预知新课 6.2 平面向量的运算-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

6.2平面 新课预知要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握 平面向量加法运算及运算法则，掌握平 面向量减法运算及运算法则， 2.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算 及运算法则，理解其几何意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系 新课预知要求 知识点一向量的加法运算 1.三角不等式：a十b ,当且 仅当a,b方向相同时等号成立. 2.向量加法的运算律 结合律 a十b= 运算律 交换律 (a十b)+c= ◆学透用活 向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依法首尾相接，则 由起始向量的起点指向末尾向量的终点 的向量即为这n个向量的和.这称为向量 求和的多边形法则， (2)首尾顺次相接的若干个向量若构 成一个封闭图形，则它们的和为0. 【例1】△ABC的三边长分别是3， 4,5,则AB+BC+CA等于 A.12 B.2 C.0 D.0 ·4 句量的运算 【解析】AB+BC+C才=0.故选D. 【答案】D [对点练习] 1.AB+MB+B0+BC+OM化简后等于 () A.B心 B.AB C.AC D.AM 知识点二向量的减法运算 1.相反向量 与向量a长度 方向 定义 的向量，叫作a的相 反向量，记作一a (1)-(-a)=a (2)零向量的相反向量仍是零 向量 性质 (3)a+(-a)=(-a)+a=0 (4)如果a,b互为相反向量，那 么a= ,b= a+b=0 2.向量的减法 (1)定义：向量a加上b的 ,叫 作a与b的差，即a-b=a十(-b).求 两个向量差的运算叫作向量的减法.减 去一个向量相当于加上这个向量 的 (2)几何意义：a一b可以表示为从向量 b的 指向向量a的 的 向量 ◆学透用活 两向量相减，表示两向量起点的字 母必须相同，这样两向量的差向量以减 向量的终点字母为起点，以被减向量的 终点字母为终点， 【例2】化简(1)A-AD-DC: (2)(AB-CD)-(AC-BD) 【解】(1)A官-AD-D心=Di-D心 =CB. (2)(AB-CD)-(AC-BD)=AB- CD-A心+BD=AB+D心+C才+BD (A克+BD)+(D心+C才)=AD+DA=0 [对点练习] 2.化简A官-C克-D心+D+F才 知识点三向量的数乘运算 1.向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数入与向量a的积 是一个 ,这种运算叫作向量的 ,记作a,它的长度与方向规 定如下： (1)λa=λa (2)a(a≠0)的方向 当入>0时，与a方向 当入<0时，与a方向 由(1)知，当入=0时，λa=0.由(1)(2)可 知，(-1)a=-a. 2.向量数乘的运算律 (1)λ(a)= (2)(λ+)a= (3)λ(a+b)= 特别地，我们有（一λ）a=-a=(一a), λ(a-b)=a-λb. 3.向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线 的充要条件是：存在唯一一个实数α使 ◆学透用活 用图形中的已知向量表示所求向量， 应结合已知和所求，联想相关的法则和几 何图形的有关定理，将所求向量反复分 解，直到全部可以用已知向量表示即可， 其实质是向量的线性运算的反复应用， 【例3】在△ABC中，已知O是BC 上的点，且CD=2BD,设AB=a,AC=b, 试用a和b表示的AD, 【解】B,C,D三点共线，且CD= 2BD.:.BD-BC. AD=A6+B市=AB+号BC-A+号 d-不商-号+-号a+ [对点练习] 3.在平行四边形ABCD中，点E为CD的 中点，BE与AC的交点为F,设AB=a, A方=b,则向量BF= 2 1 A.3a+ B. 3a- C.- D.3a- 2b 知识点四向量的数量积 1.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a,b,O是 平面上任意一点，作OA=a,O=b,则 ∠AOB=0( ≤0≤ 叫作向量a与b的夹角 (2)性质：当0= 时，a与b同 向；当0= 时，a与b反向 (3)向量垂直：如果a与b的夹角是 ,我们说a与b垂直，记作 2.数量积的性质 设a,b是两个非零向量，它们的夹角 是0，e是与b方向相同的单位向量， 则(1)a·e=e·a= (2)a⊥b台→ (3)当a,b同向时，a·b= ；当 a,b反向时，a·b=.特别地， a.a= 或|a= (4)a·b≤a|b. 3.数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数入，有 (1)a·b= (交换律). (2)(λa)·b= (结 合律) (3)(a+b)·c= (分配律) ◆学透用活 (1)求两个向量的数量积，首先确定 两个向量的模及向量的夹角，其中准确求 出这两个向量的夹角是求数量积的关键， (2)根据数量积的运算律，向量的加、 减与数量积的混合运算类似于多项式的 乘法运算 【例4】已知向量a与b的夹角为 120°，且a=4,b=2,求：①a·b;②(a +b)·(a-2b). 【解】①由已知得a·b=ab· cos0=4X2Xcos120°=-4 ②(a+b)(a-2b)=a2-a·b-2b2=16- (-4)-2×4=12. 4 [对点练习] 4.下列命题中错误的是 A.对于任意向量a,b,有a十b≤a +|b B.若a·b=0,则a=0或b=0 C.对于任意向量a·b,有a·b≤ a b D.若a,b共线，则a·b=士a|b 随堂达标-检测 1.在四边形ABCD中，A+AD=A心，则 四边形ABCD是 ( A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 2.向量(AB+MB)十(Bò+BC)+ OM- A.BC B.AB c.AC D.AM 3.设b是a的相反向量，则下列说法错误 的是 A.a与b的长度必相等 B.a∥b C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且 BC=3,点M满足BM=2MA,则 CM.CB= A.2 B.3 C.4 D.6 5.已知x,y是实数，向量a,b不共线，若 (x+y一1)a+(x一y)b=0,则 y随堂达标检测 1.B有向线段只是向量的一种表示形式，但不 能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其 方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等 于0，故④错.故选B. 2.B①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两 个向量；②错误，方向不同包括反向共线；③错 误，0是一个向量，而0为数量，0|=0；④错 误，向量不能比较大小.故选B. 3.D由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不 正确.故选D. 4.①③由向量平行的定义知①正确；两个相等 的非零向量可以在同一直线上，故②不正确； 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量， 正确，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a 与b不共线矛盾，故③正确. 5.解：(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关， 所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为 AB+BC=70(n mile). B(信号接收点) 北 40 n mile C(渔船) →东 30 n mile A(港口) (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位 移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小 为|AC|=√A2+BC下=50(n mile),由 于sin∠BAC-号，故方向为北偏东53. 6.2平面向量的运算 知识点一 1.a+b 2.b+aa+(b+c) 知识点二 1.相等相反 -b-a 2.(1)相反向量相反向量 (2)终点终点 知识点三 1.向量数乘相同相反 2.(1)(入)a (2)aa十a (3)λa+λb 3.b=λa 。6 知识点四 1.(1)0元(2)0元(3)5aLb 2.(1)acos0(2)a·b=0 (3)alb-aba2a·a 3.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c+b·c 对点练习 1.C AB+MB+BO+BC+OM=AB+BC+ OM十Mi+BC=AC,故选C. 2.解：A方-C方-DC+D克+F才=AB+BC+ C方+D龙+F才=A龙+F才=F龙 3.C如图，因为点E为 CD的中点，CD∥AB, 所以以EF=5=2.所 EC 以B萨-子B流=号(BC+C市)=号(b 2a) 34+号6，故选C 4.B当a⊥b时，a·b=0也成立，故B错误. 随堂达标检测 1.D由平行四边形法则可得，四边形ABCD是 以AB,AD为邻边的平行四边形.故选D. 2.C (AB+MB)+(BO+BC)+OM (AB+BO)+(M范+BC)+OM=Aò+M心 +OM-(AO+OM)+MC-AM+MC-AC. 故选C 3.C根据相反向量的定义可知，C错误，因为0 与0互为相反向量，但0与0相等.故选C 4.B如图所示，过，点M作MD⊥CB于点D,则 CD=3CB=1,设∠BCM=,则C应.C店 1C1·1CB|cos0=|Ci|·1C市|=3×1= 3,故选B. 11 5. 22 由已知得 x十y-1=0, x一y=0, 解得x=y= 1 2