解决实际问题的主动性和信心，契合新课程标准中 “培养应用意识” 的核心要求。 巩固直观分析策略，提升解题能力：要求学生运用课堂学习的直观分析方法（如列表格、画示意图、流程图等）计算商品成本价或利润，能帮助学生熟练掌握 “梳理量→直观表达→建立方程→求解验证” 的完整解题流程，强化对 “直观手段简化复杂数量关系” 的认知，突破列方程时 “找等量关系” 的难点，同时规范解题过程书写，提升分析问题、解决问题的能力。 培养实践探究能力，积累活动经验：记录促销活动的过程需要学生主动观察、收集信息（如商品标价、折扣力度、优惠规则等），这一过程能锻炼学生的信息获取与筛选能力；结合信息计算成本价或利润的过程，能让学生进一步积累 “从实际情境中抽象数学问题、构建数学模型” 的活动经验，为后续解决更复杂的实际问题奠定基础。 选做题设计目的：分层满足学习需求，落实因材施教：选做题面向学有余力的学生，通过教材习题的训练，在必做题 “实践应用” 的基础上，进一步强化对销售问题及一元一次方程应用的知识掌握，满足不同层次学生的学习需求，体现新课程标准中 “关注学生个体差异，实施分层教学” 的理念，避免 “一刀切” 的作业设计导致学生学习负担过重或能力得不到提升。 拓展直观分析维度，发展几何直观素养：要求学生 “用不同的直观工具分析解题”，引导学生跳出单一的直观表达模式（如仅用表格），尝试线段图、流程图、对比图等多种直观形式，能让学生在对比不同工具优劣的过程中，深化对 “直观手段服务于数量关系分析” 的理解，灵活选择更适配的直观工具，进一步发展几何直观素养，契合新课程标准中 “提升几何直观能力” 的核心目标。 夯实基础解题能力，强化模型观念：教材习题经过科学编排，能系统覆盖销售问题的不同考查角度（如不同优惠方式、未知量设定差异等），学生通过解题可进一步熟练一元一次方程的建模过程，强化 “方程是刻画现实世界数量关系的有效模型” 的认知，同时规范运算步骤与解题书写，夯实基础数学能力，为后续学习更复杂的方程应用奠定坚实基础。 五、教学反思 1.要创造性地使用教材。 教材为教师提供基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况和教学目标，结合学生认知水平和生活经验，设计合理的情境。例如，对于本节课设计的“销售扫地机器人”情境，可能有的学生比较熟悉，而有的学生比较陌生，教师要根据学生的实际情况选择素材，创设他们熟悉的情境。 2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 课堂上教师应该与学生建立良好的关系，让学生感受到教师的关心和支持，在学生展示前，教师努力营造积极的学习氛围，给足时间让学生充分思考。课堂上以学生为主体来展示成果，教师及时给予鼓励和指导。 3.注意改进的方面。 学生问题解决能力是逐步提升的，教师需要在后续教学过程中不断强化和渗透。 学科网（北京）股份有限公司 $