专题 5.1 认识方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 认识方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【★题型1】情景引入； 1 知识点一：方程的定义 2 【★题型2】方程的判断 2 【★题型3】情景引入； 3 知识点二：一元一次方程的定义 4 【★题型4】一元一次方程的辨析 4 知识点三：列一元一次方程 5 【★题型5】列方程 6 知识点三：方程的解 7 【★题型6】方程解的验证 7 【★题型7】已知方程的解求参数 9 【★★题型8】章内综合提升 10 【★★题型9】跨章节综合提升 12 二．同步练习​ 15 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 15 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 21 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【★题型1】情景引入； 【例题1】完成下列小题 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． （1）从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ （2）某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 解：（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 知识点一：方程的定义 等式，，都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程。 【★题型2】方程的判断 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 解：在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 【小结归纳】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 【★题型3】情景引入； 【例题3】完成下列小题 （24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式． （1）一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． （2）把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． （3）甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，便可以列出方程； （2）根据题意，可得数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，结合所设，便可以得到方程； （3）根据列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了，可以列出相应的方程． 解：（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重， 可得方程； （2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克， 可得到方程：； （3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=， 可得到方程：． 【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，可以根据数量关系列出方程解答． 知识点二：一元一次方程的定义 方程，，中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 【★题型4】一元一次方程的辨析 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”逐一判断即可． 解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； B、符合一元一次方程的定义，本选项符合题意； C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·月考）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过一元一次方程求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须是1且系数不为零，得到且，求解即可． 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 且， 由，得，所以或 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， 故答案为：． 【小结归纳】判断一个方程是不是一元一次方程，只需看两点：一是方程；二是未知数的次数都是1，二是整式等式，满足这三个条件才是一元一次方程． 知识点三：列一元一次方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下: 【★题型5】列方程 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． （1）x的5倍与2的和等于x的与4的差； （2）一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出一元一次方程，正确结合已知得出等量关系是解题关键． （1）先表示出x的5倍与2的和为，再表示出x的与4的差为，再根据相等关系列方程即可； （2）根据所得的总积分为21分，可以列出相应的方程． 解：（1）解：根据题意得：； （2）解：设该队前9场比赛共胜了x场，则平了场．根据题意，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 【小结归纳】列方程的核心：找等量关系，根据等量关系列方程． 知识点四：方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解0。求方程的解的过程称为解方程 【★题型6】方程解的验证 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）是下列方程的解吗？ （1）； （2）． 【答案】（1）不是；（2）是 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 解：（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·月考）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 解：A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 【★题型7】已知方程的解求参数 【例题7】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，把代入，然后解关于a的方程即可． 解：把代入， 得， ，     ， ，     ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 【变式2】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若关于x的方程的解是，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据方程的解，代入方程得到a，b之间的关系，变形求代数式的值即可． 本题考查了方程的解，求代数式的值，正确理解方程的解，求代数式的值是解题的关键． 解：∵方程的解是， ∴, 解得， ∴， 故答案为：1． 归纳：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点： ①它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 【★★题型8】章内综合提升 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值． （2）请判断和是否为方程的解． （3）求的值． 【答案】（1）；（2）不是方程的解；是方程的解；（3） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 解：（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）判断是否是方程的解． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 解：（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． （1）求k的值； （2）判断，，是否是方程的解． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 解：（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 【★★题型9】跨章节综合提升 【例题9】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． （1）若，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； （3）当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式的次数以及一元一次方程的定义等知识点，解题的关键是熟练运用整式运算法则，根据多项式次数和一元一次方程的条件列方程求解． （1）先将A，B代入，再把代入化简． （2）对化简后，根据一次多项式的条件确定a，b的值，进而求． （3）根据一元一次方程的定义求出a，b的值，再代入求值． 解：（1）∵， 把代入上式，得 ； （2）由（1），可知18x－12． ∵代数式是关于x，y的一次多项式， ∴，解得， 将代入，得； （3）∵是关于的一元一次方 程，∴， 解得 将代入， 得， 把代入， 得． 【变式1】已知是关于x的方程的解． （1）求k的值； （2）在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长． （3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 【答案】（1）；（2）线段的长为；（3）当时间为或秒时，有 【分析】本题考查方程的解的定义，线段的和差，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离． （1）把代入方程，转化为关于k的方程，求解即可； （2）当时，，则，，根据D为的中点，即可求解； （3）同（2）可求得点D表示的数为，当点P和点Q运动x秒时，点P表示的数是，点Q表示的数分别是，根据绝对值的几何意义可得，，由即可得到方程，求解即可． 解：（1）∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：； （2）如图， 当时，，， ∴，， ∵D为的中点， ∴ 即线段的长为； （3）∵点A所表示的数为，点B表示的数是4， ∴，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为． 当点P和点Q运动x秒时，点P表示的数是，点Q表示的数分别是． ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得或 ∴当时间为或秒时，有． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【答案】 【分析】由一元一次方程的定义可得，即得方程为，解方程得到，再由相反数和倒数的定义可得，，，最后代入代数式计算即可求解． 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴方程为， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，，， ∴原式 ． 【点拨】本题考查了一元一次方程的定义及解，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 把代入方程判断左右是否相等，即可得答案． 解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（   ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是本题求解的关键． 将代入方程，即解出被污染的常数． 解：∵是方程的解， ∴代入方程， 即， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，仔细审题，x的3倍即是，x的3倍与5的和表示为，和比x多2表示为，故可列出方程． 解：由题意列方程式为：． 故答案为：． 6．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知是关于的方程的解，则代数式的值是___________． 【答案】10 【分析】本题考查方程的解，代数式求值；将代入方程中，得到，然后通过代数变形求的值． 解：∵是方程的解， ∴代入得，即。 ∴， ∴． 故答案为：10． 8．（2024七年级上·安徽·专题练习）下列说法正确的是 （直接填写序号）． ①是方程； ②方程是一元一次方程； ③若关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数； ④若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查方程及一元一次方程，正确理解方程及一元一次方程的形式是解答本题的关键．分别根据方程、一元一次方程的形式以及方程的解判断各选项即可． 解：①是方程，原说法正确； ②方程分母中含有未知数，不是一元一次方程，原说法错误； ③若关于的方程是一元一次方程，则，原说法错误； ④关于x的方程的解为，把方程中看成整体，的解是，即，解得，原说法正确． 综上，正确的有①④． 故答案为：①④． 三、解答题 9．（2025七年级下·全国·专题练习）写出下列概念的定义： （1）数轴； （2）角； （3）一元一次方程． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查了数轴、角、一元一次方程的概念，解题的关键是掌握相应的概念； （1）数轴的三要素原点、正方向、单位长度； （2）角是有公共端点的两条射线组成的图形； （3）只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程． 解：（1）解：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴． （2）解：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角． （3）解：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程叫作一元一次方程． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·月考）列等式表示： （1）x的2倍与的差是1； （2）y的相反数与x的一半的和是3． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． （1）； （2）． 【答案】（1）是原方程的解；（2）是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 解：（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 【答案】，， 【分析】此题考查了列方程．根据三角形的周长、三角形内角和定理、直角三角形的面积公式分别列方程即可． 解：如图（1），由题意可得，， 如图（2），由题意可得，， 如图（3），由题意可得， 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 解：A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山西临汾·月考）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，解题的关键是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的方程；对该方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的值；将求出的值与选项对比，确定答案． 解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 即． 系数化为1： 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·期末）若m是方程 的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键．根据方程的解的定义，将代入方程得到关于m的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算． 解：因为m 是方程 的解， 所以 ， 所以 ， 所以． 故答案为：． 7．（20-21七年级上·辽宁抚顺·期末）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程及其解的规律推导特定方程，解题的关键是找出解的数值与方程中第一个分式的分母、第二个分式的分子中常数项的对应关系． 设方程的解为，观察已知方程：当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为，由此得规律：解为的方程是；将代入规律式，即可得到对应方程． 解：设方程的解为， 由已知规律：解为时，方程第一个分式的分母为，第二个分式的分子为，右边恒为1， 故方程形式为． 当时，，， 代入得方程：． 故答案为：． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．观察表格中与的值，找到两者相等时对应的值，即为方程的解． 解：当时，，，即， 所以方程的解为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 （1）求的值，并写出这个一元一次方程； （2）判断是否为方程的解． 【答案】（1），方程是；（2）是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 解：（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）0 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 解：（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∴ ． 11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是关于y的一元一次方程． （1）求a，b的值； （2）若是方程的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知、， 从而求出、的值； （2）将的值代入所给方程中求出的值， 再将、、的值代入待求式求解． 解：（1）解：由题意得：0 ， 解得． （2）将代入， 得 解得， 所以． 【点拨】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 12．（22-23七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】（1）是；（2）；（3） 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 解：（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 认识方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【★题型1】情景引入 1 知识点一：方程的定义 2 【★题型2】方程的判断 2 【★题型3】情景引入 2 知识点二：一元一次方程的定义 2 【★题型4】一元一次方程的辨析 2 知识点三：列一元一次方程 3 【★题型5】列方程 3 知识点四：方程的解 4 【★题型6】方程解的验证 4 【★题型7】已知方程的解求参数 4 【★★题型8】章内综合提升 5 【★★题型9】跨章节综合提升 5 二．同步练习​ 6 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 6 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【★题型1】情景引入 【例题1】完成下列小题 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． （1）从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ （2）某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 知识点一：方程的定义 等式，，都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程。 【★题型2】方程的判断 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【小结归纳】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 【★题型3】情景引入 【例题3】完成下列小题 （24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式． （1）一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． （2）把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． （3）甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 知识点二：一元一次方程的定义 方程，，中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 【★题型4】一元一次方程的辨析 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·月考）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【小结归纳】判断一个方程是不是一元一次方程，只需看两点：一是方程；二是未知数的次数都是1，二是整式等式，满足这三个条件才是一元一次方程． 知识点三：列一元一次方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下: 【★题型5】列方程 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． （1）x的5倍与2的和等于x的与4的差； （2）一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 【变式2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【小结归纳】列方程的核心：找等量关系，根据等量关系列方程． 知识点四：方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解0。求方程的解的过程称为解方程 【★题型6】方程解的验证 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）是下列方程的解吗？ （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·月考）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【★题型7】已知方程的解求参数 【例题7】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知是关于的方程的解，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若关于x的方程的解是，则的值等于 ． 归纳：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点： ①它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 【★★题型8】章内综合提升 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值． （2）请判断和是否为方程的解． （3）求的值． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）判断是否是方程的解． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． （1）求k的值； （2）判断，，是否是方程的解． 【★★题型9】跨章节综合提升 【例题9】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． （1）若，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； （3）当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【变式1】已知是关于x的方程的解． （1）求k的值； （2）在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长． （3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（   ） A． B．2 C． D．16 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 6．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知是关于的方程的解，则代数式的值是___________． 8．（2024七年级上·安徽·专题练习）下列说法正确的是 （直接填写序号）． ①是方程； ②方程是一元一次方程； ③若关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数； ④若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为． 三、解答题 9．（2025七年级下·全国·专题练习）写出下列概念的定义： （1）数轴； （2）角； （3）一元一次方程． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·月考）列等式表示： （1）x的2倍与的差是1； （2）y的相反数与x的一半的和是3． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． （1）； （2）． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 2．（24-25七年级下·山西临汾·月考）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 4．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 6．（25-26七年级上·全国·期末）若m是方程 的解，则代数式 ． 7．（20-21七年级上·辽宁抚顺·期末）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 （1）求的值，并写出这个一元一次方程； （2）判断是否为方程的解． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． （1）； （2）． 11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是关于y的一元一次方程． （1）求a，b的值； （2）若是方程的解，求的值． 12．（22-23七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $