3.2.4直线与双曲线的位置关系题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.4直线与双曲线的位置关系 知识点1:直线与双曲线位置关系的判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程: （1）当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点; （2）当,即时,设该一元二次方程的判别式为, 若,直线与双曲线相交,有两个公共点; 若,直线与双曲线相切,有一个公共点; 若,直线与双曲线相离,没有公共点; 注意:直线与双曲线有一个公共点时,可能相交或相切. 知识点2:弦长公式 若直线与双曲线交于,两点 则或. 知识点3:双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为. 注意:若焦点弦与双曲线的交点在同一支上,则最短弦长是通径长; 若焦点弦与双曲线的交点在两支上,则最短弦长是. 知识点4:中点弦与点差法 点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过双曲线（）上两点、,其中中点为,则有. 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴ ∴. 特殊的:直线（存在斜率）过双曲线（）上两点、,线段中点为,则有. 基础题型1直线与双曲线的位置关系 1．直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 2．直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 3．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行， 此时，“直线与双曲线相切”不成立 反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点” 所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件 故选：． 4．已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】A 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点. ①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意； ②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点. 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意. 综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条. 故选：A. 5．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解. 【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点； 当斜率存在时，设直线为，联立，得①. 当，即时，①式只有一个解； 当时，则，解得； 综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条. 故选：D. 6．过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（    ） A．动直线与双曲线最多有4个交点 B．动直线与双曲线最少有1个交点 C．存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D．存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 【答案】BD 【分析】数形结合，可直接判断各选项的正确性. 【详解】如图： 过右焦点的直线与双曲线最多有两个交点，故A错误； 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，且交点个数最少，只有1个，故BD正确； 过右焦点的直线不可能与双曲线相切，故C错误. 故选：BD 7．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 8．已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 【答案】答案见解析 【分析】讨论垂直于轴或与轴不垂直，然后设出直线方程，将直线与双曲线方程联立，利用判别式即可求解. 【详解】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点． ②当与轴不垂直时，设直线的方程为， 代入双曲线的方程中，有． 当，即或时，方程有一个解． 当时，， 令，可得；令，可得；令，可得． 综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时， 直线与双曲线有一个公共点； 当直线的斜率时， 直线与双曲线有两个公共点； 当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点． 基础题型2由直线与双曲线的位置求参数 9．已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与双曲线的交点个数和渐近线的结论得到，则得到离心率的范围. 【详解】∵渐近线方程为且的斜率为， ∴，则，∴离心率，又∵， 则离心率的取值范围为. 故选：C 10．已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解. 【详解】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意. 故选：C 11．已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】由可知圆心，半径为， 双曲线的渐近线方程为， 的一条渐近线与圆没有公共点，则，解得， 故选：A 12．若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是. 故选：B． 13．若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围 【详解】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为， 设交点， 联立可得， 由题意可得 解得：， 故选：D． 14．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据直线与双曲线没有公共点求出的范围，进而求出离心率的范围，在该范围内取一个值即可. 【详解】的渐近线为，且焦点在轴上， 由题知：，因，解得， 所以离心率， 故离心率的一个取值可以为3. 故答案为：3(答案不唯一). 15．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ． 【答案】 【分析】将直线与双曲线方程联立，直线与双曲线的交点分别在两支上等价于联立方程有两个异号的根. 【详解】联立双曲线、直线方程，消去整理得， 由题意，设方程的两根为，则，解得． 故答案为：    16．已知双曲线的右焦点，右准线，直线通过以分别为对应焦点和准线的椭圆的中心，求的取值范围. 【答案】 【分析】由椭圆第二定义得，化简可得椭圆中心，利用直线过椭圆的中心可得，结合即可求解. 【详解】双曲线的焦点，准线. 设为椭圆上任意一点，由定义得， 化简得，可得椭圆中心为. 由直线过椭圆的中心，有， 求出，而， ，从而求出的范围为：. 17．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ 【答案】若点A, B在双曲线的同一支上，或；若点A, B分别在双曲线的两支上，. 【分析】联立方程组消元后，由题意得一元二次方程，利用判别式及两根之积的符号求解即可. 【详解】联立得. 由题意知 解得且. 若点A, B在双曲线的同一支上，则>0， 解得或， 所以或 若点A, B分别在双曲线的两支上，则， 解得. 培优题型1直线与双曲线相交的弦长 18．已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组，解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 19．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出过点且倾斜角为的直线方程，然后联立方程组写出韦达定理利用弦长公式求解即可； （2）的周长为，根据题意得出的表达式然后结合完全平方公式和韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题知，过且倾斜角为的直线斜率为： ， 所以直线的方程为即， 设，， 联立， 整理得：. 由， 所以. 所以 . （2）已知直线与双曲线左右两支分别交于两点， 如图所示： 记的周长为则：， 因为， 且， 所以 ， 又点是直线与双曲线的右支上交点， 所以，所以， 同理， 由点是直线与双曲线的左支上交点， 所以，所以， 所以 ， 所以. 20．双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即 或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 21．已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 22．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. （2）因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，     所以直线的方程为， 即． 联立消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 23．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 24．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，；    （2）设， 联立得， 由韦达定理得， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 25．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程； （2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为， 可得，整理得， 即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，，可得，， 所以， 又由点到直线的距离， 所以的面积. 26．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 27．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据题意结合斜率公式求解即可； （2）显然直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的值，再求出和到直线的距离即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为， 因为，，所以， 化简得： 所以的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；    设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以， 解得或（舍去）， 所以直线为， 所以， 所以， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 培优题型2双曲线的通径问题 28．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率存在时，因，由对称性知有2条符合，综合考虑即得. 【详解】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 故选：D. 29．已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，求出点的坐标，利用点到直线的距离公式以及题意可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 联立可得，即点， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意可得，即，可得， 故，故该双曲线的离心率为， 故选：D. 30．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 31．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 32．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知弦是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知，由此即可求出，进而求出结果. 【详解】因为轴，且经过双曲线的焦点， 所以弦是双曲线的通径，故， 又弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 33．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（        ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】分只与双曲线右支相交和与双曲线两支相交两种情况，讨论已知弦长与最小距离的关系，确定出直线的条数． 【详解】若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为，，此时有两条直线符合条件； 若与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；，此时有条直线符合条件； 综上可得，共有条直线符合条件，故选：B． 34．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】，令，得， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有； 如果在两支上，则， 因为这样的直线有4条， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 35．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可，由此可知＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围． 解答：解：由题设条件可知△ABF2为等腰三角形， 只要∠AF2B为锐角即可， 所以有＜2c， 即2ac＞c2-a2， 解出e∈(1，1+)， 故选D． 36．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ． 【答案】 【分析】由中位线的性质推导出轴，求出，根据可求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值. 【详解】如图，因为为线段的中点，为的中点，则，且， 又轴，所以，轴， 将代入双曲线方程可得，可得， 所以，，则，即，所以，． 设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则，则， 所以，， 故两条渐近线的夹角的正切值为. 故答案为：. 37．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可. 【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形， 且，则为正方形，可得， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为: . 38．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 【答案】22 【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线，得，， 由双曲线的定义可得： ①， ②， ①+②可得：， 由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点， 可得，即有． 则，当是双曲线的通径时最小， 故. 故答案为：22 39．过双曲线的两焦点且与轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】求出双曲线的通径长，由题意可得出，可得出的二次方程，结合可求得该双曲线的离心率. 【详解】将代入双曲线方程可得，可得，可得， 所以，过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交所得弦长为， 由已知可得，即，所以，， 因为，解得. 故答案为：. 40．已知双曲线的右焦点F，过点F的直线交双曲线C于A，B两点，当直线垂直于x轴时，，求此双曲线的离心率． 【答案】 【分析】由题设可得，结合的数量关系，即可求离心率． 【详解】因直线过右焦点，当直线l垂直于x轴时，，把代入双曲线方程，得， 则，即，所以，即，而. 培优题型3双曲线的中点弦与点差法 41．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于ABD通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断﹔对于C结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 42．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A.    43．过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 44．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设，利用设而不求点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可. 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 45．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的焦距求出，然后设，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进而可求出直线的斜率. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得. 设，则，则， 因为点是线段的中点， ，所以， 所以. 故选：A. 46．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 47．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 48．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 . 【答案】 【分析】设，进而根据点差法得，再根据得，进而得，再求渐近线的斜率之积即可得答案. 【详解】解：设， 因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为， 所以①，②，③，④， 所以，②③得，整理得 所以， 因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为， 所以，， 因为， 所以，即，整理得：， 所以，整理得， 所以，即， 所以，整理得， 因为的两条浙近线分别为， 所以，的两条浙近线的斜率之积为 故答案为： 49．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 50．(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）设点，由点差法求出直线斜率，即可由点斜式方程得解. 【详解】（1）由点在上，且的离心率为2，得， 解得，故双曲线的方程为. （2）根据题意作图如下： 由已知椭圆，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 51．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法结合分类讨论求解双曲线方程； （2）利用点差法结合中点坐标公式求解直线方程. 【详解】（1）对于双曲线，其渐近线方程为， 设双曲线的方程为，由题意可得， 消化简得，此方程无解； 设双曲线的方程为，由题意可得， 解得所以双曲线的方程为. （2）设，因为两点在双曲线上，， 两式相减得， 因为为的中点，所以，则， 因此直线的斜率． 直线的方程为，即． 经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 52．已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解， （2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为，所以， 由可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设中点的坐标为， 则   两式子相减得：， 化简得， 即，又，所以， 所以中点的坐标为， 所以直线的方程为，即. 将代入得，， 则， , 53．已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为． (1)求双曲线方程； (2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求出直线的方程，根据原点到直线的距离求出的关系式，再结合双曲线的渐近线方程求出，即可得解； （2）假设直线存在，设是线段的中点，且，，利用点差法求出直线的方程，再联立方程，根据根的判别式即可得出结论. 【详解】（1）解：因为直线过、两点，所以方程为， 因为原点到直线的距离为，所以， 因为双曲线的一条渐近线方程， 所以，解得，， 所以双曲线方程为； （2）解：假设直线存在，设是线段的中点，且，， 则，， 因为、在双曲线上， 则，两式相减整理得， 所以，所以， 所以直线的方程为，即， 联立，消得， 因为， 所以直线与双曲线无交点，所以直线不存在． 培优题型4双曲线的综合应用 54．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及斜率的坐标表示列式计算得证. 【详解】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 55．已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 【答案】(1)； (2). 【分析】(1) 利用实轴长和离心率求双曲线的基本量，进而得方程； (2) 联立直线与双曲线，结合韦达定理和距离公式求参数，进而求得的坐标，从而求得三角形面积. 【详解】（1）由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为. （2）直线与轴交于， 联立与双曲线方程得， 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，. ，同理， 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即， 因此的面积为：. 56．已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程即可； （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为的坐标为，又，，, 又动点满足直线与的斜率之积为，， 即， 故曲线的方程为. （2）根据已知作图如下： 直线过点且倾斜角为，直线的方程为， 联立，消去，整理得，， 设，则， ， 故. 57．已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 58．已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据与轴垂直时得，结合得到，由此可得双曲线的标准方程； （2）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值即可． 【详解】（1）对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． （2）①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ∵，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ． ∴当时，． 59．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意列方程直接求出可得方程； （2）（i）联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得；（ii）利用韦达定理表示出，结合面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，所以， 因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为. （2）（i）设，， 联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为.    （ii）由题得， 则 ， 所以的面积为 ，解得（负值已舍去）， 又，所以. 60．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 61．记双曲线的右焦点为，过点且斜率存在的直线与的右支交于，两点． (1)求斜率的取值范围； (2)若，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设，与双曲线方程联立，设，，判断根的判别式为正数，利用韦达定理求出的范围，检验此时，即可求得直线的斜率范围； （2）计算并化简和，结合条件将题设方程化成，代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）记的半焦距为，则，， 依题意设，， 联立，可得， 显然，， 设，，则，， 由解得， 此时 显然成立． 故直线的斜率. （2）， 同理，由可得， 则， 解得，于是直线的斜率为． 62．已知双曲线过点且离心率为. (1)求双曲线C的方程. (2)在双曲线上是否存在点，使得点到的两条渐近线的距离之和等于若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）假设存在，则点到两条渐近线的距离和 ，取不到，进而判断不存在. 【详解】（1）解：因为双曲线过点且离心率为. 所以，解得， 所以双曲线C的方程为： （2）解：不存在，理由如下： 由（1）知，双曲线的渐近线方程为：， 设，则，， 所以点到渐近线的距离为：； 点到渐近线的距离为：， 所以 所以， 两边平方得： ， 当且仅当时等号成立， 所以， 由于，所以，无解， 所以不存在点到的两条渐近线的距离之和等于. 63．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. 【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 64．已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    65．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    66．已知双曲线过点且与双曲线：共渐近线，点在双曲线上（不包含顶点）. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线与坐标轴交于，两点，求直线，的斜率之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质求解， （2）设点坐标，由斜率公式与双曲线方程化简求解， 【详解】（1）设双曲线的方程为（且），将代入可得， 解得，故双曲线的标准方程为； （2）可设，，，，则， 而点在双曲线上，故，即， 故. 67．已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线、的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程，可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设直线的方程为，设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式可求得的值. 【详解】（1）解：将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）证明：由题意，设直线的方程为，设、，    联立可得， ，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， . 可得直线、的斜率之和为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 68．已知双曲线（a＞0,b＞0）的离心率e=，直线过A（a，0），B（0，－b）两点，原点O到的距离是 （1）求双曲线的方程？ （2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若=－23，求直线m的方程？ 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程； （2）设出直线m方程，点M、N坐标，直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，代入数量积计算出参数，得直线方程． 【详解】（1）由题意直线的方程为，即， 所以，又， 解得a2=3，b2=1 双曲线方程为 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2） ∵B（0，－1）， 直线m的斜率显然存在 ∴设直线m方程为y+1=k x 得（1－3k2）x2+6kx－6=0 由⊿＞0解得 又有x1 x2=，， ， ∵=－23 ∴x1 x2+ y1 y2=－23 ∴+1=－23 解得k=±满足条件 ∴直线m方程为y=±x-1 69．已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点， 【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可； （2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简可得，从而得到定点与定值. 【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则， ∴双曲线C方程为； （2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，， 代入得，设，，， 则，， ∴ 若要上式为定值，则必须有，即， ∴， 故存在点满足      70．已知双曲线的焦距为4，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程，以及焦距，即可求双曲线方程； （2）方法一，首先舍直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明；方法二，分斜率不存在和斜率存在两种情况，斜率不存在时，利用数形结合，即可求解，斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示斜率，即可求解. 【详解】（1）因为点在上，所以①，由题意知，所以② 由①②解得，故双曲线的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，    由消去得， 设，则， 因为为 ，所以，所以 .所以. 方法二：证明：当直线的斜率不存在时，关于轴对称，结论显然成立 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立消去得，，显然， 设，则， 因为 所以，所以.所以. 71．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可. 【详解】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 72．已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组消元，根据方程在上有两解求出的范围，得出线段的中垂线方程，从而得出截距关于的函数，得出的范围． 【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以． 可得双曲线． 可得双曲线的渐近线方程为：． （2）设经过点的直线方程为，，，，， 联立方程组，消去得：， ，解得． 的中点为， 线段的中垂线方程为：， 令得截距． 即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.4直线与双曲线的位置关系 知识点1:直线与双曲线位置关系的判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程: （1）当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点; （2）当,即时,设该一元二次方程的判别式为, 若,直线与双曲线相交,有两个公共点; 若,直线与双曲线相切,有一个公共点; 若,直线与双曲线相离,没有公共点; 注意:直线与双曲线有一个公共点时,可能相交或相切. 知识点2:弦长公式 若直线与双曲线交于,两点 则或. 知识点3:双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为. 注意:若焦点弦与双曲线的交点在同一支上,则最短弦长是通径长; 若焦点弦与双曲线的交点在两支上,则最短弦长是. 知识点4:中点弦与点差法 点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过双曲线（）上两点、,其中中点为,则有. 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴ ∴. 特殊的:直线（存在斜率）过双曲线（）上两点、,线段中点为,则有. 基础题型1直线与双曲线的位置关系 1．直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 3．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 5．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（    ） A．动直线与双曲线最多有4个交点 B．动直线与双曲线最少有1个交点 C．存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D．存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 7．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 8．已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 基础题型2由直线与双曲线的位置求参数 9．已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 12．若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 15．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ．   16．已知双曲线的右焦点，右准线，直线通过以分别为对应焦点和准线的椭圆的中心，求的取值范围. 17．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ 培优题型1直线与双曲线相交的弦长 18．已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 19．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 20．双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 21．已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 22．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 23．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 24．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值.   25．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 26．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 27．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 培优题型2双曲线的通径问题 28．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 29．已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 31．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．   32．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 33．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（        ） A．条 B．条 C．条 D．条 34．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 A． B． C． D． 36．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ． 37．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 38．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 39．过双曲线的两焦点且与轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 . 40．已知双曲线的右焦点F，过点F的直线交双曲线C于A，B两点，当直线垂直于x轴时，，求此双曲线的离心率． 培优题型3双曲线的中点弦与点差法 41．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 42．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6   43．过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 44．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 45．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 46．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 48．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 . 49．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 50．(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 51．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 52．已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 53．已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为． (1)求双曲线方程； (2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 培优题型4双曲线的综合应用 54．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 55．已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 56．已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 57．已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 58．已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 59．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 60．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 61．记双曲线的右焦点为，过点且斜率存在的直线与的右支交于，两点． (1)求斜率的取值范围； (2)若，求的斜率． 62．已知双曲线过点且离心率为. (1)求双曲线C的方程. (2)在双曲线上是否存在点，使得点到的两条渐近线的距离之和等于若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 63．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 64．已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 65．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 66．已知双曲线过点且与双曲线：共渐近线，点在双曲线上（不包含顶点）. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线与坐标轴交于，两点，求直线，的斜率之积. 67．已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线、的斜率之和为定值. 68．已知双曲线（a＞0,b＞0）的离心率e=，直线过A（a，0），B（0，－b）两点，原点O到的距离是 （1）求双曲线的方程？ （2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若=－23，求直线m的方程？ 69．已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由． 70．已知双曲线的焦距为4，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：. 71．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 72．已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $