3.2.1双曲线定义与方程题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“求双曲线的轨迹方程”核心知识点，系统梳理双曲线定义（含常数约束条件的五种情况）、标准方程推导（类比椭圆推导过程）及方程对比，构建从概念辨析到方程应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础过关与能力提升），结合定义辨析题（如集合P的轨迹判断）、轨迹应用题（如动圆外切问题），培养学生的数学思维与模型观念，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

3.2.1求双曲线的轨迹方程 知识点1:双曲线的定义 （1）双曲线定义:在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非 零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）双曲线定义的集合语言表示: 注意: （1）双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; （2）若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:（）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若（）,则轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; （3）若常数满足约束条件: ,则轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）; （4）若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; （5）若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 知识点2:双曲线标准方程的推导 （1）建立适当的直角坐标系 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系. （2）根据定义建立等式关系 设为双曲线上任意一点,双曲线焦距是 （）,那么、的坐标分别是、. 由定义可知,双曲线就是集合: . ∵, ∴ （3）化简方程 将这个方程移项,两边平方得: 化简得: 两边再平方,整理得: （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由双曲线定义,即c＞a,所以. 设,代入上式得: 即,其中. 知识点3:双曲线的标准方程对比 定义 图形 标准方程 焦点 ,,的关系 知识点4:双曲线的标准方程的理解 （1）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. 注意:（1）判断焦点位置的方法是:看、的系数,如果项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果项的系数是正的,那么焦点在y轴上. （2）对于双曲线,不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. 知识点5:求双曲线标准方程的方法 （1）定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能. （2）设方程:根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,可设为. （3）寻关系:根据已知关系列出的方程组. （4）得方程:解方程组,将代入所设方程即得所求. 注意:与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为 基础题型1双曲线的定义与方程 1．（2026高三·全国·专题练习）其数学表达式：集合，，其中为常数且，.若 ，则集合P为双曲线；若，则集合P为 ；若 ，则集合P为空集． 【答案】 两条射线 【分析】略 【详解】略 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点Q,可知，结合双曲线定义可知，再利用三角形中位线可知，可知为圆的方程. 【详解】不妨假设在双曲线左侧， 延长交于点Q，因为,, 由双曲线定义可知：,可知, 又因为为的中点，为的中点，所以为中位线， 所以，的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 所以的轨迹方程为： 故选：A 3．（25-26高二上·吉林·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 4．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 【答案】B 【分析】由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ） A．1 B．13 C．1或13 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由双曲线，可得， 所以，所以， 因为点P在双曲线C上，，又因为， 所以，解得或， ①当在下支时，， ②当在上支时，， 综上所述：， 所以. 故选：B. 6．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 7．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题意得，得. 故选：D 8．（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．9 D．14 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，设点到另一个焦点的距离为， 所以，得或（舍）. 故选：D 10．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（    ） A．4 B．7 C． D．11 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义列式求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，即， 解得或（舍去）. 故选：D 11．（25-26高二上·江西南昌·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 【答案】9 【分析】根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【详解】由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9 12．（25-26高二上·吉林·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ． 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由题可得，，则，故， 因为在双曲线上，所以，即或， 又，所以. 故答案为：6. 基础题型2双曲线标准方程的理解 13．（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 15．（25-26高二上·陕西渭南·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义列式计算即可得. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 16．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线方程的特征，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 17．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分不必要条件的定义进行判断. 【详解】方程表示双曲线等价于，解得或， 所以“” 是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A 18．（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 19．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果. 【详解】方程表示双曲线，，解得：或， 即的取值范围为. 故选：B. 20．（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】方程表示双曲线，需满足，据此推出m满足的范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法即可分析出正确选项． 【详解】方程，若表示为双曲线，则需满足，也即， 充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件； 必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件； 综上，“”是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件． 故选：B． 21．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知，计算求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即， 故答案为：． 22．（25-26高二上·新疆喀什·月考）若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若曲线表示双曲线， 则，解得或， 的取值范围是. 故答案为：. 23．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 24．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则 ． 【答案】 【分析】先根据焦距求出，再利用双曲线方程求出，最后利用双曲线的性质列方程求解． 【详解】双曲线焦距为，， 又焦点在x轴上的双曲线方程为：， ， ， ，解得． 故答案为：． 25．（25-26高二上·北京·期中）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为 . 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 26．（25-26高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由焦点在轴上，得到，求解即可. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 基础题型3求双曲线的标准方程 27．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 28．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 29．（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 30．（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 31．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标，设双曲线方程，结合题意列式求解即可； （2）结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程． 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 32．（24-25高二上·山西晋中·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆焦点坐标，由离心率可得双曲线实半轴长，从而得方程； （2）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据虚轴长及离心率计算可得结果； （2）求得双曲线的焦点坐标，根据过的点坐标构造方程组解得结果； （3）设双曲线方程为，代入点可得结果. 【详解】（1）设所求双曲线的标准方程为或. 由题意知且， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为或. （2）双曲线的焦点为. 设所求双曲线的方程为， 则有,解得. 故所求双曲线的方程为. （3）设所求双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为， 即. 培优题型1双曲线中距离的最值转化 34．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 35．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 36．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】由已知及双曲线的参数关系列方程求得，根据双曲线的定义有且，应用基本不等式求最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，则，解得， 因为为双曲线左支上任意一点，所以，即，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故选：C 37．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 38．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以 ， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 39．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【详解】如下图示，，，， 所以，    由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为. 故选：D 40．（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 41．（20-21高二上·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 42．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 43．（24-25高一上·广东·月考）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 44．（25-26高三上·河南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 45．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以 ，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以 ， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以 ， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    46．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 47．（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设的左焦点为，根据双曲线的定义可得，即可得解. 【详解】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 故答案为： 48．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 培优题型5求双曲线的轨迹方程 49．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 50．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 51．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 52．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程. 【详解】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 53．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 54．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 55．（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【详解】解：由题意可得， 化简得． 故选：B 56．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程. 【详解】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 57．（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 58．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到为等腰三角形，从而，进而得到的轨迹是一条双曲线，求出，，从而得到轨迹方程. 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 59．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 60．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 61．（19-20高二上·上海杨浦·期末）一个动圆P与两个定圆，均内切，那么动圆P的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】首先设，圆的半径为，根据圆与圆，圆都内切，得到，从而得到的轨迹是双曲线的右支，再求轨迹方程即可. 【详解】设，圆的半径为， 因为圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， 因为圆与圆，圆都内切， 所以圆，，即. 所以的轨迹是双曲线的右支. 双曲线的中心为，，，所以， 所以的轨迹为方程为：. 故答案为：. 62．（2023高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 63．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .    【答案】 【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得，然后根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，. 由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.    ∵， ∴，即. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为， ∵，，∴. 故所求轨迹方程为. 故答案为： 64．（22-23高二上·辽宁本溪·月考）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设直线为，，由三点共线及三点共线，可得，又，代入即可求解 【详解】由题意知， 设直线为，， 由三点共线及三点共线， 得， 两式相乘化简，得， 又， 所以，即， 又，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 65．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 66．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【答案】(1)； (2)，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）. 【分析】（1）设出双曲线方程，利用给定条件求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，由可得，求得的坐标，再求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解. 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为， 由双曲线过点，得，由双曲线的离心率为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则，得，，点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是的轨迹方程为，， 所以的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）.    67．（21-22高二上·全国·课后作业）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【答案】. 【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：. 68．（22-23高二上·福建泉州·期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆． (1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义结合条件，即可得到结果； （2）根据题意，由双曲线的定义结合条件，即可得到结果. 【详解】（1）设动圆的半径为， ∵动圆与圆内切，与圆外切， ∴，且. 于是， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 从而， 所以. 故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以，， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1求双曲线的轨迹方程 知识点1:双曲线的定义 （1）双曲线定义:在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非 零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）双曲线定义的集合语言表示: 注意: （1）双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; （2）若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:（）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若（）,则轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; （3）若常数满足约束条件: ,则轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）; （4）若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; （5）若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 知识点2:双曲线标准方程的推导 （1）建立适当的直角坐标系 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系. （2）根据定义建立等式关系 设为双曲线上任意一点,双曲线焦距是 （）,那么、的坐标分别是、. 由定义可知,双曲线就是集合: . ∵, ∴ （3）化简方程 将这个方程移项,两边平方得: 化简得: 两边再平方,整理得: （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由双曲线定义,即c＞a,所以. 设,代入上式得: 即,其中. 知识点3:双曲线的标准方程对比 定义 图形 标准方程 焦点 ,,的关系 知识点4:双曲线的标准方程的理解 （1）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. 注意:（1）判断焦点位置的方法是:看、的系数,如果项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果项的系数是正的,那么焦点在y轴上. （2）对于双曲线,不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. 知识点5:求双曲线标准方程的方法 （1）定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能. （2）设方程:根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,可设为. （3）寻关系:根据已知关系列出的方程组. （4）得方程:解方程组,将代入所设方程即得所求. 注意:与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为 基础题型1双曲线的定义与方程 1．（2026高三·全国·专题练习）其数学表达式：集合，，其中为常数且，.若 ，则集合P为双曲线；若，则集合P为 ；若 ，则集合P为空集． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 4．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ） A．1 B．13 C．1或13 D．15 6．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 7．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．9 D．14 10．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（    ） A．4 B．7 C． D．11 11．（25-26高二上·江西南昌·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 12．（25-26高二上·吉林·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ． 基础题型2双曲线标准方程的理解 13．（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·陕西渭南·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 17．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 18．（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 22．（25-26高二上·新疆喀什·月考）若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为 ． 23．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ． 24．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则 ． 25．（25-26高二上·北京·期中）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为 . 26．（25-26高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 基础题型3求双曲线的标准方程 27．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 30．（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 31．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 32．（24-25高二上·山西晋中·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 培优题型1双曲线中距离的最值转化 34．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 35．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 36．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 37．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 39．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 40．（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 41．（20-21高二上·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 42．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 43．（24-25高一上·广东·月考）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 44．（25-26高三上·河南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 45．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 46．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 48．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 培优题型5求双曲线的轨迹方程 49．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 51．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 52．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 53．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 55．（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 58．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 59．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 60．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 61．（19-20高二上·上海杨浦·期末）一个动圆P与两个定圆，均内切，那么动圆P的圆心的轨迹方程是 . 62．（2023高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 63．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .    64．（22-23高二上·辽宁本溪·月考）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 65．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 66．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 67．（21-22高二上·全国·课后作业）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 68．（22-23高二上·福建泉州·期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆． (1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $