寒假作业(四) 函数的性质-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（四）函数的性质 二、函数的最值 知一识巩固 一、函数的单调性 前 设函数y=f(x)的定义域为I,如 1.单调函数的定义 提 果存在实数M满足 增函数 减函数 （1)对于任意 (1)对于任意x∈ 一般地，设函数f(x)的定义域 x∈I,都有④ 条 I,都有⑥ 为I.如果对于定义域I内某个 件 (2)存在x∈I, 区间D上的任意两个自变量的 (2)存在x∈I,使 使得⑦ 值x1,2 得⑤ 结 定义 M为最大值 M为最小值 当x<x2时， 当x<2时，都 论 都有① 有② 三、判断函数的奇偶性 那么就说函数 那么就说函数 判断函数的奇偶性，一般都按照定义 f(x)在区间 f(x)在区间D 严格进行，一般步骤如下： D上是增函数 上是减函数 (1)判断定义域是否关于⑧ (2)判断表达式f(-x)是否等于f(x) 2.单调区间的定义 或-f(x): 若函数f(x)在区间D上是增函数或减 若f(一x)=一f(x),则f(x)为奇函数： 函数，则称函数f(x)在这一区间上具有 若f(一x)=f(x),则f(x)为偶函数： (严格的)单调性，③ 叫作f(x) 若f(一x)=-f(x)且f(一x)=f(x),则 的单调区间. f(x)既是奇函数又是偶函数； 注意：当函数有多个单调增（减）区间 若f(一x)≠一f(x)且f(一x)≠ 时，区间之间用“，”隔开，而不用“U”. f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶 函数，即为非奇非偶函数. ·10· 四、奇偶函数的性质 精典题一练 (1)奇函数在关于原点对称的区间上 的单调性⑨ ,偶函数在关于 1.已知g(x)=1-2x,f[g(）]=1-x 原点对称的区间上的单调性⑩ (填“相同”或“相反”). (x≠0，那么f(） (2)任意一个定义域关于原点对称的 A.15 B.1 函数f(x)均可写成一个奇函数g(x) C.3 D.30 与一个偶函数h(x)和的形式，即 2.函数y=2一√一x十4x的值域是 f(x)=g(x)十h(x),其中，g（x)= ( f）-f-D,hx)=f)+f-2 2 A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-√2,2] 精=典一例一析 2,x≤0， 3.设函数f(x)= 则方程 设函数f()=x3-,则f(x) 1og2x,x>0, f(x)= 的解集为 A.是奇函数，且在(0，十∞)单调递增 A.{-12 B.是奇函数，且在(0，十o)单调递减 C.是偶函数，且在(0，十∞)单调递增 C.{-1} D1， D.是偶函数，且在(0，十o∞)单调递减 【解析】方法一函数f(x)的定义域 4.函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区 ( 为(-∞，0)U(0,十∞)，且f(-x)= 间是 A.(0,+o) B.(-0∞，0) （-=-+=-0所 C.(2,+∞) D.(-o∞，-2) 以f(x)是奇函数. 5.函数y= 10g(3-2)的定义域是 e+1 又因为y=x3在(0，十∞)单调递增，所以 y-一是在(0，十0)也单调递特，所以 f(x)在(0，十∞)单调递增. 方法二同方法一得f(x)是奇函数. B引 又f(x)=(x3-x3)=3x2+3x4>0, 所以f(x)在(0，十∞)单调递增. c.(-,U1) 【答案】A D.(-∞，1)U(1,+∞) ·11· 6.已知函数y=f(x+2)的定义域为 10.已知y=f(x)满足f(x十1)+f(-x [-2,5),则y=f(3x-1)的定义域为 十1)=2，则以下四个选项一定正确的 ( 是 A.[-7,14) B.(-7,14] A.f(x-1)十1是偶函数 c(后》 n[G) B.f(-x+1)-1是奇函数 C.f(x+1)+1是偶函数 7.下面各组函数中为相同函数的是 D.f(.x十1)-1是奇函数 11.若函数f(x)=2m+2+√x-2m的定 A.f(x)=√/(x-1)与g(x)=x-1 义域与值域相同，则实数m的值为 B.f(x)=√-1与g(x)=√x+I·√/x-1 C.f(x)=lne与g(x)=enx 12.已知函数f)=22,丽数gx) D.f()=x°与g(x）=1 -(x-1)2+a,若存在x1,x2∈[0,2]， 8.函数f)=log,1-2x)+7的定义 使得f(x)=g(x2)成立，则实数a的取 值范围是 域为 A(02) 18.已知函数f)=2红-t-1D. (1)判断并证明函数f(x)在（一1， B(-o,2) +十∞)上的单调性； C.(-1,0)U(0,2) D.(-∞-1U(-1,) 9.已知定义在R上的函数f(x一1)的图象 关于x=1对称，且当x>0时，f(x)单调递 减，若a=f(og.53),b=f(0.513),c= f(0.7),则a,b,c的大小关系是( A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a ·12· (2)当x∈[1，m](m>1)时，函数f(x) (2)若f(x)是定义在R上的偶函数， 的最大值与最小值之差为2，求m的 且在区间[0，十∞)上是增函数，求不 等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集. 值. 14.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增 函数，求不等式f(2x-1)+f(3)<0 的解集； ·13·若a≤0，则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2 +1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. 答案√2 18.解：由f2)=1得2261.即2a+6=2: 由f)=x得十6 变形得(a十61)=0， 解此方程得x=0或x=1一b a 又因方程有唯一解，故一b=0, 解得6=1，代入2a+6=2得a=2 所以f(x)=2x x+2 14.解：当x∈[0,30]时，设y=k1x十b1, b1=0, 由已知得 30k1+b1=2, 1 解得 k1二 b1=0, 1 “y=5 当x∈(30,40)时，y=2; 当x∈[40,60]时，设y=k2x+b2, 40k2+b2=2 由已知得 60k2+b2=4 、1 k210， 解得 b2=-2 022. 1 152, x∈[0,30]， 综上，f(x)=2, x∈(30,40)， 10x-2, x∈[40,60]. 高一数学寒假作业（四）函数的性质 知识巩固 ①f(x1)<f(x2)②f(x1)>f(x2)③区间D ④f(.x)≤M⑤f(.xo)=M⑥f(.x)≥M ⑦f(x)=M⑧原点对称⑨相同O相反 精典题练 1.A令g(x)=1-2x= 2得x= 4 15.故选A. 2.C设函数g(.x)=√一x+4x,则g(x)= √J一(x-2)十4，所以g(x)的值域为[0,2]，当 g(x)=0时，y=2-√一x十4z取得最大值2； 当g(x)=2时，y=2-√一x十4x取得最小值 0.所以函数y=2一√/一x2十4x的值域为 [0,2].故选C 3.D当0时，2=号=-1：当0<<1时， 2a② 1log=-1ogr=号，x ：当x>1时，l0gt 1 之，x=②.故所求解集为 选D. 4.D函数y=f(x)的定义域为（一∞，一2）U (2,十o∞)，因为函数y=f(x)是由y=log号t与 t=g(.x)=x2-4复合而成，又y=log号t在 (0,十∞)上单调递减，g(x)在(-∞，一2)上 单调递减，所以函数y=f(x)在（一∞，一2）上 单调递增.故选D. e+1 5.C要使西数y1og,32m有意义，应满足 【21解得号且x≠1，即x<1或 1K<号放画数y=g82m的定义故 e2+1 是(x<1或1<<.故选C 6.D因为函数y=f(x十2)的定义域是[-2,5)， 所以一2x<5,所以0≤x十2<7，所以函数 f(x)的定义域为[0,7).对于函数y=f(3.x一1)， 0-1<7,解得3<<号故y=3-1） 的定义城是[子·)故选D 7.D函数的三要素相同的函数为相同函数，对 于选项A,∫(x)=x一1|与g(x)对应关系不 同，故排除选项A;选项B、C中两函数的定义 域不同，排除选项B、C.故选D. 8.D由1-2x>0x+1≠0，得<2且x≠-1， 所以函数f)=l0g:1-2x)十十的定义 域为(-∞，-1DU(-1,2)故选D. 9.A定义在R上的函数f(x1)的图象关 于x=1对称，∴.函数∫(x)为偶函数.1og.53 <log0.s1=0,∴.f(log0.s3)=f(log23),∴.1= log22<log23<log24,,'当x>0对，f(x)单调 递减，.c>a>b.故选A. 10.D根据题千条件可知函数f(x)关于点(1,1) 中心对称，故f(x十1)关于(0,1)中心对称， 则f(x+1)一1关于(0,0)中心对称，是奇函 数.故选D. 11.解析：：函数f(x)=2-2m+2十√c-2m,.函 数f(x)的定义域为[2m,十o)..函数f(x) 的定义域与值域相同，∴.函数f(x)的值域为 [2m,十∞).又函数f(x)在[2m,+oo)上单 调递增，∴.f(2m)=22=2m,解得m=2. 答案：2 12.解析：fx)=2,=2+2）-4=2- x十2 x+2 十2则函数f(x)在[0,2]上为增函数，则 4 f(0)≤f(x)≤f(2),即0≤f(x)≤1，所以函 数f(x)的值域是A=[0,1].又g(x)= -(x-1)2+a在[0,2]上的值域是B=[a-1, a],若存在x1,x2∈[0,2]，使得f(x1)= g(x2)成立，则A∩B≠必.若A∩B=0,则 a<0或a-1>1,即a<0或a>2,所以实数 a的取值范围是[0,2]. 答案：[0,2] 13.解：(1)函数f(x)在（一1，+o∞）上是单调递 增函数.证明如下： Vx1,x2∈(-1，+∞)，且-1<x1<x2, 又)-号-2 x十1 则x))=2-( 3(x1-x2） (x1+1)(x2+1) 因为一1<x1<x2, 所以x1一x2<0,x1十1>0，x2+1>0, 。4 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在（一1，十o∞）上是单调递增函数. (2)由(1)知f(x)在[1，m]上单调递增，所以 此时f(x)的最大值为f(m)=2m-1, m十7，最小 值为f1)=2,所以f(m)-f(1)=2,即 0司名部得m-2. 14.解：(1)根据题意，f(x)为奇函数，且在R上 是增函数，则f(2x一1)十f(3)<0→ f(2x-1)<-f(3)→f(2x-1)<f(-3)→ 2x-1<-3, 解得x一1，即不等式的解集为（一o,一1）. (2)根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数， 且在区间[0，十∞)上是增函数，则f(2x一1) -f(-3)<0→f(2.x-1)<f(3)→ f(2x-1)<f(3)→|2x-1|<3, 解得一1<x<2,即不等式的解集为(-1,2). 高一数学寒假作业（五）指数与指数函数 知识巩固 1.11子a0没有意义(2a+a a'b'2.(1)R(2)(0,+∞)(4)y>10<y <1(5)0<y<1y>1(6)增函数(7)减 函数 精典题练 K 1.C 因为1)=1十e西，所以当1')= K 0.95K时，1十e8=0.95K→ 1+e03au-两=0.95→1十e023-58) 0.95→e02a-58=1 1 =0.95-1→e028-58=19 >0.23(1=53)=1n10→1023+53 ,23十53≈66.故选C 2.C由f(x)是偶函数得f(-√2)=f(√2)，再 由偶函数在对称区间上单调性相反，得∫(x) 在(0，十o∞)上单调递减，所以由2川<√2，得