3.2.2双曲线的简单几何性质题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线的简单几何性质，系统梳理标准方程、焦点、范围、对称性、顶点、轴、离心率、渐近线等核心知识点，构建从性质理解到渐近线求法、等轴双曲线、焦点三角形应用的学习支架，层层递进助力知识内化。 该资料以知识点梳理与分层练习结合为特色，基础题型巩固离心率计算等性质理解，培优题型通过焦点三角形周长、夹角问题深化逻辑推理，如“已知渐近线求双曲线方程”培养模型意识，“焦点三角形面积计算”强化数学思维，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的能力。

3.2.2双曲线的简单几何性质 知识点1:双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 , , ,,的关系 范围 或 或 对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称 顶点 轴 实轴长, 虚轴长;实半轴长, 虚半轴长 离心率 e也越大,双曲线开口就越开阔.所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度. 渐近线方程 知识点2:双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程: 若双曲线方程为,则其渐近线方程为 已知双曲线方程,将双曲线方程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程. （2）已知渐近线方程求双曲线方程: 若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可. （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线: 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,,焦点在y轴上） 知识点3:等轴双曲线 在双曲线中,若,则双曲线的长轴和短轴相等,即等轴双曲线,故等轴双曲线可设为. 等轴双曲线的性质有: （1）离心率:等轴双曲线的离心率为:; （2）渐近线:①等轴双曲线的渐近线为:,故等轴双曲线的渐近线互相垂直,且斜率分别为45°和135°. 知识点4:焦点三角形面积的求法 方法1:结合余弦定理 ①根据双曲线的定义求出; ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出的值,通过余弦定理可得; ④利用公式求得面积. 方法2:利用公式求得面积; 方法3:若双曲线中焦点三角形的顶角,则面积,结论适用于选择或填空题. 知识点5:点到焦点的距离的有界性 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为（,动点在右端点取得最小值.双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在左端点取得最小值. 基础题型1双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．12 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 4．已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 5．下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 6．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 8．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 9．已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 10．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（    ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 11．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 12．已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 13．双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C．双曲线与C的渐近线相同 D．双曲线与C的焦点相同 14．已知双曲线的方程为（，），则随着m的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 15．双曲线与椭圆有相同的焦点，则双曲线的焦点坐标为 ． 16．过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 . 17．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 18．已知双曲线，则双曲线的焦距为 ． 19．分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 20．已知,则双曲线与的    （ 　  ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 21．双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 基础题型2求双曲线的标准方程 22．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 23．（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 24．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 25．（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 26．（1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 27．（1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 28．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 29．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程． （2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程； 培优题型1求双曲线的标准方程 30．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 31．若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 32．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 33．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 34．已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 35．已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D．   36．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 37．设分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 38．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 40．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线方程和渐近线方程分别为 ． 41．已知双曲线 的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 . 42．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为 . 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 培优题型2焦点三角形的周长问题 44．若F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长为 A． B． C． D．或 45．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（   ） A．2 B． C． D．8 47．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 48．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 49．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 50．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为 . 51．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 52．已知双曲线 ，的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 53．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 54．设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 . 55．设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 培优题型3焦点三角形的夹角问题 56．已知直线双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左支交于点．设双曲线的左焦点为，若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 57．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 59．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 60．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 61．设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 62．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 63．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 64．已知点为双曲线上任一点，为双曲线的两焦点，求证双曲线在点处的切线与的平分线重合． 培优题型4求焦点三角形面积 65．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 66．已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 67．双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 68．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 69．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 70．已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（   ）. A． B． C． D．2 71．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点， ，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 72．已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（    ） A． B． C． D． 73．若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 74．设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 75．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ．   76．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 77．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 知识点1:双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 , , ,,的关系 范围 或 或 对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称 顶点 轴 实轴长, 虚轴长;实半轴长, 虚半轴长 离心率 e也越大,双曲线开口就越开阔.所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度. 渐近线方程 知识点2:双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程: 若双曲线方程为,则其渐近线方程为 已知双曲线方程,将双曲线方程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程. （2）已知渐近线方程求双曲线方程: 若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可. （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线: 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,,焦点在y轴上） 知识点3:等轴双曲线 在双曲线中,若,则双曲线的长轴和短轴相等,即等轴双曲线,故等轴双曲线可设为. 等轴双曲线的性质有: （1）离心率:等轴双曲线的离心率为:; （2）渐近线:①等轴双曲线的渐近线为:,故等轴双曲线的渐近线互相垂直,且斜率分别为45°和135°. 知识点4:焦点三角形面积的求法 方法1:结合余弦定理 ①根据双曲线的定义求出; ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出的值,通过余弦定理可得; ④利用公式求得面积. 方法2:利用公式求得面积; 方法3:若双曲线中焦点三角形的顶角,则面积,结论适用于选择或填空题. 知识点5:点到焦点的距离的有界性 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为（,动点在右端点取得最小值.双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在左端点取得最小值. 基础题型1双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由已知条件及椭圆与双曲线的基本量的关系，得，然后利用基本不等式中“1”的妙用求出最小值． 【详解】椭圆中，则， 所以椭圆的焦点分别为与， 则与也是双曲线的两个焦点，因此， 于是有， 当且仅当且，即时取等号， 因此的最小值为9. 故选：C. 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过椭圆和双曲线有共同的焦点，就是让它们的相等进而得到的关系，再代入到直线方程即可求出答案. 【详解】椭圆与双曲线有共同的焦点， 椭圆的焦点在轴上，即，， 直线可化为，即， 令，解得，直线必过定点. 故选：. 3．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 4．已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】首先根据双曲线的标准方程，判断焦点在轴上，且，，，然后根据渐近线公式，判断选项；根据离心率公式，判断选项；根据顶点坐标公式，判断选项；根据焦点坐标公式，判断选项. 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 5．下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 【答案】B 【分析】求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论. 【详解】对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：B. 6．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解. 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 7．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BC 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 8．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 9．已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 【答案】CD 【分析】根据双曲线的标准方程，表示出，求得焦距、顶点坐标、离心率以及渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，， 则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为. 故选：CD. 10．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（    ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 【答案】BD 【解析】将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断是否因改变而变化，即可得解. 【详解】整理双曲线方程可得， 该双曲线焦距为：， 离心率为：， 顶点坐标为和， 渐近线方程为， 不因改变而变化的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 11．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 【答案】AD 【分析】依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标； 【详解】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为， 所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以， 所以双曲线方程为， 所以离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、， 显然直线过点； 故选：AD 12．已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 13．双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C．双曲线与C的渐近线相同 D．双曲线与C的焦点相同 【答案】ACD 【分析】A直接法求离心率；B由双曲线方程写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离；C根据渐近线方程即可判断；D根据双曲线方程确定焦点的位置即可. 【详解】A：因为，，所以，则离心率为，正确； B：因为，一条渐近线为，所以到渐近线的距离，错误； C：它们的渐近线都是，渐近线相同，正确； D：对于双曲线有，双曲线，即与C的焦点都在x轴上，又，所以双曲线与C的焦点相同，正确． 故选：ACD． 14．已知双曲线的方程为（，），则随着m的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【答案】ACD 【分析】将方程化为标准式，分和两种情况讨论，求，进而可得顶点坐标、焦距、渐近线方程以及离心率. 【详解】将双曲线方程化为标准式可得． 当时，双曲线表示焦点在x轴上的双曲线，且，，， 此时顶点坐标为，渐近线方程为，焦距，离心率； 当时，双曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且，，， 此时顶点坐标为，渐近线方程为，焦距，离心率． 综上可得：随着m的变化而变化的是顶点坐标、焦距和离心率，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 15．双曲线与椭圆有相同的焦点，则双曲线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，从而求出椭圆的焦点坐标，由于双曲线与椭圆有相同的焦点，进而得到双曲线的焦点坐标. 【详解】已知椭圆的方程为，化简得：， 在椭圆中，，，则， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的焦点坐标为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点坐标也为. 故答案为： 16．过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】先确定椭圆与双曲线的焦点，再利用待定系数法求椭圆方程. 【详解】因为双曲线的焦点坐标为. 设椭圆方程为， 则： . 所以所求椭圆的标准方程为：. 故答案为： 17．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 18．已知双曲线，则双曲线的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得与，进而可得焦距. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为， 由双曲线方程可知，， 则， 所以， 即双曲线的焦距为， 故答案为：. 19．分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先将双曲线方程化为标准方程，再根据双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程的定义分别求解即可； （2）根据双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程的定义分别求解即可. 【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程得， 则，故， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为； （2）由，得， 则， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为. 20．已知,则双曲线与的    （ 　  ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】D 【详解】试题分析：因为，双曲线中，，；中，，所以，两双曲线离心率相同，选D． 考点：双曲线的几何性质 点评：简单题，双曲线中a,b,c,e的关系，是常常考查的知识点． 21．双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化双曲线的方程为，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 基础题型2求双曲线的标准方程 22．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为： 23．（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆方程为（，根据椭圆所过的点列方程组求出即可得解； （2）由题意设双曲线方程为，再根据所过的点求出即可得解. 【详解】（1）设椭圆方程为（， 则，解得，∴椭圆方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 24．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 25．（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可. 【详解】（1）因为到其焦点的距离为5， 根据定义，到准线距离也为5，如图：    抛物线的准线方程为，故，则抛物线方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，如图：    所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 26．（1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设出与双曲线共焦点的双曲线方程，将点代入即可求出答案； （2）分焦点在轴和轴两种情况设出椭圆的标准方程，将点代入，再根据离心率的公式建立方程，求解即可. 【详解】（1）设双曲线C的标准方程为（）， 将点的坐标代入方程，解得或（舍去）， ∴双曲线的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为； 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 则，所以，， 即椭圆方程为； 故所求椭圆的标准方程为或. 27．（1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 【答案】（1）.（2）双曲线的实轴长为，焦点坐标，，离心率为，渐近线为. 【分析】（1）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，代入方程即得双曲线方程； （2）由双曲线标准方程可得，根据双曲线的性质得到实轴长、焦点坐标、离心率与渐近线方程. 【详解】（1）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为． （2）由得，，， 故双曲线的实轴长为，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为. 28．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【详解】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 29．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程． （2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程； 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或． 【详解】试题分析：（1）设椭圆方程为，代入点，求出的值，即可得到椭圆标准方程； （2）设双曲线的方程为，由其焦距为求出出的值，即可得到双曲线的标准方程． 试题解析：（1）设椭圆方程，由在椭圆上得 则椭圆方程为 （2）设双曲线 双曲线的方程为或 考点：1、椭圆的标准方程；2、双曲线的标准方程． 培优题型1求双曲线的标准方程 30．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意可知双曲线的焦点在轴上，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解渐近线方程. 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 31．若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 32．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率公式得，再利用渐近线公式即可得到答案. 【详解】由双曲线的离心率为2，得，解得， 而双曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B． 33．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【详解】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 34．已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质可得方程，解得的值，即可得解. 【详解】因为双曲线（，）的上焦点为， 所以，渐近线方程为，则， 因为，所以，解得，即，可知， 则该双曲线实半轴长为 故选：B. 35．已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意及双曲线的性质，可得渐近线的倾斜角为，代入方程，即可得答案. 【详解】设双曲线的左焦点为，原点为，线段与的另一条渐近线交于点， 则由题意可得 所以， 所以双曲线的渐近线的斜率为， 则双曲线的渐近线方程为.    故选：B. 36．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程. 【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 故选：D 37．设分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到，再根据，即可求解双曲线渐近线的斜率. 【详解】作于点，如图所示，    因为，所以为的中点， 由双曲线的定义知|，所以， 故，因为，所以， 即，得，所以，得， 故双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B 38．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由 ， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】先通过双曲线的定义建立与的关系，再利用三角形的正余弦定理将“角”与“双曲线参数”关联，最终解出渐近线的斜率. 【详解】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 40．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线方程和渐近线方程分别为 ． 【答案】， 【分析】由等轴双曲线得到，由焦点是得到焦点在轴上和，利用计算出的值，从而得到双曲线的方程和渐近线方程. 【详解】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是， 则有，，且焦点在轴上，又，即，解得， 故双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为. 故答案为：，. 41．已知双曲线 的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程得，结合离心率可求得，进而得到焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线方程知，焦点在轴上，且， 又，则，， 所以双曲线的一条渐近线方程为，即：. 其中一个焦点为， 则焦点F到渐近线的距离. 故答案为：. 42．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直得到直线的斜率为，根据中位线平行得到，确定，得到渐近线方程. 【详解】根据对称性，不妨设与渐近线垂直，则直线的斜率为， 为的中点，为中点，，则，即， 整理得到，故渐近线方程为. 故答案为：. 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求. 【详解】由可得， 由于关于原点对称，,关于原点对称， 所以四边形为矩形，故， 由于又， 所以，因此， 故，进而可得， 所以渐近线方程为： 故答案为：    培优题型2焦点三角形的周长问题 44．若F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长为 A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由是等腰三角形，可得或，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线可化为标准方程，所以，，． 因为点P在该双曲线上，且是等腰三角形， 所以或． 不妨设点P在双曲线的右支上． 当时，根据双曲线的定义有， 所以的周长为； 同理当时，的周长为．故选D． 【点睛】本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题. 45．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 46．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（   ） A．2 B． C． D．8 【答案】B 【分析】设在轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，结合题意可得，求解即可. 【详解】由题知，双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点，准线方程为． 由，得A，B两点坐标为，， 所以 ． 因为的周长为8，所以，解得，故A，C，D错误. 故选：B. 47．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据的周长为16得的周长，然后结合双曲线的定义及通径长得，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】如图：，则∽，    由的周长为16，所以的周长为32， 因为是双曲线的通径，所以， 因为，，， 可得，则， 所以，由可得． 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 48．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解. 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 49．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 50．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为 . 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义求的周长. 【详解】如图， 由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 . 所以的周长为12． 故答案为：12 51．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 52．已知双曲线 ，的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线定义，再结合双曲线性质，即双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长，从而可得到不等式求离心率范围. 【详解】 由双曲线定义可得： 所以两式相加得：， 又由的周长为得， 上两式相减得：， 再根据双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长， 所以有， 又因为双曲线离心率，所以该双曲线离心率的取值范围是. 故答案为： 53．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【答案】 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 54．设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 . 【答案】22 【分析】根据双曲线方程可求得，结合双曲线定义以及可求得，即可得答案. 【详解】由题意知，， 又， ∴，， 故的周长为， 故答案为：22 55．设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【答案】 22 【分析】根据给定的双曲线方程，结合双曲线定义、余弦定理求解作答. 【详解】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则， 显然，又，解得， 所以的周长等于， . 故答案为：22； 培优题型3焦点三角形的夹角问题 56．已知直线双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左支交于点．设双曲线的左焦点为，若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用直角三角形的性质结合双曲线的定义可建立的关系，进而求得离心率. 【详解】由得直线的斜率为，倾斜角为 因为直线过，则, 由题意得，由双曲线定义得， 若，如下图，由直角三角形性质得，， 故，化简得， 则， 若，如下图，由直角三角形性质得， 故，则. 故选：AC. 57．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量关系，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，所以，    即，且， 所以，解得， 所以在△中，由余弦定理可得， 即，即，解得. 故选：C. 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 59．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 60．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，， 设，则，，， ，根据对称性知四边形为矩形， 中：，即，解得； 中：，即，故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 61．设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 62．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 63．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义表示出，，即可得到，再由余弦定理计算可得. 【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点， 且，，， 则，，， 所以， 可得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 64．已知点为双曲线上任一点，为双曲线的两焦点，求证双曲线在点处的切线与的平分线重合． 【答案】证明见解析 【分析】设出双曲线方程，利用双曲线上某点的切线方程计算出切线与轴的交点坐标，再利用焦半径公式与角平分线判定定理证明. 【详解】设双曲线方程为，双曲线上一点， 双曲线在点处的切线方程为，当时，， 根据焦半径公式，， ，，， 故根据角平分线判定定理可得直线是的平分线． 培优题型4求焦点三角形面积 65．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 66．已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【详解】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 67．双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到方程，再联立渐近线解出点坐标，然后由两点间距离公式求出，最后计算面积即可. 【详解】渐近线方程为， 方程为，与渐近线联立， 得，； 点到的距离 所以平行四边形OAPB的面积. 故选：A. 68．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 69．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用内切圆的性质结合面积公式计算，再应用双曲线定义转化为得出渐近线方程即可. 【详解】如图，设圆I的半径为r，由，得， 化简可得，即，得，即C的渐近线方程为. 故选：C. 70．已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（   ）. A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，由题意求出，得出，化简后利用基本不等式求出最值，即可得出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设，如图， 则过点P作两条渐近线的平行线分别为， 令，可得， 所以，， 由，代入得， 当且仅当，即时等号成立， 此时，，所以. 故选：A 71．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点， ，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 72．已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求解可得双曲线方程. 【详解】由题意知，解得，则双曲线方程为. 故选：B. 73．若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】设点，根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积. 【详解】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则， 设点，则，解得， 所以的面积值为. 故选：A. 74．设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，由余弦定理可知， 所以的面积等于. 故选：D 75．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，用距离公式表示条件，联立圆的方程与双曲线的方程，得到，的面积最大即求的最大值. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立如图8所示的平面直角坐标系， 则的面积只与点的纵坐标有关．    设的长为，则点既在以为圆心，为半径的圆上， 又在以为焦点，实轴长为的双曲线右支上， 联立圆与双曲线的方程有 两式相减并整理得． 当且仅当时取到等号，所以． 故答案为：. 76．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 77．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $