寒假作业(二) 一元二次函数、方程和不等式-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

a=2a 13.解：由已知A=B,得 6=1)或/ a=b2 ,(2) b=2a [a=0 a=0, 解(1)得 6=0或6=1， a=0 4 解(2)得 ,或 b=0 1 b=2' 又由集合中元素的互异性， 1 a=0 a4 得 或 b=1 b2 14.证明：必要性： 因为a十b=1, 所以a十b-1=0. 所以a+b+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2) -(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b) =0. 充分性： 因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0，所以a≠0且b≠0. 因为。-a6+6=a2+8>0, 4 所以a十b-1=0,即a+b=1. 综上可得，当ab≠0时，a十b=1的充要条件 是a3+b3+ab-a2-b2=0. 高一数学寒假作业（二）一元二次函数、 方程和不等式 知识巩固 1.(1)a>0,b>0(2)a=b2.(1)2ab(2)2 3.{xx>x2或x<x1}{xx∈R且x≠x1} R{xx1<x<x2}⑦ 精典题练 1.A “a+b=1,-2-2=-a+b 2a b 2a 2a0=-号-（会+）：a>0.b>0, b 品十号≥2，当卫仅当6=2a时取等号， ≤--2=-号的 上确界为一号故选A 2.B.x+3y=5xy,x>0,y>0, 8x+4=(x+4(信是）号+影 5x 3x.12y=5. 当且仅当3=2义，即x=2y=1时取等号，x 5y 5x 十2y的值为2.故选B. 3.B正数x,y,a满足ax十y+6=xy,且ax十y ≥2axy,当且仅当ax=y时等号成立，所以 xy≥6+2/a.xy.令t=Jxy,则t-2√at-6≥0， 由xy的最小值为18得t≥3√2，所以3√2为 方程t-2√at-6=0的一个解，则18-6√2a 一6=0，得a=2.故选B. 4.B函数y=log(x十4)-1(a>0,a≠1)的图象恒 过A(-3,-1), 由点A在直线之十义=一1上可得， m n 3+1=-1,即3+1=1， m m n 故3m十n=(3m十)×（倍+7）=10+ 3(份+) 因为m>0,>0,所以是+供≥2√合×只=2 (当且仅当”=，即m=n时取等号)， m n 故3m+n=10+3”+m ）≥10+3×2=16. Am n 故选B. 5.B画出 不等式组 x+2y-3-0 =2x+y 所表示的 x+3y-30 平面区域 如图中阴 影部分所示，之=2x十y的几何意义为直线 2x十y一之=0在y轴上的截距，由图可知，当 直线过点M时，直线2x十y一之=0在y轴上 的截距最大，即目标函数之=2x十y取得最大 值，由+2-3=0解得M3.0),所以：的 x+3y-3=0, 最大值为2×3十0=6，即m=6,所以a十b=6, 故日+=日（日+）×(+6) (6+会+)≥5+2V2×婴)-是· 当且仅当合-积，即=4,8=2时等号成立 故选B. 6.B.-c<ax+bc,又a>0, :-+c<<二b a 不等式的解集为{x|一2<x<1}, (b十c=-2, b=a a c-b=1, 3 a c=2a, at6:6=a:号：号=21：3故选B 7.A根据题意，若不等式a.x2+bx十c>0的解集 是(-4,1)，则一4与1是方程a.x+bx十c=0的 [(-4)+1=-b 根，且a<0,则有 -4)×1=合， 解得b=3a,c=-4a,∴.不等式b(x2-1)十 a(x+3)+c>0可化为3(x2-1)+(x+3) 4<0,整理得3x2+x-4<0,即(3x十4)(x-1)<0, 解得-专<1，即不等式6(x-1D十a(z+3) 十>0的解集为(- 号1小故选A 8.A不等式f(x)≥ +a为-f)≤受十 a≤f(x)(), 当x≤1时，(*)式即为-x2+x-3≤5十a≤ x2-x+8,-x2+-3≤a≤r2- 又-+受-3=-（-4)广-将≤- (x=时取等号， -3=(-)+器器x=时取 等号)， 39 。4 当>1时()式为-x-2<受十a<十品 3 2 x2 2x-2<a≤5+， 又--=-（侵+-2（当 25时取等号)： +≥2√受+子=2当=2时取学号） 所以一2√3≤a≤2， 47 综上一将u≤2.故选A 9.1±⑤ 2 1oua<<日} 11.解析：方法1y2-x2=2c(a-b)>0, .y>x.同理，之>y,.z>y>x. 方法2令a=3,b=2,c=1, 则x=√18，y=√20,2=√26，故之>y>x. 答案：之>y>x 12.{x|-ln2<x<ln3} 13,解：1D已知0<<号，所以0<3x<4 所以x(4-3)=号3)4-3) 当且仪当3=4一3，即=号时“-“成立 所以当=号时，x(4-3)取最大值为号 (2)已知点(x,y)在直线x十2y=3上移动， 所以x十2y=3. 所以2+4≥2√2·4=2√2+四= 2√2=4V2. 2=4, 当且仅当 x+2y=3, 成立 所以当x=号y=是时，2十取最小位 为4√2. 14.解析：因为(a十b)x+2a-3b<0, 所以(a+b)x<3b-2a, 因为不等式的解集为 所以a十b<0,且36-2a=一3 atb 解得a=3b<0, 则不等式(a-2b)x+2(a-b-1).x十a-2>0, 等价于bx+(4b-2)x+3b-2>0, 即+(4-号)以+3-号<0， 即(x+1)(+3-号)<0. 因为-3+号<-1， 所以所求不等式的解集为x -3+号<K-1小 高一数学寒假作业（三）函数的概念及其表示 知识巩固 1.(1)数集唯一确定定义域(3)定义域 值域对应关系值域定义域对应关系 2.非空唯一确定3.解析法列表法图象 法4.对应关系并集并集 精典题练 1.A由函数有意义可知ln(3x一5)≠0， .3x-5≠1， x≠2.注意到真数大于零，故3x一5>0即 >号，故函数的定义城为（停，2）U2,十∞故 选A. 2.D因为f(-5）=f(s)=2sin背=3， f4)=log4=2,所以f(-5）+f(4)=3+2. 故选D. 3.A对于A,y=(√)2的定义域为[0，十∞)， y=√的定义域为R,则A不正确；对于B, y=lne'=x,y=e“,则B不正确；对于C,y 的定义城为（一∞，1DU(-1,十》 y=x一1的定义域为R,则C不正确；对于D, y=lg(x十1)一1的定义域为(-1，十o∞)，y= e忠-k+1)-1的定义城为(-1，+eo. 则D正确.故选D. 4.A因为3+4m>3,所以f(3+4")=10g24m= 2m.故选A. f0≤2x≤2， 5.A由题意，得 解得0≤x≤1，故 18-2≥0， 选A. x>0, 6.C要使函数有意义，则 log2x-1>0, 解得x>2.故选C. 7.D取x=0,受，可得f(0)=0,1,这与函数的 定义矛盾，所以选项A错误； 取x=0,π，可得f(0)=0,π十π，这与函数的 定义矛盾，所以选项B错误； 取x=1,一1，可得f(2)=2,0,这与函数的定 义矛盾，所以选项C错误； 取f(x)=√x十1，则对任意x∈R都有f(.x2十 2x)=/x2十2x十1=x十1，故选项D正确. 综上可知，本题选D. 8.D由图可知，0℃在虚线框内，所以各月的平 均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平 均温差比一月的平均温差大，B正确；三月和 十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相 同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份不 是5个，D不正确.故选D. 9.D当x>0时x十>， 所以f(e+2+2)=f(+3-): 即f(x+1)=f(x), 所以f(6)=f(5)=f(4)=…=f(1)=-f(-1) =2.故选D. 10.解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为 2的奇函数，所以f(0)=0,f(x+2)=f(x), 所以f(-)+f2)=f(-号+2)+f0)= f(-2)+0=-f(2)=-4=-2. 答案：一2 11.解析：要使函数y=√3一2x一x2有意义，则 3一2x一x2≥0，解得-3≤x≤1，则函数y √/3-2x-x的定义域是[-3,1]. 答案：[-3,1] 12.解析：若a>0,则f(a)=-a<0,f(f(a) =a4-2a2+2=2,得a=√2高一数学寒假作业（二） =知=识巩一固 1.基本不等式/ (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b≥ (a,b∈R). 22+≥ (a,b同号). 8a告 (a,b∈R). (a,b∈R). 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解 集如下表： 判别式 △>0 4=0 △<0 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+ (a>0)的图象 0=王 ·元二次方程有两相异实根 有两相等实根 ax2+bx+c=0 x1·T2 没有实数根 b x1=x2= (a>0)的根 (x1<x2) 元二次函数、方程和不等式 ax2+bx+c0 (a>0)的解集 x2+bx+c<0 (a>0)的解集 一精典例=析 如图，建立平面直角坐标系xOy,x 轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长 度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮 弹发射后的轨迹在方程y=kx一 21+)(>0)表示的曲线上，其中及 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 点的横坐标 ↑千米 千米 (1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物（忽略 其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它 的横坐标α不超过多少时，炮弹可以击中 它？请说明理由， 【解】(1)令y=0,得kx 201+ k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 故x 20k=20≤20=10， 1十Rk十友 12 当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0, 所以炮弹可击中目标台存在k>0, 徒3.2=如易1+0成立 台关于k的方程a2k2-20ak十a2+64=0 有正根 台判别式△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 台a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标. 精典题练一 1.对于使f(x)≤M成立的所有常数M, 我们把M的最小值称为f(x)的上确 界，若a,b∈(0，+∞)，且a十b=1,则 名号的上确界为 N-号 B号 c D.-4 2.若正数x,y满足x十3y=5.xy,当3x十4y 取得最小值时，x十2y的值为() B.2 c D.5 3.若正数x,y,a满足a.x十y十b=xy,且 xy的最小值为18，则a的值为() A.1 B.2 C.4 D.9 4.函数y=log(x+4)-1(a>0,a≠1)的图象 恒过定点A,若点A在直线工+义=一1 上，且m0,n>0,则3m十n的最小值为 A.13 B.16 C.11+6√2 D.28 /x+2y-3≤0， 5.已知x,y满足{x十3y-3≥0，z=2x十y的 y1, 最大值为m,若正数a,b满足a十b=m, 则日+专的最小值为 () A.9 8 c 6.设a>0,不等式一c<ax十b<c的解集 是{x-2<x<1},则a:b：c=( A.1:2:3 B.2:1:3 C.3:1:2 D.3:2:1 7.若不等式ax2十bx+c>0的解集是 (-4,1),则不等式b(x-1)+a(x+3)+ c>0的解集为 A（-专1 B.(-∞1)U(传+∞) C.(-1,4) D.(-o∞，-2)U(1,+∞) x2-x十3，x≤1， 8.已知函数f(x)= 0+2 设 ,x>1. a∈R,若关于x的不等式f（x)≥ +a在R上恒成立，则a的取值范 围是 A[-2] 8.[ 47391 1616 C.[-2√3,2] D[-2】 9.若不等式-2≤x2-2ax十a≤-1有唯 一解，则a的值为 10.若0<a<1,则不等式(a一x) (x-)>0的解集是 11.设a>b>c>0,x=√a2+b+c2,y= √b+c+a,之=√c2+a十b,则x,y,之 的大小关系是 .(用“>”连接) 12.已知函数f(x)=a.x2十bx+c(a≠0)， 若不等式f(x)<0的解集为 z<2或x>3,则fe)>0(e是 自然对数的底数)的解集是 13.(1)已知0<<号，求x(4-3x)的最 大值； 。6 (2)点(x,y)在直线x十2y=3上移动， 求2”十4'的最小值. 14.已知不等式(a+b)x+2a-3b<0的解 集为d>一，求不等式(a-2b) x2+2(a-b-1)x十a-2>0的解集.