寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

参考 第一部分完美收官一总结上一学期 高一数学寒假作业（一）集合与常数逻辑用语 知识巩固 1.(1)互异性(2)∈庄(5)有限集无限集 2.A三BB2AA年BB星A 3.(1)p是qq是饣(2)充要条件充要条件 4.(1)任意一个全称命题(2)至少有一个 特称命题 精典题练 1.C集合A=(2,4),B=(-0∞，3)U(5,+∞)，结 合数轴可知A∩B={x2<x<3}.故选C. 2.D由题意可知A={x一2x≤2}，B={x x<1},故A∩B={x-2≤x<1}=[-2,1). 故选D. 3.B集合P={0,1,2},集合M={-3,一2， 1,0,1,2,3},所以P∩M={0,1,2}.故选B. 4.CA={xx>-1},B={x|x<3},故A∩B ={x一1<x<3}=(-1,3).故选C. 5.A在数轴上画出集合A与集合B的交集，可 得A∩B={x2<x≤3}.故选A. 6.DA={xx2十x-6=0}={2,-3}. 若m=0,则B=⑦，B写A:若m=一2则B= 2)=A:若加=3则B=(一3)=A. 设C是集合一，0写}的非空真子集，则三 A的一个充分不必要条件是m∈C.所以B军 A的一个充分不必要条件是m∈{0，号}：故 选D 7.C因为“]x∈M,b(x)”的否定是“Vx∈M, 一(x)”,所以命题“]n∈N,n2>2m”的否定是 “Vn∈N,n2≤2”.故选C. 8.BCA和D中用的是存在量词“至少有一个” “存在”，属存在量词命题；B和C用的是全称 量词“任意的”，属全称量词命题，所以BC是 全称量词命题.故选BC. 答案 9.B.x>1→log4(x+2)<0,log+(x+2)<0 →x+2>1→x>-1, .“x>1”是“log4(x十2)<0”的充分而不必要 条件.故选B. 10.BDA.命题“Vx∈R,x2>-1”的否定是 “]x∈R,x2≤一1”，故A错误； B.命题“]∈（一3，十∞），x2≤9”的否定是 “Vx∈(-3，十oo),x2>9”,故B正确； C.x2>y台|x|>|y,x>y|不能推出 x>y,x>y也不能推出x|>y|,所以 “x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条 件，故C错误； D.关于x的方程x2一2x十m=0有一正一负 （4-4m>0 根台 (m<0 台m<0,所以“m<0”是“关 于x的方程x2一2x十m=0有一正一负根” 的充要条件，故D正确.综上所述，BD正确. 故选BD, 11.解析：，集合A={xx2一4x十k=0}中只有 一个元素， .一元二次方程x2一4x十k=0有两个相等 的根， .△=16-4k=0,即k=4. 答案：4 12.解析：由命题饣为真知，0<c<1, 由命题g为真知，2≤x十1≤5， x2 要使x十>恒成立，需<2，即心 若“pVq”为真命题，“p∧q”为假命题， 则p,9中必有一真一假， 当p真g假时c的取值范国是0<c≤： 当p假q真时，c的取值范围是c>1. 蛛上可知，e的取位范国是0，号]U1,十eo》 答案：(0,2]U1,+∞) 3 a=2a 13.解：由已知A=B,得 6=1)或/ a=b2 ,(2) b=2a [a=0 a=0, 解(1)得 6=0或6=1， a=0 4 解(2)得 ,或 b=0 1 b=2' 又由集合中元素的互异性， 1 a=0 a4 得 或 b=1 b2 14.证明：必要性： 因为a十b=1, 所以a十b-1=0. 所以a+b+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2) -(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b) =0. 充分性： 因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0，所以a≠0且b≠0. 因为。-a6+6=a2+8>0, 4 所以a十b-1=0,即a+b=1. 综上可得，当ab≠0时，a十b=1的充要条件 是a3+b3+ab-a2-b2=0. 高一数学寒假作业（二）一元二次函数、 方程和不等式 知识巩固 1.(1)a>0,b>0(2)a=b2.(1)2ab(2)2 3.{xx>x2或x<x1}{xx∈R且x≠x1} R{xx1<x<x2}⑦ 精典题练 1.A “a+b=1,-2-2=-a+b 2a b 2a 2a0=-号-（会+）：a>0.b>0, b 品十号≥2，当卫仅当6=2a时取等号， ≤--2=-号的 上确界为一号故选A 2.B.x+3y=5xy,x>0,y>0, 8x+4=(x+4(信是）号+影 5x 3x.12y=5. 当且仅当3=2义，即x=2y=1时取等号，x 5y 5x 十2y的值为2.故选B. 3.B正数x,y,a满足ax十y+6=xy,且ax十y ≥2axy,当且仅当ax=y时等号成立，所以 xy≥6+2/a.xy.令t=Jxy,则t-2√at-6≥0， 由xy的最小值为18得t≥3√2，所以3√2为 方程t-2√at-6=0的一个解，则18-6√2a 一6=0，得a=2.故选B. 4.B函数y=log(x十4)-1(a>0,a≠1)的图象恒 过A(-3,-1), 由点A在直线之十义=一1上可得， m n 3+1=-1,即3+1=1， m m n 故3m十n=(3m十)×（倍+7）=10+ 3(份+) 因为m>0,>0,所以是+供≥2√合×只=2 (当且仅当”=，即m=n时取等号)， m n 故3m+n=10+3”+m ）≥10+3×2=16. Am n 故选B. 5.B画出 不等式组 x+2y-3-0 =2x+y 所表示的 x+3y-30 平面区域 如图中阴 影部分所示，之=2x十y的几何意义为直线 2x十y一之=0在y轴上的截距，由图可知，当 直线过点M时，直线2x十y一之=0在y轴上 的截距最大，即目标函数之=2x十y取得最大 值，由+2-3=0解得M3.0),所以：的 x+3y-3=0,第一部分 完美收 高一数学寒假作业（一） 一知一识一巩一固 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、 、无序性， (2)元素与集合的关系是属于或不属于 关系，用符号 或 表示 (3)集合的表示法：列举法、描述法、 Vemn图法. (4)常用数集：自然数集N;正整数集 N(或N+);整数集Z;有理数集Q;实 数集R. (⑤)集合的分类：按集合中元素个数划 分，集合可以分为 2.集合间的基本关系 表示 文字语言 符合语言 关系 集合A与集合B 相等 中的所有元素都 A=B 相同 A中任意一个元 子集 素均为B中的 或 元素 官一总结上一学期 集合与常用逻辑用语 A中任意一个元 素均为B中的 真子集 元素，且B中至 或 少有一个元素不 是A中的元素 空集是任何集合 ⑦二A, A的子集，是任 空集 0手B 何非空集合B (B吴⑦) 的真子集 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若，则q”为真命题，记作：p→q, 则 的充分条件， 的必 要条件. (2)如果既有→q,又有q→p,记作： 台q,则力是q的 ,q是饣的 4.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“ ”在逻辑中通常叫作全称量词，用 “V”表示；含有全称量词的命题叫作 (2)存在量词：短语“存在一个”“ ”在逻辑中通常叫作存在量词， 用“了”表示；含有存在量词的命题叫作 精=典=例=析 (1)已知集合A={-1,0,1,2},B= {x0<x<3},则A∩B= ( A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1,2》 D.1,2} (2)设x∈Z,集合A是奇数集，集合 B是偶数集.若命题p:Hx∈A,2x∈B, 则 A.p:Hx∈A,2xtB B.p:Hx庄A,2x在B C.:3xtA,2x∈B D.7p:3x∈A,2x￠B 【解析】(1)·-1B,0B,1∈B, 2∈B, ∴.A∩B={1,2}.故选D. (2)因全称命题的否定是特称命题， 故命题力的否定为p:]x∈A,2x庄B. 故选D. 【答案】(1)D(2)D 一精典题练 1.已知集合A={x|2<x<4},B= {xx<3或x>5},则A∩B=() A.{x2<x<5} B.{x|x<4或x>5} C.{x2<x<3} D.{x|x<2或x>5} 2.设函数y=√4-x的定义域为A,函数 y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B= A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 3.集合P={x∈Z0≤x<3},M={x∈Z x2≤9}，则P∩M ( A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 4.若A={xx十1>0}，B={xx一3<0}，则 A∩B= A.(-1,+o∞) B.(-o∞，3) C.(-1,3) D.(1,3) 5.若集合A={x1≤x≤3}，B={xx>2}, 则A∩B等于 () A.{x|2<x≤3} B.{xx≥1} C.{x2≤x<3} D.{xx>2} 6.设集合A={x|x2十x-6=0},B= {xmx+1=0},则B是A的真子集的 一个充分不必要条件是 ) Am∈ B.m≠0 Cm∈o,-2,3}D.m∈o, 7.设命题p:3n∈N,n2>2",则p为 A.Vn∈N,n2>2m B.3n∈N,n2≤2m C.Vn∈N,n2≤2m D.3n∈N,n2=2m 8.下列命题中，是全称量词命题的有 ( A.至少有一个x,使x+2x十1=0成立 B.对任意的x,都有x2十2x十1=0成立 C.对任意的x,都有x2+2x十1=0不 成立 D.存在x使x2十2x+1=0成立 9.“x>1”是“1og(x+2)<0”的() A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.(多选)下列说法正确的是 A.命题“Vx∈R,x2>-1”的否定是 “]xo∈R,x2<-1” B.命题“3x∈(-3，十∞)，x,2≤9”的否 定是“Vx∈(-3，+∞)，x>9” C.“x2>y2”是“x>y”的必要而不充分 条件 D.“m<0”是“关于x的方程x2一2x十 m=0有一正一负根”的充要条件 11.已知集合A={x|x2-4x十k=0}中只 有一个元素，则实数k的值为 12.已知c>0,且c≠1，设命题：函数y=c 为减函数.命题g:当x[2时，函 数f)=x+>:恒成立.如果 “pVq”为真命题，“p∧q”为假命题，则 c的取值范围为 13.已知集合A={a,b,2},B={2,b, 2a},若A=B,求实数a,b的值. ·3 14.已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条 件是a3+b3+ab-a2-b=0.