寒假作业(八) 三角函数的图象与性质-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（八） 知-识一巩一固 三角函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cos x y=tan r J+ 图象 2 T/2 0 {x|x∈R且 定义域 x∈R x∈R x≠受+k，∈Z 值域 [-1,1] 在[(2k-1)π 在 2kπ]，k∈Z上递 上递增： 衣 单调性 增： 在 上递增 在[2kπ，(2k十1) 上递减 π]，k∈Z上递减 当x= 时， 当x= Vmax =1; 时，ymx=1 最值 无最值 当x= 当x= 时， 时，ymn=一1 ymin=-1 奇偶性 对称中 (kπ，0)，k∈Z (受，0.kez 称 对称轴 无 周期 2π 24 三角函数的图象与性质 精=典=例-析三 设函数f(x)=cos(ax+吞）在 [一元，π]的图象大致如下图，则f(x)的最 小正周期为 0 10元 A. B.6 c.弩 π D.2 【解析】由图象知π<T<2π， 即元≤元<2元，所以1<w<2 因为图象过点（一50）小， 所以cos(o+若）=0 所以一十吾=m十k∈, 所以ω=一 因为1<w<2,故及=-1，得w= 故x)的最小正周期为T-二-等故 选C. 【答案】C 精典题-练 l.函数y=xcos x十sinx在区间[-π，π] 上的图象可能是 2.函数f(x)=,tanx的最小正周期为 1+tan x A. B.Z C.π D.2π 3.函数f)=sin2x+)的最小正周期 为 A.4π B.2π C.元 D. 4.将函数y=sin(2x+)的图象向右平 移恶个单位长度，所得图象对应的函数 ( A.在区 [一·]上单递增 B.在区 [一平0]上单调递减 C.在区 [至，]上单调递增 D.在区 [受x上单调递狱 2 5.函数y=Asin(wx十p)的部分图象如图 所示，则 A.y=2sin(2x-若) B.y=2sin(2x-5】 C.y-2sin(+) D.y=2sin(+) 6.设函数f(x)=2sin(ar十p),x∈R,其中 =0, 且f(x)的最小正周期大于2π，则 A.w-号9范 2 2 11π B.w=39- 12 .1 C.w 11元 24 D.w= 7π 39= 24 7.为了得到函数y=sin(x+)的图象， 只需把函数y=sinx的图象上所有的 点 ( A.向左平行移动5个单位长度 B.向右平行移动于个单位长度 C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动5个单位长度 8.(多选)已知函数f(x)=cos之 (sin+cos),则下列区间中f(z) 在其上单调递增的是 B(-吾，) C.( D.(-0 9.有下列四种变换方式： ①向左平移下个单位长度，再将横坐标 变为原来的（纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 再向左平移餐个单位长度： ③横坐标变为原来的，（纵坐标不变）， 再向左平移不个单位长度， ④向左平移零个单位长度，再将横坐标 变为原来的)（纵坐标不变）. 其中能将正弦函数y=sinx的图象变 为y=sin(2+至)的图象的是（ ) A.① B.② C.③ D.④ 10.定义在区间[0,3π]上的函数y= sin2x的图象与y=cosx的图象的交 点个数是 2 11.函数y=sinx-√3cosx的图象可由函 数y=2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到 12.若“yx∈[0，]，tanx≤m“是真命 题，则实数m的最小值为 13.已知函数f(x)=3cos(2x-) 2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈[-，]时，f(x)≥ 6· 14.已知函数f(x)=sin2x-cos2x- 2√3 sin xcos x(x∈R) 1)求f)的值： ·27· (2)求f(x)的最小正周期及单调递增 区间.答案：青 13.解析：，A十B十C=π， ∴.A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B. 'sin A+BC=sin A-BC 2 'sin C=sin 2B, 2 2 ·sin(受-C)=sim(受-B) 即cosC=cosB. 又，B,C为△ABC的内角，.C=B, .△ABC为等腰三角形. 14.解析：，5x2一7x-6=0的根为x=2或x= sina 5 又，a为第三象限角， 六cosa=-√-sina=-4 心tana=3 41 原式= (-cosa)·(-cosa)·tana·(-tana) sina·(-sina) =tan a= Γ4 高一数学寒假作业（八）三角函数的图象与性质 知识巩固 [-1,1][-受+2km,受+2kx](k∈Z)[受 十2m:要+2]，(k∈Z)【-受+k,(受+ kπ)]，(k∈Z)吾+2kx(k∈Z)-受+2kπ(k ∈Z)2kπ(k∈Z)π十2kπ(k∈Z)奇偶 奇(k十受，0)(k∈Z)x=元+罗(k∈Z) x=kπ(k∈Z)2ππ 精典题练 1.A当x=元时，y=元·c0s元十sin元=元· (一1)十0=一元；当x=一元时，y=一π·C0s (一π)+sin(一x)=一元·(-1)+0=元.故函 数图象过（π，一π），（一π，π）两点.故选A. 2.C本题考查三角函数的周期. 方法一：)的定义城为xx≠m十受，∈乙. sinx 1 f(x)= cosx 1+(sin x 7=sinx·cosx=zsin2x, cos ·5 f(x)的最小正周期T=2=元 2 方法二：f(x十π)= tan(x+π) tan x 1+tan (x+x)1+tanx =f(x),.π是f(x)的周期. tan(+ +)F1中m(+ 而ian(+受） sin(x+)】 os(+】 cos 1 -sin x tan x f(x+)= tanx≠f(x): 1+tan'x 六受不是f)的周期， 平也不是f()的周期.故选C, 3.C函数f(m)=sin(2x+5)的最小正周期 =.故选C 4.A本题主要考查三角函数图象的变换及三 角函数的性质.将y=sin2z十)的图象向右平 移器个单位长度，所得图象对应的函数为y sim[2(x-无)+零]=sin2x,当2km-受<2≤ 2kx十5(k∈Z),即km-至<x<km+平(k∈Z) 时，y=sin2x单调递增，令k=0,则x∈ [-年]，所以y=sin2x在[-至，]上单 调递增.故选A. 5.A由因易知A=2,因为周期T满足 否-（←吾），所以T=w=票=2.由x=晋 时y=2可知2X号+9=乏+2kx(k∈Z),所 以g=一否十2kπ（质∈Z),结合选项可知函数 解析式为y=2sin(2z-石）故选A. 6.A由f(贺）=2，f(g）=0,f(x)的最小正 3 周期T>2,可得告-爱=要=子，所以 T-3:所以w一要-景再白f(肾）-2及 g<x得9=是故选A 7.A函数y=sinx的图象向左平行移动T个 单位长度可得到y=sin(十)的图象.故 选A. 8.ACD f ()cos(3sin+cos)- 9mr+1十g=m(e+）+分令2x 登<x+吾<36x+受k∈Z.可得2x-5< 3 ≤2kx十弩，k∈乙.当=0时，函数f(x)在 [-,]上单调道增.又(0)三 [登]，(0)=[爱]所以D 满足题意；当k=1时，函数∫(x)在 「4不，7π上单调递增，所以A满足题意.故 L33」 选ACD. 9.AB①向左平移于个单位长度，再将横坐标 变为原来的？（纵坐标不变），则正弦函数y sinx的图象变为y=sin(2x+)的图象： ②横坐标变为原来的2（纵坐标不变），再向左 平移个单位长度，则正孩函数y=sinx的图 象变为y=sin2(x+g）=sin(2x+F)的 图象； ③横坐标变为原来的？（纵坐标不变），再向左 平移平个单位长度，则正弦函数y=sinx的图象 变为y=sin2(x+牙）=sin(2x+2)的图象： ④向左平移ξ个单位长度，再将横坐标变为原 ·5 来的号（纵坐标不变)，则正弦函数y=simx的 图象变为y=sin(2x+)的图象，因此①和 ②符合题意.故选AB. 10.解析：由sin2x=cosx可得cosx=0或 sinx=分，又x∈[03m],则x=受，经，受或 Γ2’2’2 -音晋，号故所水交成个戴是7. 答案：7 11.解析：因为y=sinx-√3cosx= 2sinx-牙)，所以函数y=sinx-3cos a 的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右 平移牙个单位长度得到. 3 答案：子 l2.解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区 同[0，至]上恒成立，即y=anx在[0，]上 的最大值小于或等于m,又y=tanx在 [0,至]上的最大值为1，所以m≥1，即m的 最小值为1. 答案：1 13.解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的 性质。 (1)f()=cos 2a+sin 2a-sin 2.r 2sin2 9os2z=sn(2z+） 所以f(x)的最小正周期T= 2 (2)证明：因为一平<≤至， 所以sim(2x+晋)≥sin(-若）=-2 所以当xe[-子，]时，≥-2 14.解析：本题主要考查三角函数的性质及其变 换等基础知识，同时考查运算求解能力. ①由m-co-， 3 f()-(停)-()-2× ×(2) 得()=2 (2)由cos2x=cos2x-sinx与sin2x=2sin ccos x得 f(r)--cos 2.r-/3sin 2x--2sin(2) 所以f(x)的最小正周期是π. 由5+2km<2x+晋<5+2kx,k∈Z, 解得君十k≤<+m,∈Z 所以，(x)的单调递增区间是 [吾+m,号+x]k∈z. 高一数学寒假作业（九）三角恒等变换 知识巩固 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin a sin B (3)sin acos B+cos asin B (4)sin acos B -cos asin B 6" (6)tan a-tan B 1+tan atan B 2.(1)2sin a cos a (2)cos'a-sin'a 2cos'a-1 (3).2tana 1-tan'a 精典题练 1.Dsin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20° cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10) =sin30°=2.故选D 2.B f(x)=1-2sin'z+6sin x =-2(snx- )周为m6[-1,. 所以当sinx=1时，f(x)取得最大值，且 f（x)mx=5.故选B. 左移石 3.D y=sin x y=sin(x+晋) 横坐标伸长 到2倍 y=sin(2x+否故选D. /1 ·5 4.D方法一：（通性通法)由tan0=一 1 3 得sin0=-0 eos0=3或sing= 10 10, 00,所以c0s20=os10-5n0=4 cos0=-310 故选D. 方法二：（光速解法）cos29=cos0-sin0 cos 0+sin 0 1-tan0 1-（-3】 4 1+tan0 1+(-3) ·故选D. 5.D本题考查三角函数的性质、函数与方程，考 查考生的运算求解能力.函数f(x)=1一c0巡 2 +名nr+-号n(a)w>0.当e (,2m)时，uz-平∈(um-平，2元-平)(u>0), 则问题转化为函数y=sint在t∈ (um一平2一军)0<u<1上无零点， wx-≥0， 则 或 解得0K<名或≤≤客故选D 1 6.A由于a,B都为锐角，所以cosa=√1-sin2a -25s月1-m9-3Y 10 所以cosa+B)=cosa·cos月-sina·snB号， 所以a十=平故选A. 7.解析：国为a∈(0，受)，且ana==2,所 以sina=2cosa,又sina+cos'a=1, 所以sin&=25osa-=停则cos(e晋） w6o+nen子-9x9+25×9 >2 5 2 =310 10 答案四