3.3.2抛物线的简单几何性质题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质 知识点1:四种抛物线的几何性质 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2:焦半径与焦点弦公式 设抛物线上一点的坐标为,焦点弦端点,,焦点为. 标准方程 焦半径 焦点弦 注意:在使用焦半径公式时,先要明确抛物线的标准方程的形式,不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 知识点3:直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例: （1）直线的斜率不存在,设直线方程为, 若,直线与抛物线有两个交点; 若,直线与抛物线有一个交点,且交点既是原点又是切点; 若,直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线,抛物线, 直线与抛物线的交点的个数等于方程组,的解的个数,即二次方程 （或）解的个数. ①若, 则当时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当时,直线与抛物线相切,有个公共点; 当时,直线与抛物线相离,无公共点. ②若,则直线与抛物线相交,有一个公共点. 知识点4:直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式: 设为的弦,,, 或（为直线的斜率,且） （2）点差法:设为抛物线的弦,,,弦AB的中点为. ①设抛物线的弦为,弦的中点为,则 ②设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ③设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ④设抛物线的弦为,弦的中点为,则. 证明:设抛物线的弦为, ,弦的中点为,则有,两式相减,得,即.代入上式并整理,得. 知识点5抛物线的焦点弦十大二级结论及证明 如图,为抛物线的焦点弦,设点,焦点,准线,准线与轴交点为,作且,分别为线段,的中点,则有以下结论: 结论1:焦点弦的坐标形式: 证明:根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,可得,,故 结论2:,以为直径的圆与准线相切 证明:是梯形的中位线,所以有,即,故以为直径的圆与准线相切. 结论3:焦半径公式（角度形式）（为倾斜角） 证明:设准线交轴于点,过点作轴于,作于.设为点到准线的距离,于是.其, 故 即,故. 同理 结论4:焦点弦的角度形式:（为的倾斜角） 证明:根据焦半径公式: ,, 所以. 结论5:通径最短,其长度为 证明:因为,故当,即轴时,,焦点弦取最小值,即所有焦点弦中通径最短,其长度为. 结论6: (定值） 证明:根据焦半径公式: ,, 可得 结论7: 证明:当的斜率不存在时,依题意,所以.当的斜率存在时,设为,则 ,与抛物线联立可得.所以. 因为,所以,但,所以. 另证:设直线的方程为:,与联立,得,故,.综上可知: . 结论8:面积公式: 证明:根据结论7可得,,,所以 故 . 结论9:三个垂直, 证明:由题意知,故可得,,, 根据结论,得,故. 设点,故可得, 因为, 故, 因为,代入,故. 因为, 故,, 因为,,代入原式化简得,故. 结论10:四个相切圆(均可通过上述结论证明) ①以为直径的圆必与准线相切. ②以为直径的圆与相切. ③以为直径的圆与轴相切. ④以为直径的圆与轴相切. 基础题型1抛物线的简单几何性质 1．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px（p>0） y2＝－2px（p>0） x2＝2py（p>0） x2＝－2py（p>0） p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O（0，0） 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 离心率 e＝1 准线方程 2．对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 3．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 5．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 6．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 7．椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则抛物线的标准方程为 . 8．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.求抛物线的方程； 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程． 10．（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 11．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程． 12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 培优题型1直线与抛物线位置关系的判断 14．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 16．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 18．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 20．代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程． 方程的解 l与的交点 无解（含l是双曲线的渐近线） 有一解（含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行） 两个 的解 两个相等的解 无实数解 无公共点 21．已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 23．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 24．对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 25．（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 26．已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.    培优题型2抛物线的弦长问题 27．已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 29．已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 30．已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 31．垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 32．已知抛物线，直线与分别交于不同的两点，直线与分别交于不同的两点，且，，则 . 33．是抛物线上两点，为坐标原点，若为正三角形，则的边长为 ． 34．已知圆C的方程为． (1)若点P（5，b）在圆C上，求实数b的值； (2)若直线l与直线平行，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程． 35．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求该抛物线的方程. 36．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 37．设抛物线：的准线被圆：所截得的弦长为， （1）求抛物线的方程； （2）设点是抛物线的焦点，为抛物线上的一动点，过作抛物线的切线交圆于两点，求面积的最大值. 培优题型3弦中点与点差法 38．已知、为抛物线上不同的两点，若抛物线的焦点为，线段恰被所平分． （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程． 39．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 40．直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 41．已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 42．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 43．已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 44．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．3 C． D．－3 45．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .   46．已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为 . 培优题型4抛物线中的弦长最值 47．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．   48．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 49．若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 50．抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为 ． 51．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 52．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 培优题型5抛物线中的斜率问题 90．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D． (1)证明：点F在直线上； (2)设，求的内切圆M的方程． 91．已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 92．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 93．已知是抛物线的焦点，过点直线交抛物线于、两点.若，直线、直线分别交抛物线于、两点. (1)求证：直线恒过定点； (2)若直线、的斜率存在且分别为，，求的最小值. 94．设是抛物线上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点． (1)若直线l过F，求的值； (2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为，和k，若，求k的值． 95．已知曲线C上任意点到点F（1，0）距离比到直线x+2＝0的距离少1. (1)求C的方程，并说明C为何种曲线； (2)已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝1，求证：直线BD经过定点. 培优题型6抛物线中的焦点弦问题 56．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 57．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 58．如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 59．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 60．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 61．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．与直线l的位置有关 62．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 63．已知抛物线：（），过焦点的直线交抛物线于、两点，交轴于点，若点为线段的中点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 64．设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆（    ） A．必过原点 B．必与轴相切 C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切 65．已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 66．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 67．已知F是抛物线的焦点，是经过点F的弦且的斜率为，C、A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B．四边形面积最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 68．直线过抛物线的焦点，若点为坐标原点，与交于A、B两点，则（   ） A． B．重心纵坐标的最小值为 C．以线段为直径的圆被轴截得的弦长最小值为 D．若直线交准线于点D，且，则 69．抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 70．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 71．已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 72．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 73．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，交准线于点（为坐标原点），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线轴 D．的最小值是16 74．抛物线的焦点是，过焦点的直线与相交于不同的两点，是坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．若是线段的中点，且，则 C． D．若，则直线的斜率为 75．抛物线：的焦点为，过作倾斜角为的动直线交抛物线于两点（在第一象限），且，设关于轴的对称点为，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 76．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 77．直线与抛物线相交于两点，且，则 . 78．已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有： . ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 79．已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 80．已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 81．已知是抛物线的焦点，点，过点的直线与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若，则直线的斜率 ．   82．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,且,则 . 83．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为 . 84．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则 . 85．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 86．已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，是线段的中点． (1)当时，求与的坐标． (2)为坐标原点，记直线的斜率为，若，求直线的方程． 87．抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于两点，则有： （1）通径的长为 . （2）焦点弦长：. （3），. （4）以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线 . （5）若α为弦AB的倾斜角，则， ； ；； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 88．若抛物线 的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 89．直线过抛物线： 的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 培优题型7抛物线中的综合问题 90.已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 91.已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.   92.已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2抛物线的简单几何性质 知识点1:四种抛物线的几何性质 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2:焦半径与焦点弦公式 设抛物线上一点的坐标为,焦点弦端点,,焦点为. 标准方程 焦半径 焦点弦 注意:在使用焦半径公式时,先要明确抛物线的标准方程的形式,不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 知识点3:直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例: （1）直线的斜率不存在,设直线方程为, 若,直线与抛物线有两个交点; 若,直线与抛物线有一个交点,且交点既是原点又是切点; 若,直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线,抛物线, 直线与抛物线的交点的个数等于方程组,的解的个数,即二次方程 （或）解的个数. ①若, 则当时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当时,直线与抛物线相切,有个公共点; 当时,直线与抛物线相离,无公共点. ②若,则直线与抛物线相交,有一个公共点. 知识点4:直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式: 设为的弦,,, 或（为直线的斜率,且） （2）点差法:设为抛物线的弦,,,弦AB的中点为. ①设抛物线的弦为,弦的中点为,则 ②设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ③设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ④设抛物线的弦为,弦的中点为,则. 证明:设抛物线的弦为, ,弦的中点为,则有,两式相减,得,即.代入上式并整理,得. 知识点5抛物线的焦点弦十大二级结论及证明 如图,为抛物线的焦点弦,设点,焦点,准线,准线与轴交点为,作且,分别为线段,的中点,则有以下结论: 结论1:焦点弦的坐标形式: 证明:根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,可得,,故 结论2:,以为直径的圆与准线相切 证明:是梯形的中位线,所以有,即,故以为直径的圆与准线相切. 结论3:焦半径公式（角度形式）（为倾斜角） 证明:设准线交轴于点,过点作轴于,作于.设为点到准线的距离,于是.其, 故 即,故. 同理 结论4:焦点弦的角度形式:（为的倾斜角） 证明:根据焦半径公式: ,, 所以. 结论5:通径最短,其长度为 证明:因为,故当,即轴时,,焦点弦取最小值,即所有焦点弦中通径最短,其长度为. 结论6: (定值） 证明:根据焦半径公式: ,, 可得 结论7: 证明:当的斜率不存在时,依题意,所以.当的斜率存在时,设为,则 ,与抛物线联立可得.所以. 因为,所以,但,所以. 另证:设直线的方程为:,与联立,得,故,.综上可知: . 结论8:面积公式: 证明:根据结论7可得,,,所以 故 . 结论9:三个垂直, 证明:由题意知,故可得,,, 根据结论,得,故. 设点,故可得, 因为, 故, 因为,代入,故. 因为, 故,, 因为,,代入原式化简得,故. 结论10:四个相切圆(均可通过上述结论证明) ①以为直径的圆必与准线相切. ②以为直径的圆与相切. ③以为直径的圆与轴相切. ④以为直径的圆与轴相切. 基础题型1抛物线的简单几何性质 1．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px（p>0） y2＝－2px（p>0） x2＝2py（p>0） x2＝－2py（p>0） p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O（0，0） 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 离心率 e＝1 准线方程 【答案】 【分析】略 【详解】略 2．对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 【答案】BD 【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线的焦点坐标为，位于轴上，所以A不满足，B满足； 对于C中，设是抛物线上一点，为焦点， 则，所以C不满足 对于D中，由于抛物线的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，设过该焦点的直线方程为，则，此时该直线存在，所以D满足． 故选：BD. 3．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 4．抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4 5．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可. 【详解】设抛物线为， 因为准线为，则，所以， 所以. 故答案为：. 6．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 7．椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由已知，先将椭圆方程化为标准形式，然后读取其焦点坐标，然后再根据给出的抛物线方程，写出其焦点坐标，列出等量关系，即可求解方程. 【详解】由已知，椭圆，可化为：， 所以其焦点坐标为和， 抛物线，其焦点坐标为， 因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故答案为：. 8．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.求抛物线的方程； 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式和条件得出直线的方程为，再利用抛物线中过焦点的弦长公式即可求出结果. 【详解】依题意，易知圆心到直线（即抛物线的准线）的距离为， 不妨设圆心到直线的距离为， 则，，又因为，所以， 则由圆与抛物线的对称性可知，轴，故直线的方程为，即过抛物线的焦点， 所以，故， 故抛物线的方程为.      9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程． 【答案】m＝±2；抛物线的方程为x2＝﹣8y；准线方程为y＝2 【分析】由题意设抛物线的标准方程为x2＝-2py，p＞0；根据抛物线的定义求得p的值，写出抛物线标准方程和准线方程，再把点M的坐标代入抛物线方程求得m的值． 【详解】由题意，设抛物线的标准方程为x2＝-2py，p＞0； 且抛物线上一点M（m，﹣3）到焦点的距离为5， 则点M到准线的距离也为5，即|﹣3|＝5， 解得p＝4， ∴抛物线的标准方程为x2＝﹣8y， 准线方程为y＝2； 把点M的坐标代入抛物线方程， 得m2＝﹣8×（﹣3）， 解得m＝±2． 【点睛】本题考查了抛物线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题． 10．（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）解法一，设出所求抛物线方程，根据题意利用点在曲线上和两点间距离公式列方程组求出参数，即可得答案； 解法二，设抛物线方程，利用抛物线焦半径公式和点在抛物线上，求出参数，即可得答案. （2）设抛物线方程，表示出坐标，即可表示出，结合三角形面积求得a，即得答案. 【详解】（1）因为抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，点位于第三或第四象限， 故可确定所求抛物线的开口向下. 解法一，设所求抛物线方程为，则焦点为F， 因为在抛物线上且， 故，解得， 所以，抛物线方程为，准线方程为. 解法二如图所示，设抛物线方程为，则焦点为， 准线，    作，垂足为N，则，而， 所以，解得，故； 又点在抛物线上，所以，解得， 所以，抛物线方程为，准线方程为. （2）由题意，可设抛物线的方程为，则焦点， 直线，所以A，B两点的坐标分别为，， 所以. 因为的面积为4，所以，所以, 故所求抛物线的标准方程为或. 11．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的方程为，且，，根据题意和对称性求得，得出的坐标，代入抛物线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设所求抛物线的方程为，交点，， 因为抛物线与圆相交的公共弦长为， 则，即． 由对称性知，代入上式，解得， 把代入，解得， 当时，点在抛物线上，所以； 当时，点在抛物线上，所以． 于是所求抛物线的方程为或． 故答案为：或． 12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 13．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 培优题型1直线与抛物线位置关系的判断 14．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性. 【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件； 当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件. 综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件. 故选：B 15．已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 16．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【详解】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A 17．已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【详解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 18．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 19．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 20．代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程． 方程的解 l与的交点 无解（含l是双曲线的渐近线） 有一解（含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行） 两个 的解 两个相等的解 无实数解 无公共点 【答案】 无公共点 一个交点 不等 两个交点 一个切点 【分析】略 【详解】略 故答案为：无公共点；一个交点；不等；两个交点；一个切点 21．已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 22．已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时分二次系数是否为0讨论可得. 【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为， 由方程组消去y得， ①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确； ②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确. （2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确． 综上，直线l的方程为，或. 故选：ABC.    23．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 【答案】2 【分析】结合图形直接判断即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，当过点的直线与抛物线相切，或平行于轴时，与抛物线只有一个公共点， 所以满足条件的直线有条. 故答案为：    24．对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】先把直线与抛物线方程联立消去，进而根据判别式与0的大小关系判断直线与抛物线的位置关系. 【详解】由与联立，消去得：， ∴， ∵， ∴， 所以直线与抛物线无公共点， 故答案为：相离. 25．（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 【答案】（1），或，或；（2）． 【分析】（1）直线与抛物线公共点的个数与方程组解的个数相对应.所以，我们通过判断方程组解的情况可得到问题的解答.直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切； （2）分析同（1）. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 由消去x，得. 当时，此时直线，与抛物线只有一个公共点； 当时，所以，解得，即过M点的切线有两条. 所求直线l的方程为或. 综上所述，所求直线l的方程为，或，或. （2）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点， 所以方程组只有一组实数解， 消去y，得，即①. 当，即时， 直线为，直线与曲线恰一个公共点； 当，即时， 由，解得（舍去）或. 当时，由方程①化为，解得， 代入直线方程为，解得，即此时直线与曲线恰一个公共点. 综上，实数a的取值集合是. 26．已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【答案】答案见解析 【分析】分别讨论直线斜率不存在和存在的情况，在斜率存在的情况下，与抛物线方程联立，根据二次项系数是否为零和判别式来进行讨论即可. 【详解】    若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点； 若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：， 由得：； ①当时，，解得：，此时， 直线与抛物线有且仅有一个公共点 ②当时，方程的判别式； 若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点； 若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点； 若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点； 综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点. 培优题型2抛物线的弦长问题 27．已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把看作抛物线上一点到直线距离的5倍，利用数形结合思想结合导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意的几何意义为抛物线上一点到直线距离的5倍， 如图，把直线平移至与抛物线相切时，切点即为到直线距离最小的点， 设切点，，令，得，把代入抛物线得， 即切点，此时， 所以的最小值为. 故选：C    28．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为：，，进而联立方程，并结合韦达定理，得，再计算，原点到直线的距离即可计算面积. 【详解】设直线的方程为：，两点的坐标分别为 联立消得：， 由，得， ，则（舍）， 直线的方程为：， 原点到直线的距离， . 故选：C 29．已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】联立方程，计算得出点的坐标，再求出，最后应用两点间距离公式计算求解. 【详解】抛物线，直线与交于两点（点在第一象限）， 联立，解得或； 所以， 又抛物线的准线为， 则直线与的准线交于点， 则. 故选：B. 30．已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出，两点的坐标，根据题干条件将其坐标解出，再利用三角形面积公式即可求出最终结果. 【详解】设点，，由题知，由， 可得 ， 则， 故选：C 31．垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】先设出垂直于轴的直线方程，求出该直线与抛物线交点的坐标，再根据两点间距离公式求出直线方程中的参数，进而得到直线的方程. 【详解】设直线的方程为(为常数)； 把代入，得，解得， 所以交点A，B的坐标分别为和； ，得； 直线的方程为 故答案为：. 32．已知抛物线，直线与分别交于不同的两点，直线与分别交于不同的两点，且，，则 . 【答案】 【分析】分别求得和，由可求得结果. 【详解】当时，，则； 当时，，则； ，，. 故答案为：. 33．是抛物线上两点，为坐标原点，若为正三角形，则的边长为 ． 【答案】 【分析】根据已知得直线为，联立抛物线求坐标，结合对称性确定三角形的边长. 【详解】由对称性知轴，如下图示， 所以直线为，代入得（舍）， 所以，故边长为． 故答案为： 34．已知圆C的方程为． (1)若点P（5，b）在圆C上，求实数b的值； (2)若直线l与直线平行，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）将点的坐标代入圆方程中可求出实数b的值， （2）由题意设直线l的方程为，根据圆的半径，弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距公式列方程可求出，从而可求得直线方程 【详解】（1）因为点P（5，b）在圆C上， 所以，解得； （2）∵直线l与直线平行， ∴设直线l的方程为， 设圆心C（2，1）到直线l的距离为d，则， 又由已知，可得， ∴， 解得c = 0，或c =10， ∴直线l的方程为，或. 35．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求该抛物线的方程. 【答案】或 【分析】假设抛物线方程，与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用弦长公式可构造方程求得的值，进而得到抛物线方程. 【详解】设抛物线方程为，直线与抛物线交于，    由得：， 则，解得：或， ，， ，解得：或，满足， 抛物线的方程为：或. 36．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程； （2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得抛物线的焦点为， 在方程中，令，可得， 所以弦长为，即，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）解：由（1）知抛物线的方程为， 设，直线AB的斜率为， 因为线段的中点在直线上， 由可知直线OM的方程为， 设，所以，所以， 又，所以，即得， 设直线的方程为，即， 联立方程组，所以， 所以，即， 由根据与系数的关系得， 则 ， 又由点到直线的距离为， 所以 ， 记，因为，所以， 所以， 令，可得， 令，可得， 当时，；当时，， 所以当时，取得最大值，即有最大值为. 37．设抛物线：的准线被圆：所截得的弦长为， （1）求抛物线的方程； （2）设点是抛物线的焦点，为抛物线上的一动点，过作抛物线的切线交圆于两点，求面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）解方程即得，即得抛物线的方程； （2）先求出和，再求出的面积 ，即得面积的最大值. 【详解】解：（1）因为抛物线的准线方程为， 所以，解得 ， 因此抛物线的方程为. （2）设，由于，知直线的方程为：. 即. 因为圆心到直线的距离为，所以， 设点到直线的距离为，则， 所以，的面积 . 当时等号成立，经检验此时直线与圆相交，满足题意. 综上可知，的面积的最大值为. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和三角形面积最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 培优题型3弦中点与点差法 38．已知、为抛物线上不同的两点，若抛物线的焦点为，线段恰被所平分． （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）令抛物线的方程，根据抛物线的焦点为，即可求得结论； （2）利用点差法，结合线段恰被所平分，求出的斜率，即可求得直线的方程． 【详解】解：（1）令抛物线的方程： 因为抛物线的焦点为，．∴抛物线的方程： （2）设，则， 两式相减，得 ∵线段恰被所平分，，即直线的斜求为2 ∴的方程为，即． 39．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可求得抛物线的方程，设，由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为， 所以易得抛物线的方程为， 设， 因为线段的中点为， 故， 则，由， 两式相减得，所以， 故直线的方程为，即． 故答案为：.    40．直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）判断出直线过抛物线的焦点，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，根据列方程，求得，进而求得抛物线的方程. （2）利用点差法求得的斜率. 【详解】（1） 因为M的焦点为， 且直线l：经过点，所以经过的焦点． 联立，得． 设，，则， 则， 解得．所以M的方程为． （2） 设，，则， 两式相减，得． 因为， 所以l＇的斜率为.    41．已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； （2）如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 42．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解； （2）利用点差法结合中点坐标求解. 【详解】（1）过点A作轴于B，易知点 则 所以 在中，由正弦定理得        得                                           所以                                                          解得， 所以C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零， 设直线l的斜率为 则,两式相减得，整理得 因为的中点为,所以，所以 所以直线l的方程为，即 43．已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程； （2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程． 【详解】（1）由题可得，代入抛物线方程得，， ∴， ∴的面积， ∴， ∴所求抛物线的标准方程为； （2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：， 设，由，在抛物线上得：, 两式相减化简得：， 又∵，，代入上式解得：. 故所求直线的方程为：. 即. 44．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．3 C． D．－3 【答案】C 【分析】利用点差法计算可得； 【详解】解：设，，则，所以，整理得． 因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为． 故选：C 45．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    46．已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为 . 【答案】 【分析】先由题意判断得，再由点差法求得直线斜率，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程. 【详解】设，由题意，， 因为A，B是抛物线上的两点，则易知在抛物线内部， 所以，两式相减得，，整理得， 因为线段AB的中点为， 所以，即， 又，所以， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 培优题型4抛物线中的弦长最值 47．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，利用点到直线的距离求出进而求最小值即可；方法二：：设直线与直线平行，且与抛物线相切，求出直线方程，利用平行线的距离公式求解即可. 【详解】方法一：因为直线的斜率，所以直线的方程为，即， 易知抛物线与直线没有交点， 设点，则点到直线的距离， 所以当时，取得最小值，. 方法二：设直线与直线平行，，且与抛物线相切， 联立得，令解得， 则与的切点为，则.    故选：C 48．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 49．若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】不妨设点，利用二次函数的基本性质求出点到直线的距离的最小值，即为的最小值. 【详解】不妨设点，则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 50．抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可． 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时． 所以点到直线的距离最短时点坐标为． 故答案为：． 51．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，， 则，所以， 则， 故答案为：． 52．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围． 【详解】设，点在准线上的射影分别为，线段的中点在上的射影为 则，，， 由，即，得， 而，即，当且仅当时取等号， 所以. 故选：C 培优题型5抛物线中的斜率问题 90．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D． (1)证明：点F在直线上； (2)设，求的内切圆M的方程． 【答案】(1)证明见解析. (2)圆M的方程为：. 【分析】（1）利用斜率相等即可证得结果； （2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果. 【详解】（1）设，，已知点A关于x轴的对称点为D， 则点D的坐标为，由，可得 整理可得，即. 则 ， 由 ，可知点F在直线上. （2）由，可得，即可得， 由于A，B在抛物线上，，所以 ， 不妨设A，B在x轴上方，则，可知AB的直线方程为， 而，故 ， 则DB的直线方程为，由于x轴是的角平分线，可知内切圆的圆心必然在x轴上， 故设圆心坐标为，由于角平分线上的点到角的两边距离相等， 则，解得或（舍），则可得， 的内切圆M的方程为.    91．已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数，进而求出； （2）先依据（1）的结论分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离. 根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线. ∵，∴抛物线方程为：. （2）设两点坐标分别为， 则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得. . 因为直线与曲线于两点，所以. 所以点的坐标为. 由题知，直线的斜率为，用替换可得点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用采用设线法并联立抛物线方程得到 ，再根据垂直关系替换得到，最后求出直线方程即可. 92．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    93．已知是抛物线的焦点，过点直线交抛物线于、两点.若，直线、直线分别交抛物线于、两点. (1)求证：直线恒过定点； (2)若直线、的斜率存在且分别为，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）确定，设出点和直线方程，联立得到根与系数的关系，计算交点得到交点坐标，确定的直线方程为，得到答案. （2）确定，，，，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）是抛物线的焦点，则，设，， 设方程为， 则，则，， 故，， 直线：，，或，故，同理可得：，故， 方程为， 整理得到：，故直线过定点. （2），，，， 当且仅当，即时等号成立. 【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线中的定点问题和最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的系数，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握. 94．设是抛物线上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点． (1)若直线l过F，求的值； (2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为，和k，若，求k的值． 【答案】(1)1 (2)1 【详解】（1）因直线l过，可设其方程为y＝kx＋1，设，． 将y＝kx＋1代入，得．于是，． 由焦点弦公式，得，． ∴． （2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，设，． 将y＝kx＋m代入，得．于是，， ，，且， ∴ ． ∵，∴，即． ∵直线l：y＝kx＋m不过点，∴2k＋m－1≠0，故k＝1． 95．已知曲线C上任意点到点F（1，0）距离比到直线x+2＝0的距离少1. (1)求C的方程，并说明C为何种曲线； (2)已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝1，求证：直线BD经过定点. 【答案】(1)y2＝4x，抛物线； (2)证明见解析. 【分析】（1）设曲线C上的点P（x，y），化简方程，即得解； （2）由直线，的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线的方程，将求出的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标． 【详解】（1）设曲线上的点， 由题意，且， 整理可得：； 可得曲线的方程为, 曲线为抛物线； （2）证明：显然直线，的斜率存在，设，，，，，，利用齐次式方程， 所以设直线的方程为， 设抛物线的方程为， 整理可得：， 将代入， 整理可得：， 即， 两边同时除以可得：， △，设方程的根为，， 则， 由题意可得， 整理可得，与对应项相等， 可得且， 解得，， 即直线恒过定点， 即可证得直线恒过定点．    培优题型6抛物线中的焦点弦问题 56．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可得圆心为抛物线的焦点，求出弦长，设出直线方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答. 【详解】如图，圆的圆心为，半径 显然点为抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为， 设则，， 所以， 因此，即有，解得， 设直线的方程为，显然，由， 消去得，则有，解得. 故选：A. 57．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 58．如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，由此即可求得点A的坐标. 【详解】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小， 此时，则，所以，则点A的坐标是. “轴时，最小”的证明： 法一：设AB倾斜角为，由，当即轴时，； 法二：设，与联立得， 所以，所以，所以， 又，当且仅当时取等号． 故选：A. 59．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出到抛物线的准线的距离. 【详解】分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，， 则 故选：A 60．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设， 由题设有，由抛物线的焦半径公式有： 而. 故选：B. 61．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．与直线l的位置有关 【答案】A 【分析】先设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再根据题意得到，进而即可得到答案． 【详解】设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，， 又该直线不经过抛物线的焦点，则， 所以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是相离． 故选：A．    62．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得 ，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 63．已知抛物线：（），过焦点的直线交抛物线于、两点，交轴于点，若点为线段的中点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，设与轴交于点，根据抛物线的焦点弦性质即可求解. 【详解】如图所示， 分别过点作抛物线的准线的垂线， 垂足分别为，设与轴交于点， 因为点为线段的中点， 则，， 则， 根据抛物线的焦点弦性质： ， 所以，解得. 故选：B 64．设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆（    ） A．必过原点 B．必与轴相切 C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切 【答案】C 【分析】作出图像，利用中位线性质与抛物线的定义化简计算可得以为直径的圆与轴相切. 【详解】如图，取中点，以为圆心，为直径作圆，与相切于点，连接，证明如下：因为为，中点，所以，又，所以，由抛物线定义可知，，所以为圆的半径，即以为直径的圆与轴相切. 故选：C 65．已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D. 【详解】 设 ，，的方程为， 由 可得， 则  ， 所以 ， 同理可得， 则有，所以A正确； 若，由， 得 ， 即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理, 故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 66．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】AD 【分析】对于A，由直线过点，可得，求得，即可判断；对于B，联立直线与抛物线方程，由焦点弦公式求出，即可判断；对于C，求出到直线的距离为，再由三角形的面积公式求解即可；对于D，求出点的坐标，再求出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，直线过点， 所以抛物线的焦点， 所以，，，故A正确； 对于B，由A可知抛物线的方程为， 设，， 由，消去并化简得， 解得，， 所以，故B错误； 对于C，直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为，故C错误； 对于D，设的中点为， 由上可知， 故， 即， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 67．已知F是抛物线的焦点，是经过点F的弦且的斜率为，C、A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B．四边形面积最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】AC 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可判断A选项的正误，求出、关于的表达式，利用基本不等式可判断B选项的正误，利用弦长公式可判断C选项的正误，利用弦长公式求出的值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，设直线的方程为，设点、， 联立，可得，所以，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，， 同理可得， 所以，四边形的面积为 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误；    对于C选项，，C选项正确. 对于D选项，设点、，直线的方程为， 联立，可得，则， 所以，，解得， ，则，直线的斜率为，D选项错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 68．直线过抛物线的焦点，若点为坐标原点，与交于A、B两点，则（   ） A． B．重心纵坐标的最小值为 C．以线段为直径的圆被轴截得的弦长最小值为 D．若直线交准线于点D，且，则 【答案】BCD 【分析】根据直线经过定点即可求解焦点得判断A，联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据重心坐标公式即可求解B，根据圆的方程，即可，得，即可根据弦长公式求解C,根据向量的坐标关系，结合韦达定理，即可根据弦长公式求解D. 【详解】对于A，由于直线恒过定点,即抛物线焦点为，因此，故，A错误， 对于B,由可得设，联立得， 故，所以重心的纵坐标为，当且仅当等号成立，故B正确， 对于C,设中点为，则， 所以线段为直径的圆的方程为，即， 设该圆与轴的交点为，令，则，故，所以，当且仅当时等号成立，故C正确， 对于D，设，由可得， ，， 则，或（舍去），则，故D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 69．抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设出直线的方程及点的坐标，联立直线与抛物线的方程，得到韦达定理，再由抛物线的定义与性质及和韦达定理，基本不等式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】设直线的方程为， 由，消去得，，则，. 所以，， 对于A，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，依题意， 所以，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D， 故D错误； 故选：ABC. 70．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理并计算可判断A正确，求得四边形面积的表达式为并利用基本不等式计算可得最小值为，即B错误；根据焦半径公式代入计算可得C正确，求得解方程计算可得，即D正确. 【详解】如下图所示： 易知，设， 则直线的方程为，其中， 联立，整理可得， 可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ， 所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得 ， 即可得，解得，即或（舍）； 因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，即D正确. 故选：ACD 71．已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 【答案】ABD 【分析】设，根据弦长公式即可判断A；过点分别作准线的垂线，垂足分别为，设，根据抛物线的定义求出，进而可求出，即可判断B；设，联立方程，利用韦达定理即可判断C；由，得，根据点在轴的上方，得，再结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】设， 对于A，若，则直线， 联立，得，则， 所以，故A正确； 对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 不妨设，则， 则，故B正确； 对于C，易得直线的斜率不为零，设， 联立，得，则为定值， 所以点的纵坐标之积与无关，故C错误； 对于D，由，得， 即，即， 由， 得，， 因为点在轴的上方，所以， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 72．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是， 由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，联立 消去得， 设线段的中点， 所以， 所以点到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确； 由韦达定理，得，故B错误；， 所以 ，故C正确； 若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧， 如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离， 则，设，则， 又 ， 所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 73．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，交准线于点（为坐标原点），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线轴 D．的最小值是16 【答案】ACD 【分析】先求出抛物线的焦点和准线方程. 设直线AB的方程为，利用“设而不求法”判断选项ABC,利用焦半径公式判断选项D. 【详解】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点，准线方程为. 设直线AB的方程为，联立，得，∴，. ∴，∴.故A正确； ∵，∴.故B错误； 又∵，，三点共线， ∴，∴，又∵，∴，∴直线轴.故C正确； 设直线AB的倾斜角为，根据抛物线的焦半径公式得，， ∴，当且仅当轴时等号成立，∴D正确. 故选：ACD 74．抛物线的焦点是，过焦点的直线与相交于不同的两点，是坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．若是线段的中点，且，则 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】AB 【分析】设，求出中点为，判断选项A；利用点差法求解，求出，判断选项B；由，得到，推出，判断选项C；设直线的倾斜角为，求出，，利用，判断选项D. 【详解】设， 所以中点为， 到轴的距离， 又因为，所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故A正确； 设，所以， 所以，故B正确； 设，若，则， 所以， 解得，所以 设直线，联立，则， 故，，即， 所以与矛盾， 所以，故C错误； 设直线的倾斜角为， 当点在第一象限时，，， 则，故， 同理可得， 所以， 所以, 当点在第四象限时，同理可得，， 所以， 所以，所以错误； 故选：AB 75．抛物线：的焦点为，过作倾斜角为的动直线交抛物线于两点（在第一象限），且，设关于轴的对称点为，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得. 【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为，设， 过作轴于，过作于，显然， 由抛物线定义得，， 而，则，因此，A正确； 显然，同理，则，B错误； 又，则点到直线的距离， 因此，C正确； 显然，则，又， 因此，D正确. 故选：ACD 76．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，进而求得，即可判断AB，利用求得两切线方程，进而求得点的坐标，计算可判断C；求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【详解】如图，，直线的斜率，则设直线的方程为， 联立得，得：，解得． 由，得，故A错误； 由于，则，故B正确； 所以，所以，， 又因为在第一象限，故在第四象限， 所以，， 所以， 设过点的切线方程为，代入抛物线方程可得， 整理得， 由判别式等于0，整理可得，解得， 所以过点的切线方程为，即①， 同理求得过点的切线方程为②， 联立①②可得，所以，又， 所以，故C正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 77．直线与抛物线相交于两点，且，则 . 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线焦点弦长公式，即可求解． 【详解】由消去y，整理得=， ∵直线与抛物线交于两点，∴，解得， 设，则， ∵直线过抛物线的焦点， 则，∴， ∴，则. 检验知满足条件. 故答案为：. 78．已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有： . ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 【答案】①③ 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理求出、关于的表达式判断①，利用基本不等式可判断④的正误，利用弦长公式求出的值，可判断②的正误，利用弦长公式可判断①的正误. 【详解】 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，所以，，， 所以，， 设点、，直线的方程为， 联立，可得，则， 所以，，③正确； ， 解得， ，则，直线的斜率为，②不正确； 对于①，， 同理可得， ，①正确. 四边形的面积为 ， 当且仅当时，等号成立，④错误； 故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 79．已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 【答案】 8 2 【分析】由抛物线的焦点坐标可得的值；设直线的方程与抛物线联立，可得的中点的坐标，进行求出的中垂线的方程，进行求出的值，再由抛物线的性质可得的值，即可求解． 【详解】如图所示： 由抛物线的方程可得焦点坐标为， 由题意可得，所以； 所以抛物线的方程为：， 设直线的方程为： ，设， 联立直线与抛物线的方程： ，整理可得：，, 则，所以的中点的横坐标为， 所以的中点的纵坐标为：， 所以的中垂线的方程为：， 令，可得，所以N的横坐标为：， 所以， 由抛物线的性质可得，， 所以， 故答案为：8，2 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是采用设线法得到韦达定理式，再利用焦点弦公式即可得到答案. 80．已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 【答案】 12 18 【分析】利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，求得即得. 【详解】根据题意可得图形， 由已知得ON是的中位线，可知． 过M，N向准线做垂线，垂足分别为，， 同理是的中位线，． 由抛物线的定义知，，因此，N点的横坐标是， 所以，得． 因为，所以． 故答案为：12；18. 81．已知是抛物线的焦点，点，过点的直线与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若，则直线的斜率 ． 【答案】2 【分析】方法一：设直线，设，联立直线l与抛物线的方程求出y1+y2，y1⋅y2，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案； 方法二：设A，B，M在准线上的射影分别是A1，B1，N，由题意可得出PM∥x轴，设，，联立直线l与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案． 【详解】方法一：由题意，， 设直线，其中， 联立，消去x，得，Δ＞0， 设，则，， 又，则PA⊥PB，即， 而，， 则， 即， 即， 所以，解得， 所以． 方法二：如图，由题意，，点P在准线上， 设A，B，M在准线上的射影分别是A1，B1，N， 则， 故，即重合. 所以PM∥x轴， 设，， 联立，消去x，得， 所以，所以．    故答案为：2． 82．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,且,则 . 【答案】9 【分析】利用抛物线定义可知：，从而得到结果. 【详解】解：∵直线l过抛物线x2＝6y的焦点， ∴线段AB的长是+3， 又 ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题考查抛物线弦长的求法，考查了抛物线定义，考查了转化思想，属于基础题. 83．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【详解】由抛物线的焦点弦长公式可知，. 由抛物线方程，可得，又， 所以弦的长为. 故答案为： . 84．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则 . 【答案】1 【分析】根据，得到为外接圆的直径，为外接圆的直径，，从而有，再结合抛物线得到求解. 【详解】解：如图所示： 因为，所以为外接圆的直径，为外接圆的直径， 所以， 由抛物线的定义得， 则， 所以， 所以， 则， 所以， 故答案为：1 85．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线 的距离， 所以， 化简得，解得，即． 86．已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，是线段的中点． (1)当时，求与的坐标． (2)为坐标原点，记直线的斜率为，若，求直线的方程． 【答案】(1)，中点 (2) 【分析】（1）利用方程组和韦达定理即可求解中点坐标和弦长； （2）利用方程组和韦达定理即可求解直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点， 当时，直线 联立，消去得:， ，所以设点， 由韦达定理，设中点， 则，，所以中点的坐标为， 所以由过焦点弦长公式得：， （2）直线， 联立，消去得， ，所以设点， 由韦达定理， 因为， ， 解得，所以的方程为． 87．抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于两点，则有： （1）通径的长为 . （2）焦点弦长：. （3），. （4）以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线 . （5）若α为弦AB的倾斜角，则， ； ；； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 【答案】 2p 相切 【分析】（1）根据通径的定义即可代入求解， （2）根据焦半径的定义即可求解， （3）联立方程由韦达定理即可求解， （4）（6）由焦点弦以及中位线即可求解. （5）根据焦半径以及锐角三角函数即可由几何关系求解. 【详解】（1）焦点坐标为，所以当时，，所以通径为， （2）设,在抛物线的准线上的射影为,，根据抛物线的定义可知所以焦点弦长：. （3）设直线方程为，代入，可得，由于， ，； （4）由于过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是． 而到准线的距离，B到准线的距离． 又到准线的距离是梯形的中位线，故有， 由抛物线的定义可得：，等于半径． 所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切． （5）倾斜角为，过分别作轴，轴， 所以， 同理, 故， （6）设的中点为，与轴交于点， 由于，, 所以到轴的距离为，故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得BF为直径的圆与y轴相切. 88．若抛物线 的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据抛物线 的焦点到准线的距离为,可得抛物线方程.过焦点的直线与抛物线交于,两点,且,可用焦点弦性质得出的值,最后即可得出弦的中点到轴的距离. 【详解】解：因为抛物线 的焦点到准线的距离为, 所以,故,抛物线为. 过焦点的直线与抛物线交于,两点,设, 又由抛物线的性质：焦点弦, 所以,则, 所以的中点到轴的距离为 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的焦点弦性质,属于基础题. 89．直线过抛物线： 的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定，由此可得所求范围. 【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为， 当垂直于轴时，两点坐标为， 此时，且， 即抛物线的焦点弦中，通径最短， 所以. 故选：A． 培优题型7抛物线中的综合问题 53．已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 54．已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)恒过定点. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值作答. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答. 【详解】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点， 又，因此，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，， 由消去x并整理得，，即， 于是，，， 由，得，则有， 即，因此， 则，解得，满足，直线过定点， 所以直线恒过定点.    【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 55．已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)见证明 【分析】（1）根据抛物线定义，可知曲线方程为抛物线，进而利用定义求得抛物线的方程． （2）设出A、B坐标，设出AB方程，联立抛物线，结合韦达定理表示出与，利用垂直关系求得m的值，进而求出定点坐标． 【详解】解法一：（1）由题意可知等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 解法二： （1）设，由题意可知等于点到直线的距离， 所以， 整理得曲线的方程为. （2）设直线，代入，得， 设，则，，， ，， 因为直线过的外心，所以， =0 所以，所以或， 因为直线不过点，所以，所以， 所以直线，所以直线过定点. 【点睛】本题考查了抛物线定义，直线过定点问题，属于中档题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $