专题 3.9 圆的基本性质（全章复习讲义）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 3.9 圆的基本性质（全章复习讲义） 目录 一.基础篇 2 考点 1：圆的核心概念识别 2 【★题型 1】弦、弧、直径、等弧的区分与判定 2 考点 2：点与圆的位置关系 4 【★题型 2】根据距离判断位置或利用位置关系求参数范围 4 考点 3：三角形外接圆与外心 6 【★题型 3】外心性质应用与位置判断 6 考点 4：圆心角与弧的关系 8 【★题型 4】圆心角度数与所对弧的度数换算 8 考点 5：圆周角定理基础应用 10 【★题型 5】同弧所对圆周角与圆心角的数量关系计算 10 考点 6：直径与圆周角的关系 11 【★题型 6】直径所对圆周角为直角的直接应用 11 考点 7：垂径定理基础计算 14 【★题型 7】垂直于弦的直径平分弦 14 考点 8：圆内接四边形的基本性质 16 【★题型 8】利用对角互补求角度 16 二.培优篇 19 考点 9：圆心角、弧、弦的等量关系 19 【★★题型 9】同圆中三者关系的转化与线段 / 弧相等证明 19 考点 10：圆周角定理的多角转化 24 【★★题型 10】同弧所对多个圆周角的关联计算 24 考点 11：垂径定理与勾股定理综合 27 【★★题型 11】求弦长、弦心距、半径（构造直角三角形） 27 考点 12：90° 圆周角判定直径 31 【★★题型 12】利用圆周角判定弦为直径及相关计算 31 考点 13：圆内接四边形的外角性质 35 【★★题型 13】外角等于内对角的应用 35 考点 14：弧长与垂径定理结合 39 【★★题型 14】先求弧所对圆心角再计算弧长 39 考点 15：垂径定理的实际应用 43 【★★题型 15】拱桥、隧道的弦长或高度计算 43 考点 16：圆与等腰三角形综合 47 【★★题型 16】利用圆的性质证明等腰三角形求边长 47 三.压轴篇 52 考点 17：圆上动点的线段最值 52 【★★★题型 17】动点到定点的距离最值问题（最短与最长路径） 52 考点 18：圆的动态角度探究 57 【★★★题型 18】动点引发的圆周角与圆心角变化探究 57 考点 19：圆与几何图形的存在性 65 【★★★题型 19】等腰或直角三角形的存在性判定与计算 65 考点 20：垂径定理与全等三角形综合 72 【★★★题型 20】结合全等三角形求线段长度或证明线段相等 72 考点 21：圆与函数图象的初步综合 77 【★★★题型 21】圆与一次函数的交点 / 位置关系判断 77 考点 22：圆的多定理融合证明 81 【★★★题型 22】垂径定理 + 圆周角定理 + 全等的综合证明（多问递进） 81 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一.基础篇 考点 1：圆的核心概念识别 【★题型 1】弦、弧、直径、等弧的区分与判定 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可． 解：A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意； B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意； C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． 考点 2：点与圆的位置关系 【★题型 2】根据距离判断位置或利用位置关系求参数范围 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 解：设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，到圆的最小距离是，则圆的半径是 ． 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了圆的性质，解方程，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 解：设圆的半径为，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 考点 3：三角形外接圆与外心 【★题型 3】外心性质应用与位置判断 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的 ． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 3．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 考点 4：圆心角与弧的关系 【★题型 4】圆心角度数与所对弧的度数换算 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 解：， ， ． 故选：． 5．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可． 解：在⊙O中，， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 考点 5：圆周角定理基础应用 【★题型 5】同弧所对圆周角与圆心角的数量关系计算 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 【答案】/7度 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，进而根据等边对等角，三角形的内角和定理即可求解． 解：点A、B、C在上，， ． ∵ ∴ 故答案为：． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识点，根据半径弦，由垂径定理可得，结合圆周角定理可推出得是等腰直角三角形，即可求解. 解：∵半径弦， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 考点 6：直径与圆周角的关系 【★题型 6】直径所对圆周角为直角的直接应用 1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：C． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25九年级上·北京·月考）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 考点 7：垂径定理基础计算 【★题型 7】垂直于弦的直径平分弦 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，点是弦的中点，，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 解：∵点是弦的中点， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：． 考点 8：圆内接四边形的基本性质 【★题型 8】利用对角互补求角度 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补，可算得，再根据圆周角定理即可求出答案． 解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °． 【答案】110 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 解：连接， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 二.培优篇 考点 9：圆心角、弧、弦的等量关系 【★★题型 9】同圆中三者关系的转化与线段 / 弧相等证明 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据弧相等的关系找到边、角之间的相等关系． 解：A选项：， ， ， ， 故A选项正确； B选项：和不一定相等， 和不一定相等， 故B选项不正确； C选项：， ， ， 故C选项正确； 在和中，， ， ， 故D选项正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 解：（1）证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． 考点 10：圆周角定理的多角转化 【★★题型 10】同弧所对多个圆周角的关联计算 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图,是的直径，C，D是上的两点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等），解题的关键是利用直径的性质求出直角，再结合已知角推导相关圆周角的度数． 连接，由是直径得，结合 求出的度数；利用同弧所对的圆周角相等，得，进而得出的度数． 解：连接． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 在中，， ∴ 又∵与是同弧所对的圆周角， ∴ 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理，得到，，进而得到，得到，利用勾股定理进行求解即可． 解：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 4．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 解：证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 考点 11：垂径定理与勾股定理综合 【★★题型 11】求弦长、弦心距、半径（构造直角三角形） 1．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理；先得出，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出答案． 解：，是 半径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，垂径定理结合中垂线的性质，得到，，进而得到为等边三角形，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 解：连接， ∵的弦垂直于直径， ∴垂直平分， ∴， ∵连接并延长交于点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 考点 12：90° 圆周角判定直径 【★★题型 12】利用圆周角判定弦为直径及相关计算 1．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是的一条弦，点E是中点，，动点D在圆上且，若点P在上，则的长度是（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形，根据圆周角定理推出，结合垂径定理，得到，，再利用含30度角的直角三角形求解，即可解题． 解：动点D在圆上且， ， 是的一条弦，点E是中点， ，， ， ， 点P在上， ； 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，四边形是的内接四边形，于E，于N，若，，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形中位线的判定和性质、圆周角定理、垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线是解决本题的关键． 连接并延长交于F，连接，根据题意并结合垂径定理可证为的中位线，则，通过角的转化和圆周角定理证明，则，再根据勾股定理求解即可． 解：连接并延长交于F，连接，如图， 由图可得，为直径， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：13． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可得，设，则，利用勾股定理可得，即得，由此可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵垂直于弦，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】（1）由是的中点，根据垂径定理得，而为的直径，所以，则，所以，由，得，则． （2）由圆周角定理可得，由，，求得，由，得，所以，由，求得，则，因为，，所以． 解：（1）证明：是的中点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ． （2）解：为的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的长是1． 【点拨】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 考点 13：圆内接四边形的外角性质 【★★题型 13】外角等于内对角的应用 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的度数，由圆的内接四边形对角互补可得，又由可得，从而可得的度数． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形求角度，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，同角的补角相等，由四边形是圆内接四边形，则有，由，，所以，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，再根据等腰三角形的判定定理即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：证明：∵平分， ∴， ∵四点共圆， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）根据垂径定理得出，垂直平分，则，根据圆周角定理得出，得出为等边三角形，即可证明． （2）由（1）得，则，根据圆内接四边形的性质得出，结合平角得出，根据圆周角定理得出，等量代换即可证明． 解：（1）解：连接， 直径弦于点， ， 垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ． （2）解：由（1）得， ， 为四边形的外接圆， ， ， ， ， ． 【点拨】该题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 考点 14：弧长与垂径定理结合 【★★题型 14】先求弧所对圆心角再计算弧长 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，直线m分别交a、b于点A、B．以点A为圆心，长为半径画弧，分别交b、a于直线m同侧的点C、D．连接，若，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．连接，由作法可知，，则，由平行线的性质，得到，从而得到，再利用等边对等角和三角形内角和定理，得到，最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接， 由作法可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． （1） （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查作图－复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外接圆与外心等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）如图：连接，设交于点D可得，垂直平分，则，可知为等边三角形，则，再利用弧长公式计算即可． 解：（1）解：如图，圆O即为所求． （2）解：如图：连接，设交于点D， ， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形， ， 的长度为 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． （1）求证：是该圆的直径； （2）若E是的中点，，求的长度． 【答案】（1）证明过程见分析；（2） 【分析】本题主要考查“圆周角定理及其推论”“圆内接四边形性质定理”“等腰三角形的性质”，通过等腰三角形的性质进行等角转换，并根据相等角利用圆周角定理及其推论得到圆中弦和弧的关系是解题关键． （1）根据圆内接四边形性质定理得到，再利用等量代换和等腰三角形的性质推出，进而推出点D是中点，通过等腰三角形三线合一得到，即可证明是直径． （2）（1）中可以得到，再利用是中点，可以推出，故是等边三角形，，通过弧长的计算公式，即可求出的长度． 解：（1）如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的直径． （2）如图，连接，． 由（1），得， 又是中点， ∴． 由（1），得是的直径， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 4．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接，，，．若的半径是，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式．连接，，求得，得到，利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵的半径是， ∴的长为． 考点 15：垂径定理的实际应用 【★★题型 15】拱桥、隧道的弦长或高度计算 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径 ． 【答案】5米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到的长，再根据勾股定理即可求出半径． 解：根据题意，得，过圆心O，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即此圆的半径米， 故答案为：5米． 2．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得∶，即可求出答案． 解：如图，设圆心为，作于点的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． （1）求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； （2）若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，然后在用勾股定理即可得到答案； （2）作于，连接不妨设，先证明四边形是矩形，然后推出，，，然后在中用勾股定理即可得到答案． 解：（1）解：，的半径为 ， （2）解：作于，连接不妨设 ， 四边形是矩形 ，， 在中，，， ，（舍） 4．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． （1）求的半径的长； （2）若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为8.5m，求M，N之间的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设、交于点G，、交于点，设的半径的长为，根据垂径定理求出，用含r的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可； （2）连接，求出，在中利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出即可． 解：（1）解：如图，设、交于点G，、交于点， 设的半径的长为， ，， ， ， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得：， 即， 解得， 的半径的长是． （2）解：连接， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得： ， ， ，N之间的水平距离是． 考点 16：圆与等腰三角形综合 【★★题型 16】利用圆的性质证明等腰三角形求边长 1．（2025·山东日照·三模）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、同弧所对圆周角相等、同弧所对圆心角是圆周角的倍 ）、等腰三角形三线合一的性质以及弧长公式．解题的关键在于通过圆周角定理和等腰三角形性质求出圆心角的度数，再代入弧长公式计算弧长．本题需要先利用圆周角定理求出圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质得到相关角度关系，最后运用弧长公式计算弧长． 解：连接, ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴也是的平分线，即． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴半径． ∴弧的长度． 故选：C 2．（2025·河南洛阳·三模）如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质．先求得圆的半径，再根据为等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，通过圆心角与圆周角关系及弧长公式可求得的长为；当时，同理可求得的长为．进而可得答案． 解：连接，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 当为等腰三角形时，有三种情况： 当时，， ∴， ∴的长为； 当时，，则， ∴， ∴的长为； 当时，，此时点D与点A重合，不符合题意； 综上，的长为或， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过 秒后，为以为腰的等腰三角形． 【答案】1.4或2 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定．作于D，如图，根据垂径定理得，在中利用勾股定理计算出，则，然后分类讨论：当时，作于E，连接，根据圆周角定理得，利用勾股定理计算出，再利用面积法得，则，接着在中，根据勾股定理计算出，由于，所以，则；当时，则，此时． 解：作于D，如图， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 当时，作于E，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 当时，，此时， 综上所述，或 故答案为：1.4或2． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（）由是的直径，得，故有，由垂直定义可得，所以，通过同角的余角相等得，再由等弧所对圆周角相等可得，，然后可得，从而得出； （）根据弧、弦、圆心角的关系可得，由勾股定理得，然后根据即可求解． 解：（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的判定，垂直定义，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三.压轴篇 考点 17：圆上动点的线段最值 【★★★题型 17】动点到定点的距离最值问题（最短与最长路径） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为； 故答案为：4． 3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可． 解：如图，以为边作等边，则，而， ∴， ∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，， ∴，， ∴ ， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 考点 18：圆的动态角度探究 【★★★题型 18】动点引发的圆周角与圆心角变化探究 1．（2024八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 【答案】C 【分析】设、、的中点分别为I、H、J，连接，，，根据， ，点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动，求出，证明（），得，点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，根据G和F对应，得点G的运动路径长与点F的运动路径长相等，即得． 解：设、、的中点分别为I、H、J，连接，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵点E从点B运动到点C， ∴点F从点B运动到点J， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵G和F对应， ∴点G的运动路径长与点F的运动路径长相等， ∴点G的运动路径长为π， 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形中的平移和旋转，熟练掌握正方形性质，平移性质，旋转性质，确定隐圆，弧长公式，三角形全等的判定和性质，关键是确定点F、G的运动轨迹为圆弧． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，数形结合画出点的位置，是解题的关键．作的中垂线，构造等腰直角三角形，和等腰直角三角形，分别以为圆心，的长为半径画圆，以为圆心，的长为半径画圆，两圆与轴的交点即为所求，进行求解即可． 解：∵， ∴，的中点为，即， 作的中垂线，在的左侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则：，满足题意，，，，， ∴， ∴， ∴； 在的右侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则，满足题意， 同理可得：； 综上：点的坐标为或； 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，为等边的高，，点为射线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，当点在射线上时，求证：，； （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）当时，请求出线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，连接，根据等边三角形的性质，利用得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）如图，由（2）知，根据根据的直角三角形的性质求出长，再根据旋转的性质解答即可． 解：（1）证明：连接 由旋转可知：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 为等边的高， ， ； （2）解：成立，理由如下： 连接，由旋转得为等边三角形， ， 为等边三角形, ， ， ， 即：， 在与中， ， ， ，， （3）解：，， ， 即点在的延长线上 在中，， ， 即， 由旋转知为等边三角形， ． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． （1）的直径为________，点M的坐标为________； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）已知点P是x轴上的一个动点，当时，线段的长度为多少？ 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分两种情况：①当点P在点左侧，②当点P在点右侧，讨论即可作答． 解：（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式； （3）解：设， ，， ，即， 解得：，， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ，， ， ①当点P在点左侧时，如图，连接， ， 点E和点P横坐标相同， ， ， ； ②当点P在点右侧时， ∵， ∴， ∴轴，与点P在x轴上矛盾，不存在该种情况； 综上所述：的长度为． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，解题的关键是分类讨论思想的应用． 考点 19：圆与几何图形的存在性 【★★★题型 19】等腰或直角三角形的存在性判定与计算 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和B，点A的坐标为，点B的坐标为，解答下列问题： （1）求线段的长； （2）求的半径及圆心C的坐标； （3）在上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）4，；（3）存在，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为 【分析】（1）连接，根据勾股定理求解即可； （2）由直角对直径可知，是直径，即可求出半径长，再根据中点坐标公式即可求出中点C坐标； （3）过C作于D，交于，如图，连接， ， ， ，，根据垂径定理可知，垂直平分，则均符合P点的要求，再根据勾股定理求出，即可证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质和圆周角定理即可求出的度数． 解：（1）解：连接， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， ； （2）， 是直径， 的半径为4， 圆心C为中点， ，即； （3）解：存在，理由如下： 如图，过C作于D，交于，连接， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ， 和都是等腰三角形， 因此均符合P点的要求， ， ， ， ， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 综上所述，存在符合条件的P点，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为． 【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，坐标与图形，解题的关键正确作出辅助线，综合运用以上知识解题． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． （1）求线段的长． （2）是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）存在，的长为或；（3） 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，再证明是等腰直角三角形，可得，即可得解； （2）分两种情况讨论，利用勾股定理求出，结合等腰三角形的性质即可解答； （3）取中点，连接，得到，由旋转的性质可得，易证，推出，则，进而得到点Q的运动轨迹，当时，有最小值． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：存在，的长为或， 由题意分两种情况讨论， ∵，，， ∴， 当时，如图， 则， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，当是以为腰的等腰三角形，的长为或； （3）解：如图，取中点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴即， ∴， ∴，则， ∴点Q在的垂直平分线上，且在上方运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． （1）求a、b满足的关系式及c的值； （2）如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②存在，点Q坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式； （2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标； ②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标． 解：（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2， ∴点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，-2）． 则在二次函数中， 将，代入中得： ， 即； （2）当时，，则二次函数表达式为． ①设点P横坐标为a，则点P坐标为 由（1）可知，在中，， ∴． 根据作图可知， ∴在中，，即 ∵点E为DP中点， ∴ ∴ 解得，（舍去）． 即点P坐标为，即为． ②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图： ∵点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，-2）． ∴， 线段AB的中点E坐标为，在直线PD上， ∴， ∴， ∴ ∴点坐标为； ∴， ∴ ∴点坐标为． 综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或． 【点拨】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键． 考点 20：垂径定理与全等三角形综合 【★★★题型 20】结合全等三角形求线段长度或证明线段相等 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾股方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 如图，连接，，作于，作的延长线交于，利用勾股定理求出，，再利用全等三角形的判定与性质推导出即可解决问题． 解：连接，，作于，作的延长线交于，如图： 关于的方程是“勾股方程”， ，，10构成直角三角形，10是斜边， ， ，，，，， ，， ，， ，，即，， 又， ，， ，， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆云阳·月考）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，、、、是圆上四点，且，过圆心作，垂足为点，他猜想圆心到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作，垂足为点，（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，在中，、、、是圆上四点，且，于点，于点．求证：． 证明：在中，、是圆上两点，于点， ，同理可证：， ， _____， 于点，于点， _____， 在与中， ， ， ． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论：在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 【答案】（1）；（2）；； 【分析】本题考查了垂径定理，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据垂径定理，垂直的定义，圆中的等量关系，进行作答即可． 解：（1）解：如图：即为所求； （2）证明：在中，、是圆上两点，于点， ，同理可证：． ， ， 于点，于点， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：；；． 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，． （1）写出图中一对你认为全等的三角形 ； （2）求证：； （3）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）；（2）详见分析；（3） 【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键． （1）由得，再证明，从而证明出； （2）由垂径定理可得结论； （3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可． 解：（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵， ， ． （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 考点 21：圆与函数图象的初步综合 【★★★题型 21】圆与一次函数的交点 / 位置关系判断 1．在平面直角坐标系中,已知点A（−4,0）,B（2,0）,若点C在一次函数y=x+2的图象上,且△ABC为直角三角形,则满足条件的点C有（  ） A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 【答案】A 【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C． 解：由题意知,直线y=x+2与x轴的交点为（4,0），与y轴的交点为（0,2），如图： 过点A作垂线与直线的交点W（−4,4）， 过点B作垂线与直线的交点S（2,1）， 过AB中点E（−1,0）,作垂线与直线的交点为F（−1,2.5）， 则EF=2.5<3， 所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点 ∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形． 故选A. 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、圆周角定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征、圆周角定理和勾股定理的逆定理. 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点O且与两坐标轴分别交于点、点，点M是的中点 ． （1）求的半径以及点M的坐标； （2）如图，抛物线的图象过点；一次函数的图象过点B、M，利用图象，直接写出不等式的解． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）连结，，交于点E，得等于，为直径，由勾股定理可得， ，即可求半径，由是的中点，得，由勾股定理求出，即可求点M的坐标； （2）根据两图象交点的横坐标即可写出不等式的解． 解：（1）解：连结， 等于， 为直径， 点、点， ， 由勾股定理可得，，       ， 连结， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理， ， ； （2）解：当时，即二次函数的图象在一次函数图象的下方； 由点，可得不等式的解为或． 【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到圆的基本知识，主要利用图象解不等式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，并运用方程和数形结合的思想解决问题，题目综合性较强． 3．如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合． （1）写出点A的坐标 ； （2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值． 【答案】（1）（4，0）；（2）存在，点P的坐标为（4，4﹣4）；（3）． 解：试题分析：（1）在y=-x+4中，令y=0，可求得x的值，从而得到点A的坐标； （2）先画出图形，在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB的长，再由全等三角形的性质求得QA的长，从而得到BQ的长，根据PA=BQ，求得PA的长，继而可得点P的坐标； （3）先画出图形，令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，由勾股定理可得OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，所以ab=16，，再由勾股定理可求表示出两圆半径的平方，然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可． 试题解析：解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4， 所以点A的坐标为（4，0）； （2）存在． 理由：如图所示： ∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角， ∴BQ=PA， 将x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴OB=4， 由（1）可知OA=4， 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4． ∵△BOQ≌△AQP． ∴QA=OB=4，BQ=PA． ∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4， ∴PA=4﹣4． ∴点P的坐标为（4，4﹣4）． 如图所示： 令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2， ∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2， 在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16， 又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2， ∴ab=16， ∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4， ∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π， ∴===×= 考点：圆的综合题． 考点 22：圆的多定理融合证明 【★★★题型 22】垂径定理 + 圆周角定理 + 全等的综合证明（多问递进） 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． （1）如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． （2）如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． （3）如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】（）小明同学：过点作，，垂足为，连接，由弦、弧、圆心角、弦心距的关系可得，进而可得，得到，再根据垂径定理得，进而即可求证； 小华同学：连接，则由圆周角定理得，由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得，得到，再证明即可求证； 小刚同学：连接，同理小华同学证明，再根据圆周角定理得到即可求证； （）连接，过点作交于点，则，由过点，可得点与点关于对称，即得，再根据勾股定理即可求解； （）连接，先证明四边形是正方形，过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，利用正方形的性质和勾股定理解答即可求解． 解：（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 小刚同学：连接， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点， ∴点与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线，点三点共线，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由正方形性质可得，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 【点拨】本题考查了弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． （1）如图，求证：． （2）在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． （3）如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析；（3）． 【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证； （）．由（）得，，再利用即可求证； （）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， 同理（）可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·月考）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． （1）如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． （2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． （3）如图3，若，，，，连结，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，得到，圆周角定理，得到，证明，得到，三线合一，得到，得到，即可； （2）勾股定理求出的长，进而得到的长，等边三角形得到，进一步求出的周长即可； （3）在延长线上截取，连接，设，易得垂直平分，得到，推出，等边对等角，求解即可． 解：（1）∵A是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴ ， 由（1）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长． （3）在延长线上截取， 连接， 不妨设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，且， ∴． 【点拨】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关性质，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.9 圆的基本性质（全章复习讲义） 目录 一.基础篇 2 考点 1：圆的核心概念识别 2 【★题型 1】弦、弧、直径、等弧的区分与判定 2 考点 2：点与圆的位置关系 2 【★题型 2】根据距离判断位置或利用位置关系求参数范围 2 考点 3：三角形外接圆与外心 3 【★题型 3】外心性质应用与位置判断 3 考点 4：圆心角与弧的关系 4 【★题型 4】圆心角度数与所对弧的度数换算 4 考点 5：圆周角定理基础应用 4 【★题型 5】同弧所对圆周角与圆心角的数量关系计算 4 考点 6：直径与圆周角的关系 5 【★题型 6】直径所对圆周角为直角的直接应用 5 考点 7：垂径定理基础计算 6 【★题型 7】垂直于弦的直径平分弦 6 考点 8：圆内接四边形的基本性质 7 【★题型 8】利用对角互补求角度 7 二.培优篇 8 考点 9：圆心角、弧、弦的等量关系 8 【★★题型 9】同圆中三者关系的转化与线段 / 弧相等证明 8 考点 10：圆周角定理的多角转化 9 【★★题型 10】同弧所对多个圆周角的关联计算 9 考点 11：垂径定理与勾股定理综合 10 【★★题型 11】求弦长、弦心距、半径（构造直角三角形） 10 考点 12：90° 圆周角判定直径 11 【★★题型 12】利用圆周角判定弦为直径及相关计算 11 考点 13：圆内接四边形的外角性质 12 【★★题型 13】外角等于内对角的应用 12 考点 14：弧长与垂径定理结合 13 【★★题型 14】先求弧所对圆心角再计算弧长 13 考点 15：垂径定理的实际应用 14 【★★题型 15】拱桥、隧道的弦长或高度计算 14 考点 16：圆与等腰三角形综合 15 【★★题型 16】利用圆的性质证明等腰三角形求边长 15 三.压轴篇 16 考点 17：圆上动点的线段最值 16 【★★★题型 17】动点到定点的距离最值问题（最短与最长路径） 16 考点 18：圆的动态角度探究 17 【★★★题型 18】动点引发的圆周角与圆心角变化探究 17 考点 19：圆与几何图形的存在性 18 【★★★题型 19】等腰或直角三角形的存在性判定与计算 18 考点 20：垂径定理与全等三角形综合 20 【★★★题型 20】结合全等三角形求线段长度或证明线段相等 20 考点 21：圆与函数图象的初步综合 22 【★★★题型 21】圆与一次函数的交点 / 位置关系判断 22 考点 22：圆的多定理融合证明 23 【★★★题型 22】垂径定理 + 圆周角定理 + 全等的综合证明（多问递进） 23 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一.基础篇 考点 1：圆的核心概念识别 【★题型 1】弦、弧、直径、等弧的区分与判定 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 考点 2：点与圆的位置关系 【★题型 2】根据距离判断位置或利用位置关系求参数范围 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 2．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 4．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，到圆的最小距离是，则圆的半径是 ． 考点 3：三角形外接圆与外心 【★题型 3】外心性质应用与位置判断 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的 ． 3．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    考点 4：圆心角与弧的关系 【★题型 4】圆心角度数与所对弧的度数换算 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 考点 5：圆周角定理基础应用 【★题型 5】同弧所对圆周角与圆心角的数量关系计算 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于 ． 考点 6：直径与圆周角的关系 【★题型 6】直径所对圆周角为直角的直接应用 1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 5．（24-25九年级上·北京·月考）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 考点 7：垂径定理基础计算 【★题型 7】垂直于弦的直径平分弦 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，点是弦的中点，，的度数为 ． 考点 8：圆内接四边形的基本性质 【★题型 8】利用对角互补求角度 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ． 二.培优篇 考点 9：圆心角、弧、弦的等量关系 【★★题型 9】同圆中三者关系的转化与线段 / 弧相等证明 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 考点 10：圆周角定理的多角转化 【★★题型 10】同弧所对多个圆周角的关联计算 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图,是的直径，C，D是上的两点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长 ． 3．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 考点 11：垂径定理与勾股定理综合 【★★题型 11】求弦长、弦心距、半径（构造直角三角形） 1．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 考点 12：90° 圆周角判定直径 【★★题型 12】利用圆周角判定弦为直径及相关计算 1．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是的一条弦，点E是中点，，动点D在圆上且，若点P在上，则的长度是（    ） A． B．1 C．3 D．2 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，四边形是的内接四边形，于E，于N，若，，则 ． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 考点 13：圆内接四边形的外角性质 【★★题型 13】外角等于内对角的应用 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 3．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：； （2）求证：． 考点 14：弧长与垂径定理结合 【★★题型 14】先求弧所对圆心角再计算弧长 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，直线m分别交a、b于点A、B．以点A为圆心，长为半径画弧，分别交b、a于直线m同侧的点C、D．连接，若，，则的长等于 ． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． （1） （2）若，，求的长度． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． （1）求证：是该圆的直径； （2）若E是的中点，，求的长度． 4．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接，，，．若的半径是，求的长． 考点 15：垂径定理的实际应用 【★★题型 15】拱桥、隧道的弦长或高度计算 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径 ． 2．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是 ． 3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． （1）求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； （2）若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 4．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． （1）求的半径的长； （2）若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为8.5m，求M，N之间的水平距离． 考点 16：圆与等腰三角形综合 【★★题型 16】利用圆的性质证明等腰三角形求边长 1．（2025·山东日照·三模）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·三模）如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过 秒后，为以为腰的等腰三角形． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 三.压轴篇 考点 17：圆上动点的线段最值 【★★★题型 17】动点到定点的距离最值问题（最短与最长路径） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 考点 18：圆的动态角度探究 【★★★题型 18】动点引发的圆周角与圆心角变化探究 1．（2024八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为 ． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，为等边的高，，点为射线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，当点在射线上时，求证：，； （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）当时，请求出线段的长度． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． （1）的直径为________，点M的坐标为________； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）已知点P是x轴上的一个动点，当时，线段的长度为多少？ 考点 19：圆与几何图形的存在性 【★★★题型 19】等腰或直角三角形的存在性判定与计算 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和B，点A的坐标为，点B的坐标为，解答下列问题： （1）求线段的长； （2）求的半径及圆心C的坐标； （3）在上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标，求出的度数；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． （1）求线段的长． （2）是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． （1）求a、b满足的关系式及c的值； （2）如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点 20：垂径定理与全等三角形综合 【★★★题型 20】结合全等三角形求线段长度或证明线段相等 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ． 2．（25-26八年级上·重庆云阳·月考）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，、、、是圆上四点，且，过圆心作，垂足为点，他猜想圆心到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作，垂足为点，（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，在中，、、、是圆上四点，且，于点，于点．求证：． 证明：在中，、是圆上两点，于点， ，同理可证：， ， _____， 于点，于点， _____， 在与中， ， ， ． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论：在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，． （1）写出图中一对你认为全等的三角形 ； （2）求证：； （3）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）；（2）详见分析；（3） 【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键． （1）由得，再证明，从而证明出； （2）由垂径定理可得结论； （3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可． 解：（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵， ， ． （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 考点 21：圆与函数图象的初步综合 【★★★题型 21】圆与一次函数的交点 / 位置关系判断 1．在平面直角坐标系中,已知点A（−4,0）,B（2,0）,若点C在一次函数y=x+2的图象上,且△ABC为直角三角形,则满足条件的点C有（  ） A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点O且与两坐标轴分别交于点、点，点M是的中点 ． （1）求的半径以及点M的坐标； （2）如图，抛物线的图象过点；一次函数的图象过点B、M，利用图象，直接写出不等式的解． 3．如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合． （1）写出点A的坐标 ； （2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值． 考点 22：圆的多定理融合证明 【★★★题型 22】垂径定理 + 圆周角定理 + 全等的综合证明（多问递进） 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． （1）如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． （2）如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． （3）如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． （1）如图，求证：． （2）在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． （3）如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·月考）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． （1）如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． （2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． （3）如图3，若，，，，连结，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $