3.3.1抛物线及其标准方程题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的定义、标准方程推导与形式、求方程方法等核心知识点。从定义出发，通过坐标系建立推导方程，分类讨论焦点在不同坐标轴上的四种标准形式，形成“定义—推导—分类—应用”的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 资料设计分层例题与实际应用题型，基础题巩固定义与方程求解，培优题涉及轨迹方程、最值问题等，结合太阳灶、拱桥等实例，培养数学眼光（抽象现实问题）和数学思维（逻辑推理）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

3.3.1抛物线及其标准方程 知识点1:抛物线的定义 （1）定义:把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹. （2）焦点:定点抛物线的焦点. （3）准线:直线叫做抛物线的准线. （4）集合表示: . 注意: （1）定点不在定直线上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过点垂直于直线的一条直线. （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质. 知识点2:标准方程的推导 如图,以过F且垂直于的直线为轴,垂足为.以,的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设,那么焦点的坐标为,准线的方程为. 设点是抛物线上任意一点,点到的距离为. 由抛物线定义,抛物线就是集合 因为, 所以 将上式两边平方并化简,得① 方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是它的准线方程是 知识点3:抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点4:求抛物线标准方程的方法 （1）直接法:直接利用题中已知条件确定焦参数; （2）待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定焦参数.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为或; 注意:已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图形及开口方向确定. 基础题型1求抛物线的标 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 3．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 4．（24-25高二上·山西太原·月考）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. （2）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得值，根据c的关系，可得，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （2）因为焦点为，，所以，且焦点在轴， 因为双曲线经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：. 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 基础题型2抛物线的定义及其应用 6．（25-26高二上·新疆喀什·月考）抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（   ） A．2 B．5 C．3 D．8 【答案】B 【分析】由焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 7．（25-26高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的定义结合题意计算可得. 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即，解得， 因点是抛物线上的点，则，又，则. 故选：C. 8．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程的定义即可得到答案. 【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 9．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义列方程，求得，结合点坐标求得. 【详解】依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 11．（2019·河南焦作·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点，分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为.若的面积为，则到的距离为 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解析】根据题意做出图像，设得根据抛物线的定义以及几何意义得到，，，，根据面积得到参数m的值，为线段的中点，所以到的距离为 【详解】作出图形如下，作，垂足为. 设，由，得，则，. 过点作，垂足为，则，， 所以，所以，，， .所以. 因为为线段的中点，所以到的距离为. 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 12．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案. 【详解】    由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为， 由抛物线，则其准线为直线， 所以，解得. 故选：B. 13．（23-24高三下·河北·月考）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题意解三角形得，由此代入抛物线方程得，结合焦半径公式即可求解. 【详解】   过点作的垂线，垂足为，因为直线的倾斜角为，则， 设，因为，， 所以. 故选：B. 14．（20-21高二上·福建宁德·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】设中点为,过、、分别作准线的垂线，利用抛物线的可得，进而利用中位线定理得，从而得解. 【详解】设中点为,过、、分别作准线的垂线，如图所示： 则，，所以， 所以中位线， 所以则线段的中点到轴的距离为， 解得 故选：D. 15．（22-23高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解. 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 16．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象，定义，以及几何性质，转化为三角形相似问题，即可求解. 【详解】如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点， 由题意可知 ．设，则， 易证 ，则，即，整理得， 解得 ，故． 故选：C 17．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则 ． 【答案】5 【分析】先由直线BF的方程求出焦点、准线方程，则可得抛物线的方程，进而得点，从而求出点，再由焦半径公式即可得解. 【详解】在中，令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以抛物线C的方程为，其准线方程为， 在方程中，令，得，所以，所以点A的纵坐标为4， 在方程中，令，解得，所以， 由抛物线的定义，得． 故答案为：. 18．（2026高三·全国·专题练习）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得到点的纵坐标，根据点到轴的距离为得到点的横坐标，将点的坐标代入抛物线方程即可求出答案. 【详解】根据抛物线定义，点与焦点的距离等于点到准线的距离，又点与焦点的距离为，则点的纵坐标， 又点到轴的距离为，则点的横坐标， 代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 20．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 21．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 22．（25-26高三上·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 23．（25-26高三上·北京·月考）设抛物线的焦点为F，准线l与轴的交点为M，P是C上一点.若，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为， 因此准线l与x轴的交点M的坐标为， 设点的坐标为，则有， 因为， 所以由抛物线的定义可得， 于是， 故答案为：    24．（2022高三·全国·专题练习）已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解即可. 【详解】解：由抛物线的定义可得，， 又，所以点为线段的中点， 又因为点，所以， 又点B在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线C的标准方程为. 25．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 . 【答案】4 【分析】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解. 【详解】作于点，与轴交于点，如图， 则， 又且是的中点，则有， 即，又，故， 又，，， 故，即，则. 故答案为：4 26．（2019·湖南衡阳·二模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若的最小值为19，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设：，，，联立方程可得，，结合均值定理，即可求解． 【详解】设：，，，联立方程：， ，. 【点睛】本题借助抛物线的定义与均值不等式来求解最小值问题.重在考查学生的挖掘信息能力，知识综合应用能力以及求解运算能力，属基础题． 培优题型1求抛物线的轨迹方程 27．（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，设，PF的中点，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程. 【详解】抛物线的标准方程是，故， 设，PF的中点， ∴， 因为，所以，即． 故选：C 28．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 29．（2025高二·全国·专题练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：设点，，直线斜率为，由作差利用点差法求解即可；解法二：设点，，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可. 【详解】解法一：当直线斜率存在时，设点，，直线斜率为，弦中点坐标为， 则，作差得，即①， 又因为抛物线的焦点，所以②， 联立①②得，即， 当直线斜率不存在时，易知线段的中点为，在上， 所以所求轨迹方程为， 故答案为： 解法二：抛物线的焦点为，设点，， 若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 则设直线的方程为， 联立得，， 则，所以， 设线段的中点为，则，，即， 所以，化简可得， 所以线段的中点的轨迹方程为， 故答案为： 30．（2025高三·全国·专题练习）已知点在圆F：上，，动点（纵坐标不为0）满足，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【分析】对于，设，由，化简可得其轨迹；对于，由的范围可判断；对于，由，可得，所以，由范围可判断；对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值. 【详解】对于，由题意可知，设，如图，过点作轴于点，则 ， 所以 ，即， 所以，A正确； 对于，由对称性可假设点在一象限，则 ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，B错误； 对于，由，可得， 所以，且， 所以，C正确； 对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值，此时，所以的最小值为，D正确. 故选：ACD． 31．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 32．（2025·河南·模拟预测）若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程. 【详解】设的方程为，代入中，整理得， 设，则， 由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为， 联立，得，由可得，即， 所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为. 联立解得消去，得， 所以两条切线交点的轨迹方程为． 故答案为： 33．（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据点点距离以及点到直线距离公式，结合题意列等量关系即可化简求解. 【详解】设点的坐标为，由题意可得，化简得， 则动点的轨迹方程为. 故答案为：. 34．（2025高三下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 【答案】或 【分析】先设，再结合两点间距离公式，化简求解即可. 【详解】设为轨迹上任意点，则两边平方， 得， 所以动点N的轨迹方程为或. 故答案为：或. 35．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知点到的距离比的横坐标大1，点的轨迹方程为，则最小时，的面积为 . 【答案】 【分析】先求出轨迹方程，画出草图，结合抛物线的定义进行转化，运用点共线得到最小时，求三角形面积即可. 【详解】设，则，平方整理得（满足）， 故在抛物线上，焦点，准线方程为， 过作准线的垂线，交准线于，， 的轨迹方程为圆，整理得，圆心为，半径为， 过作准线的垂线，交准线于，则， 当共线时取等号，则此时，，，故. 故答案为：. 36．（21-22高二·全国·课后作业）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ． 【答案】 【分析】证得圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，进而结合抛物线的定义即可求出结果. 【详解】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切， 则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等， 由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线， 其方程为． 故答案为：. 37．（河南省郑州市郑州外国语学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 【答案】抛物线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由，得， 所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等， 又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线. 故答案为：抛物线. 38．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】若直线斜率存在，将由中点公式及点差法所得关系式代入四点共线建立的关系式中化简可得；若直线斜率不存在，求出点的坐标，验证其是否满足上面方程. 【详解】如图38，若直线斜率存在，设点，中点，则，① 又， 两式相减，得，② 当的斜率存在是，因为四点共线，所以，③ 把①③代入②，可得 即中点的轨迹方程为 若直线斜率不存在，不妨设点在轴上方，则， 此时，也满足方程, 综上，中点的轨迹方程为. 39．（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简； 解法2：定义法求抛物线的方程. （2）轨迹法求点的轨迹方程. 【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为， 整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为 整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故 即为所求. 培优题型2距离和与差的最值问题 40．（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义将点到直线的距离转化为点到焦点的距离即可求出. 【详解】由已知得的焦点为，准线为， 设为点到的距离，设为点到的距离， 则，即， 由抛物线的定义得，故所求距离之和为， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ， ， 当点为线段与的交点时取等号． 故选：. 41．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 42．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，作直线，直线，取抛物线焦点为F.由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由圆外一点到圆上距离最小值相关结论可得答案. 【详解】由题可得抛物线焦点为：，准线为：. 如图，作直线，直线，取抛物线焦点为F， 则点到直线的距离与之和为， 由抛物线定义可得：， 则当四点共线时，取最小值为， 又由题可得，，则最小值为：. 故选：A 43．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 44．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．有最小值无最大值，且最小值为5 C．有最大值和最小值，若在点处，取到最大值，在点处，取到最小值，则的中点为 D．有最大值，且此时的坐标为 【答案】BC 【分析】根据抛物线的定义，利用数形结合，转化为三点共线问题，即可判断选项. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，故A选项错误； 根据抛物线定义，等于点到准线的距离，设为，， 当垂直于准线时，最小，此时最小值为， 因为可无限远离，所以无最大值，故B选项正确； 根据三角形三边关系（共线时取等号），      而，当且仅当在直线上时取等号（如图1）， 在处取得最大值，在处取得最小值， 设，直线的方程为：， 联立消得， 则的中点为，即，故C选项正确； 根据三角形三边关系（共线时取等号），， 当且仅当在直线的延长线上时取最大值（如图2），故D选项错误.    故选：BC 45．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 46．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 47．（25-26高二上·山西太原·月考）已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先根据圆上的点到定点的最值问题可得：，再根据抛物线的定义结合三角不等式即可求得最小值. 【详解】    如图，由题意知是抛物线的焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为： 48．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 49．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为 . 【答案】13 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，最后根据几何性质求出周长的最小值. 【详解】因为，故， 记抛物线C的准线为l，则， 记点P到l的距离为d，点到l的距离为， ， 故答案为： 50．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，再利用平面几何知识即可求解. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点，准线，    设动点到直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 故动点到直线和直线的距离之和的最小值是2. 故答案为：2 51．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 52．（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 53．（25-26高三上·北京·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用直线求交点，利用弦长公式求线段长，通过代数运算可求最小值. 【详解】 由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为， 因为，可知，所以，不妨取， 设直线方程为：，则垂线方程为：， 联立解得：，所以， ， 则 ， 当时，取到最小值， 故答案为： 54．（25-26高二上·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 55．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将问题转化为的最小值，结合三点共线即可求解最小值. 【详解】解:将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且． 设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:， 所以的周长 ． 当且仅当三点共线，即时，等号成立. 故答案为:. 56．（13-14高二上·福建莆田·期末）已知点及抛物线上一动点，则 的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据三点共线时距离和最短求出结果即可. 【详解】∵即， ∴焦点为，准线为：， 由抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， ∴， ∵当三点共线时，最小，此时， ∴， 故答案为：2. 57．（24-25高二下·陕西·月考）已知，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】可将目标函数看成，两点的距离，而可看作，两点的距离，再结合图象，结合抛物线的定义，转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小，再结合函数的图象，以及利用导数求最小值. 【详解】条件转化为， 记，，，，， 则， 即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小， ，当且仅当共线时，等号成立， 令，，， 由于单调增，则是的唯一零点，即有在上单调递增，则，即的最小值为， 则. 故答案为： 58．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义可得，再根据结论两点之间线段最短求结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为为抛物线上的动点，到直线，的距离分别，， 所以，， 因为关于的对称点为， 所以， 所以， 又， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以当点为线段与抛物线的交点时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：.    培优题型3抛物线的实际应用 59．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 60．（24-25高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 61．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 62．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 63．（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 64．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    65．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 66．（24-25高二上·陕西渭南·月考）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【答案】60.5 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1抛物线及其标准方程 知识点1:抛物线的定义 （1）定义:把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹. （2）焦点:定点抛物线的焦点. （3）准线:直线叫做抛物线的准线. （4）集合表示: . 注意: （1）定点不在定直线上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过点垂直于直线的一条直线. （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质. 知识点2:标准方程的推导 如图,以过F且垂直于的直线为轴,垂足为.以,的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设,那么焦点的坐标为,准线的方程为. 设点是抛物线上任意一点,点到的距离为. 由抛物线定义,抛物线就是集合 因为, 所以 将上式两边平方并化简,得① 方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是它的准线方程是 知识点3:抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点4:求抛物线标准方程的方法 （1）直接法:直接利用题中已知条件确定焦参数; （2）待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定焦参数.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为或; 注意:已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图形及开口方向确定. 基础题型1求抛物线的标 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 3．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 4．（24-25高二上·山西太原·月考）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 基础题型2抛物线的定义及其应用 6．（25-26高二上·新疆喀什·月考）抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（   ） A．2 B．5 C．3 D．8 7．（25-26高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 11．（2019·河南焦作·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点，分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为.若的面积为，则到的距离为 A．12 B．8 C．6 D．4 12．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 13．（23-24高三下·河北·月考）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 14．（20-21高二上·福建宁德·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 15．（22-23高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 17．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则 ． 18．（2026高三·全国·专题练习）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ． 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 20．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 21．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 22．（25-26高三上·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 23．（25-26高三上·北京·月考）设抛物线的焦点为F，准线l与轴的交点为M，P是C上一点.若，则 . 24．（2022高三·全国·专题练习）已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为 . 25．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 . 26．（2019·湖南衡阳·二模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若的最小值为19，则抛物线的标准方程为 ． 培优题型1求抛物线的轨迹方程 27．（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 28．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 29．（2025高二·全国·专题练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 30．（2025高三·全国·专题练习）已知点在圆F：上，，动点（纵坐标不为0）满足，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点为坐标原点）的最小值为7 31．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 32．（2025·河南·模拟预测）若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 33．（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹方程为 ． 34．（2025高三下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 35．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知点到的距离比的横坐标大1，点的轨迹方程为，则最小时，的面积为 . 36．（21-22高二·全国·课后作业）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ． 37．（河南省郑州市郑州外国语学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 38．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 39．（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 培优题型2距离和与差的最值问题 40．（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 41．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 42．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 44．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．有最小值无最大值，且最小值为5 C．有最大值和最小值，若在点处，取到最大值，在点处，取到最小值，则的中点为 D．有最大值，且此时的坐标为   45．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 46．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 47．（25-26高二上·山西太原·月考）已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 .   48．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 49．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为 . 50．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 .   51．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 52．（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 53．（25-26高三上·北京·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为 . 54．（25-26高二上·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 55．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 56．（13-14高二上·福建莆田·期末）已知点及抛物线上一动点，则 的最小值是 ． 57．（24-25高二下·陕西·月考）已知，，则的最小值为 . 58．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 培优题型3抛物线的实际应用 59．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 60．（24-25高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 61．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 62．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 63．（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 64．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 65．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    66．（24-25高二上·陕西渭南·月考）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $