专题03 分式方程及应用(七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年人教版八年级数学上册《知识解读•题型专练》

专题03 分式方程及应用 【题型1 分式方程定义】...................................................................................................1 【题型2 解分式方程】........................................................................................................1 【题型3 根据分式方程解的情况求值】..........................................................................3 【题型4 分式方程应用-工程问题】.................................................................................4 【题型5 分式方程应用-行程问题】.................................................................................7 【题型6 分式方程应用-销售问题】.................................................................................9 【题型7 分式方程应用-其他问题】...............................................................................12 【题型1 分式方程定义】 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 解分式方程】 1．解方程：． 2．解下列方程： (1)； (2)． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 4．解方程． (1) (2) 5．解方程： 6．解下列分式方程： (1) (2) 7．解方程： (1)； (2)． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 1．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 2．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 3．若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 6．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 7．若关于x的分式方程无解，求m的值． 8．已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 9．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 10．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【题型4 分式方程应用-工程问题】 1．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 2．为了改善交通环境，对某段路进行改造，需要铺设一段长300米的排污管道，铺设120米后为了尽可能减少施工对交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果完成这一任务共用了30天，求原计划每天铺设排污管道多少米． 3．在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍，如果两工程队各自独立完成的绿化面积，那么甲工程队比乙工程队少用6天． (1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元，乙工程队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过36天，则一共有多少种安排方案？（工作天数为整数） 4．某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？ 5．西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． (1)求两种货车每辆可装多少件医疗物资； (2)现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 6．全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 7．某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 8．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 9．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【题型5 分式方程应用-行程问题】 1．长春市到沈阳市的距离约为300千米．小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从长春市去沈阳市．小刘比小张晚出发小时，最后两车同时到达沈阳市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．求大货车的速度． 2．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 3．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 4．列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 5．某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米． 任务 任务一：求基础模式和标准模式的速度； 任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 【题型6 分式方程应用-销售问题】 1．综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 2．雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 3．湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． (1)甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? (2)两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 4．尊老爱幼是中华民族的传统美德，“重阳节”来临之际，某班组织“情暖夕阳”慰问活动，计划给社区养老服务中心的老人们送上暖心慰问品．同学们准备购买两种糕点：软糯香甜的重阳糕和温润营养的山药糕．购买3盒重阳糕和2盒山药糕共需112元，1盒重阳糕的价格比1盒山药糕贵4元． (1)重阳糕和山药糕的单价分别为多少元？ (2)班委购买糕点时，商店支持同学们的爱心活动，决定降价销售两种糕点．将重阳糕的单价降低了元，山药糕单价降低了元，同学们分别用400元、360元购买了相同数量的重阳糕和山药糕，求的值． 5．“今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少． (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子，且总费用不超过4600元，则该商场节前至多购进多少千克A粽子？ 6．中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【题型7 分式方程应用-其他问题】 1．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 2．山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”．山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量比原来增加了，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 3．下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 4．深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 5．“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 6．20年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕．标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为 ．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电 ．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 1．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 3．某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程及应用 【题型1 分式方程定义】...................................................................................................1 【题型2 解分式方程】.......................................................................................................3 【题型3 根据分式方程解的情况求值】..........................................................................8 【题型4 分式方程应用-工程问题】................................................................................15 【题型5 分式方程应用-行程问题】.................................................................................23 【题型6 分式方程应用-销售问题】...............................................................................27 【题型7 分式方程应用-其他问题】...............................................................................33 【题型1 分式方程定义】 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判断即可． 【详解】①分母中含有未知数，是分式方程； ②，分母中不含有未知数，不是分式方程； ③关于的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ④关于的方程，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ⑤不是等式，且分母中是常数，不是分式方程， 综上所述：是分式方程的有1个， 故选：A． 3．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，据此逐一进行判断． 【详解】解：A.分母不含未知数，不是分式方程，故A符合题意； B.是分式方程，故B不符合题意； C.是分式方程，故C不符合题意； D.是分式方程，故D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．下列方程属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、是整式方程，故本选项不符合题意； D、是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．． 【题型2 解分式方程】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 先去分母，再去括号，最后移项和系数化为1即可求出解，并对解进行检验． 【详解】解： 解得， 检验：当时，，所以原方程的解是． 2．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的根． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程． （1）根据题意将原分式方程化简，方程两边同乘以，可得，求解一元一次方程，再检验即可； （2）方程两边同乘以，可得，求解一元一次方程，再检验即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 方程两边同乘以，得：， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解是； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 4．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，要注意验算． （1）将分式方程去分母化为整式方程，再根据整式方程求解方式得到x值，再代入验算即可； （2）将分式方程去分母化为整式方程，再根据整式方程求解方式得到x值，再代入验算即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘，得：， 整理，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解： 方程两边同时乘，得：， 整理，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 5．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 6．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先因式分解，再将方程两边同时乘以各分母的最简公分母转化为整式方程，求解出整式方程，检验即可； （2）先因式分解，再将方程两边同时乘以各分母的最简公分母转化为整式方程，求解出整式方程，检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得： 即 解得： 检验：当时，， 因此，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘得： 即 解得： 检验：当时，， 因此，原分式方程无解． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，对计算结果检验是解答的关键． （1）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果即可求解； （2）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 经检验，是分式方程的解， 故原分式方程的解为； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 经检验，是分式方程的解， 故原分式方程的解为． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 1．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，根据分式方程解的情况求字母的值；先去分母化简分式方程，再求解关于的方程，根据为整数且分母不为零的条件，确定的取值，最后求和. 【详解】解：， ， 两边同乘（）， ， ， 整理得：， ， ∵为整数且， ∴为的约数，即或或或， 当即，则， 当即，则（舍去）， 当即，则， 当即，则， ∴或4或0， 其和为. 故选：D. 2．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，注意解分式方程时要保证分母不能是0是解题的关键．通过求解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是正数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 综上，且． 故选：C． 3．若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程的解代入原方程，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ， ， 解得． 故m的值为， 故选B． 4．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 5．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程矛盾（系数为零但常数项不为零），二是解出的根是增根（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：． 情况一：方程矛盾无解． 当且， 即． 情况二：解为增根． 代入方程：， 解得：． 当时，解出，为增根． 综上，或． 故选：C． 6．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 7．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴，即， 当时，， 解得； 当时，方程无解， 此时； 综上，m的值为1或． 8．已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）将代入分式方程中，求出分式方程的解； （2）先去分母，根据分式方程无解，再分3种情况，分别求得a的值． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 整理方程，得 解得：， ∵分式方程无解， ∴，或或 ， ①当时，， 所以， 解得：， ②当时，， 此时， 解得：， ③当时，方程也无解，此时， 综上所述，a的值为或或． 9．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 10．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． （1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵分式方程有解且解为非负数， ∴且， 解得且． 【题型4 分式方程应用-工程问题】 1．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 【答案】A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地． 2．为了改善交通环境，对某段路进行改造，需要铺设一段长300米的排污管道，铺设120米后为了尽可能减少施工对交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果完成这一任务共用了30天，求原计划每天铺设排污管道多少米． 【答案】9米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天铺设管道x米，根据需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加，结果共用了30天完成了这一任务，根据等量关系：铺设120米管道的时间铺设米管道的时间天，可列方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设排污管道x米， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设排污管道9米． 3．在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍，如果两工程队各自独立完成的绿化面积，那么甲工程队比乙工程队少用6天． (1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元，乙工程队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过36天，则一共有多少种安排方案？（工作天数为整数） 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； (2)一共有3种安排方案． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程：，解方程即可； （2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：，则，根据题意得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务， 由题意得：，则， 根据题意得：， 解得：， 因为：， 所以， 又是整数，可取32或33或34或35或36， 且也是整数，则可取32或34或36， 答：一共有3种安排方案． 4．某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米 (2)至少应安排甲队工作4天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用2天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用甲队工作时间乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过19800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米； （2）解：设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天， 依题意，得：， 解得：， 所以最小值是4． 答：至少应安排甲队工作4天． 5．西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． (1)求两种货车每辆可装多少件医疗物资； (2)现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 【答案】(1)种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资 (2)5辆 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式解决实际问题． （1）设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资，根据题意列出分式方程求解即可． （2）设需要种货车辆，则需要种货车辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资． （2）解：设需要种货车辆，则需要种货车辆． 由题意，得． 解得． 答：至少需要种货车5辆． 6．全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 【答案】(1)A型机器人每小时分拣快递件．型机器人每小时分拣快递件 (2)A型机器人还要工作个小时才能完成任务 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件，根据A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设A型机器人还要工作个小时才能完成任务，根据每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件． （2）解：设A型机器人还要工作个小时才能完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：A型机器人还要工作个小时才能完成任务． 7．某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)最多安排甲公司工作16天 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司天，根据甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，若安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式得出y的取值范围，再由安装教室100间，进一步确定y的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 8．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走公里，根据走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 9．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【答案】符合规定，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程应用题，熟练掌握“路程=速度×时间”列方程，是解决问题的关键． 设列车提速前速度是每小时x千米，根据“提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时”列分式方程，注意检验． 【详解】解：列车提速后速度符合规定．理由： 设列车提速前速度是每小时x千米， 则， 解得，或 (舍去）， ∴提速后的速度为， 经检验，是原方程的解， 又因速度不能为负， 故舍去， ∴提速后的速度为， 故符合规定符合规定． 【题型5 分式方程应用-行程问题】 1．长春市到沈阳市的距离约为300千米．小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从长春市去沈阳市．小刘比小张晚出发小时，最后两车同时到达沈阳市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．求大货车的速度． 【答案】大货车的速度为70千米/时 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先设大货车的速度为千米/时，则小轿车的速度为千米/时，根据题意可得等量关系：大货车行驶时间小轿车行驶时间小时，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设大货车的速度为千米/时，由题意得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：大货车的速度为70千米/时． 2．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，可用x表示出王老师驾车的平均速度，根据题意列出分式方程求解，再求出王老师驾车的速度． 【详解】解：设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，则王老师驾车的平均速度是千米/小时， 由题意得：，. 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（千米/小时）． 答：王老师驾车的平均速度是千米/小时． 3．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 4．列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 5．某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米． 任务 任务一：求基础模式和标准模式的速度； 任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 【答案】任务一：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：；任务三：第或2或4分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． 任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； 任务二：根据乙共用时5分钟，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务三：设甲的运动时间为t分钟，分及三种情况考虑，根据两个机器人之间的距离等于10米，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； 任务二：根据题意得：， 解得：． 答：实验2中机器人乙故障时长a的值为； 任务三：设甲的运动时间为t分钟， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 即或， 解得：或． 答：实验2整个过程中第或2或4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 【题型6 分式方程应用-销售问题】 1．综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 【答案】(1)购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元 (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的步骤是解题的关键． （1）设甲种外骨骼机器人单价为万元，根据甲、乙单价关系表示出乙的单价，再依据“花150万元购进甲的数量是花100万元购进乙的数量的1.2倍”列分式方程求解； （2）设购进甲种外骨骼机器人台，进而表示出乙的数量，根据经费预算不超过110万元列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种外骨骼机器人的单价为万元，则购买乙种外骨骼机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元． （2）解：设购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为46． 答：该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台． 2．雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元 (2)每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，根据第二批所购数量是第一批数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个熊猫毛绒玩具的售价为元，根据两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元； （2）解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元． 3．湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． (1)甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? (2)两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 【答案】(1)甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件 (2)件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （）设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件，根据题意列出方程求出即可求解； （）先求出甲乙两种款式恤衫的进价，设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件，根据题意列出不等式求出的取值范围即可求解； 【详解】（1）解：设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件； （2）解：由（）可得，乙种款式恤衫的进价为元， ∴甲种款式恤衫的进价为元， 设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种款式时尚恤衫至少购进件． 4．尊老爱幼是中华民族的传统美德，“重阳节”来临之际，某班组织“情暖夕阳”慰问活动，计划给社区养老服务中心的老人们送上暖心慰问品．同学们准备购买两种糕点：软糯香甜的重阳糕和温润营养的山药糕．购买3盒重阳糕和2盒山药糕共需112元，1盒重阳糕的价格比1盒山药糕贵4元． (1)重阳糕和山药糕的单价分别为多少元？ (2)班委购买糕点时，商店支持同学们的爱心活动，决定降价销售两种糕点．将重阳糕的单价降低了元，山药糕单价降低了元，同学们分别用400元、360元购买了相同数量的重阳糕和山药糕，求的值． 【答案】(1)重阳糕的单价为24元，山药糕的单价为20元． (2)m的值为2． 【分析】（1）设1盒重阳糕x元，1盒山药糕y元，费用＝销售价×销售数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，重阳糕的价格为元，山药糕的价格为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设1盒重阳糕x元，1盒山药糕y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盒重阳糕24元，1盒山药糕20元； （2）解：根据题意，重阳糕的价格为元，山药糕的价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根． 答：m的值为2． 5．“今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少． (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子，且总费用不超过4600元，则该商场节前至多购进多少千克A粽子？ 【答案】(1)10 (2)300 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程或不等式，是解题的关键． （1）设超市节后每千克粽子的进价是x元，由题意得：，解方程即可； （2）设超市节前购进A粽子m千克，由题意得：，解不等式即可． 【详解】（1）解：设超市节后每千克粽子的进价是x元， 则节前进价为元， 由题意得：， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：超市节后每千克粽子的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进A粽子m千克， 则节后购进千克， 根据题意，得， 解得， 答：该商场节前至多购进A粽子． 6．中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】(1)一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 (2)一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【分析】本题考查列一元一次方程和分式方程解应用题： （1）设一袋“豆沙馅”的价格是元，一袋“云腿馅”的价格是元，根据题中等量关系列出方程并求解即可； （2）设每袋“豆沙馅”增加元，每袋“云腿馅”增加元，根据题中等量关系列出分式方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． （2）解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 【题型7 分式方程应用-其他问题】 1．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 【答案】燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设两款车的续航里程均为a千米，根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元），（元） 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 2．山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”．山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量比原来增加了，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 【答案】该县原来谷子的亩产量斤 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．等量关系式：原来产出6000斤谷子所需的种植面积现在产出6000斤谷子所需的种植面积亩，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设该县原来谷子的亩产量斤，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， 答：该县原来谷子的亩产量斤． 3．下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 【答案】(1)A，C (2)小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，理解题意是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间，可得：解法一所列方程中的表示小明每小时做朵，由小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数可得： 解法二所列方程中的表示小明做了小时； 故答案为：A，C； （2）解：选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 4．深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 【答案】(1)人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． (2)至少要开通8条通道 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时建立方程求解即可； （2）设开条通道，则开条人工收费通道，根据2个小时的时间段内要至少通过5000辆车建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车． 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． （2）解：设开条通道，则开条人工收费通道． 根据题意得： 解得：． ∵为整数， ∴的最小值是8． 答：至少要开通8条通道． 5．“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 6．20年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕．标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为 ．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电 ．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 【答案】 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用这一知识点．解题关键在于准确找出题目中关于电量、耗电量和工作时长的等量关系，通过合理设未知数列出分式方程，求解后要记得检验方程的解是否符合实际情况．根据改进前后总电量固定，且改进后工作时长与改进前的倍数关系以及每小时耗电量的差值，需要通过设未知数建立方程来求解改进后每小时的耗电量． 【详解】解：设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电 根据题意得 解得 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电 ． 1．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 2．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 3．某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 4．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． （1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 把代入， 得， 解得， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 ∴且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $