精品解析：湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B.不轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确； D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用红球的个数除以球的总个数即可得出答案． 【详解】解：∵不透明袋子中装有6个红球，4个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，则抽到红球的概率是． 故选：B． 3. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数． 【详解】解：连接OB， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB==60°， ∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解题的关键． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 5. 一元二次方程所有实数根的积是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程所有实数根的积是. 故选：A． 6. 已知点与点关于轴对称，则实数的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟记关于轴的对称点的坐标特点是解题的关键． 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形，熟练掌握垂径定理与垂径定理推论是解题关键．根据中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形逐个判断即可得． 【详解】解：圆是中心对称图形，则①是真命题； 垂直于弦且平分弦的直线必经过圆心，则②是假命题； 平分弦（非直径）的直径必平分弦所对的两条弧，则③是假命题； 圆内接四边形的对角互补，则④是真命题； 综上，真命题的个数为2个， 故选：B． 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．当该点在圆内，则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 则A、B、C、D四个选项，只有D选项的不符合题意， 故选：D． 9. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与二次函数解析式的关系，解题的关键是将选项中的横坐标代入抛物线解析式，验证计算出的纵坐标是否与选项一致． 将各选项中的横坐标代入抛物线，计算对应的纵坐标，判断是否与选项中的纵坐标相等． 【详解】A、当时，，所以点不抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，与选项中纵坐标0相等，所以点在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上； 故选：C． 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当时，， ∴是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置.本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ∴． 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 根据题意，得，通过圆内接四边形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故答案为：． 13. 已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得： ，，， ∵， ∴． 故答案：． 14. 如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形面积公式即可求出 【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点 ∴； 设， 在中： 在中： 由①②得： 扇形面积：（cm2） 故答案为： 【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出的度数 15. 正三角形的边长为2，点D为边上的一点，，垂足为点F，若为x，则的面积y与x的关系式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质求出，，证明，求出，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 过点A作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴ 即：， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．运用配方求解即可． 【详解】解：， ， , , 或， 解得，． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图中，线段绕点旋转后可得到线段（点与点对应），画出点； （2）在图中，先将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段，再在图中画点，使线段绕点旋转后能与线段重合（点与点对应）； （3）在图2中，先将线段绕点旋转，得线段，点的对应点为点，点的对应点为点，画出对应线段，交线段于点，再画的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，、的交点即为点． （2）取格点，连接，延长交的延长线于点，则线段和点为所求； （3）取格点、，连接，，延长交于，则、所求． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求， 连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是以点为对称中心的中心对称图形， ∴线段绕点旋转后可得到线段； 【小问2详解】 解：如图，线段和点为所求； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴线段绕点顺时针旋转，得线段， ∵， ∴线段绕点旋转后能与线段重合； 【小问3详解】 解：如图，、为所求， 取格点，，，连接，，，，，， 同（）可证，点绕点顺时针旋转得点，点绕点顺时针旋转得点， ∴线段绕点旋转，得线段， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴到的距离为， ∵， ∴， ∴到的距离为， ∴到的距离到的距离， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握旋转中心的确定方法以及角平分线的判定是解题的关键． 18. 点P是外一点，某同学想过P点作的切线，他的作法是这样的，先连接，再作出线段OP的中点A，然后以A点为圆心，为半径作圆，与的一个交点为点B，连接，则直线PB与相切．请你说明理由． 【答案】理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，连接，证明即可 【详解】解：连接， 如图，是的直径，故， 又∵B点在上， ∴直线与相切． 19. 一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是．已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． （1）求袋中黄球的个数； （2）如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 【答案】（1）1个黄球 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，用列表法或树状图法求概率． （1）设袋中有黄球m个，根据“红球的概率是”列方程求解即可； （2）画树状图列举出所有情况，让两次摸出的都是红球的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 解：设袋中有黄球m个， 由题意得，， 解得：， 经检验是方程的解， 因此袋中有1个黄球； 【小问2详解】 解：如下图： 共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，两次摸出的都是红球的概率为， 因此两次摸出红球概率为． 20. 某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 【答案】（1） （2）每天获利不可能达到元，理由见解析 （3） 元 【解析】 【分析】（1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式； （2）由，再列方程利用判别式即可求解； （3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：每天获利不可能达到元，理由： 由题意得：，即， 整理得：， △，故方程无解， 即每天获利不可能达到元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 故当天获利的最大值为元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点O作互相垂直的直线EF，CD即可解决问题． 【详解】解：过点O作互相垂直的直线EF，CD，⊙O被直线EF，CD分成面积相等的四个部分． 【点睛】本题考查作图-应用与设计以及圆的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 【答案】腰长范围为时，圆锥的侧面积的范围是 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长为，则底长为，圆锥的侧面积为，根据圆锥侧面积公式得到，然后根据三角形三边关系求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底长为， 设圆锥的侧面积为， 则有 ∵ ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小 由三角形三边关系，得 解得 ∴当时， ∴当腰长x范围为时，圆锥的侧面积y的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，圆锥侧面积公式，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是表示出圆锥侧面积． 23. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； （3）如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 【答案】（1）是直角三角形； （2）四边形面积的最大值为36，点M的坐标为； （3）或，，， 【解析】 【分析】（1）令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形； （2）采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为．设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点M的坐标； （3）由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点P的坐标为，根据两点间距离公式可得，，．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：①，②，③，分别代入即可得到方程，求解即可解答． 【小问1详解】 令，则， ∴点A的坐标为， 令，则， 解得，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为． ∵，， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为． 设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时， 即点M的坐标为． 【小问3详解】 原抛物线的对称轴为， ∵在中，，，， ∴将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移， ∴新抛物线的对称轴为 ∵点P是新抛物线对称轴上的一点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ， ． 若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况： ①，则， 解得， 此时点P的坐标为； ②，则， 解得， 此时点P的坐标为或； ③，则， 解得， 此时点P的坐标为或． 综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，，． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程所有实数根的积是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知点与点关于轴对称，则实数的值是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置.本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则__________． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么_____． 13. 已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为__________． 14. 如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含的式子表示） 15. 正三角形的边长为2，点D为边上的一点，，垂足为点F，若为x，则的面积y与x的关系式可表示为__________． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解方程：． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图中，线段绕点旋转后可得到线段（点与点对应），画出点； （2）在图中，先将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段，再在图中画点，使线段绕点旋转后能与线段重合（点与点对应）； （3）在图2中，先将线段绕点旋转，得线段，点的对应点为点，点的对应点为点，画出对应线段，交线段于点，再画的角平分线． 18. 点P是外一点，某同学想过P点作的切线，他的作法是这样的，先连接，再作出线段OP的中点A，然后以A点为圆心，为半径作圆，与的一个交点为点B，连接，则直线PB与相切．请你说明理由． 19. 一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是．已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． （1）求袋中黄球个数； （2）如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 20. 某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 21. 如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 22. 已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 23. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 24. 如图1，已知二次函数图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； （3）如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $