精品解析：安徽省 宣城市第六中学2025-2026学年上学期九年级数学第三月考试题

2025—2026学年第一学期九年级第三次限时训练 数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数字42500000用科学记数法可以表示为． 故选：C． 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 3. 如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 4. 函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. k为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象与x轴的交点问题．注意分情况讨论是解题的关键． 函数图象与x轴有交点，即方程有实数根，需考虑时函数为一次函数，恒有交点；时为二次函数，判别式，综合得． 【详解】解：∵函数的图象与x轴有交点， ∴ 方程有实数根。 当时，方程为， 解得，有交点； 当时，函数为二次函数， ∵图象与x轴有交点， ， 解得， 综上，． 故选：C． 5. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 6. 如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 8. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作的垂线，利用正方形性质及垂直关系，通过两次相似三角形的证明，推导出线段与正方形边长的比例，最后计算的值． 【详解】解：过点作于，设正方形边长为，，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，．， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即，得． ∵， ∴，又， ∴，且， ∴， ∴，即， 化简得，解得． 在中，． 故选：． 9. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造正方形，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明三角形相似、全等，确定点的运动轨迹（过且与夹角为的直线），再结合垂线段最短求的最小值． 【详解】解：取、的中点、，连接． ∵矩形中，，，点、是、的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． ∴， ∴，即点在过且与夹角为的直线上运动． 当时，最小． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 最终的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及垂线段最短，熟练掌握构造辅助图形确定点的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（每题5分，共20分） 10. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________． 【答案】3 【解析】 【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示， 则∠BO′D′=∠BOD， ∴tan∠BOD=tan∠BO′D′， 设每个小正方形的边长为a， 则O′B=，O′D′=，BD′=3a， 作BE⊥O′D′于点E， 则BE=， ∴O′E=， ∴tanBO′E=， ∴tan∠BOD=3. 考点：解直角三角形． 13. 已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为________． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是________． 【答案】 ①. 直线 ②. 且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）直接利用二次函数对称轴公式求解。 （2）构造，得到新二次函数，根据开口方向分和两种情况讨论，利用函数在区间上的单调性及最大值条件求解． 【详解】解：（1）二次函数中，对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）设， 当时，始终成立，等价于恒成立， 当时，． 分两种情况： 当时，二次函数开口向上， 时，， 若在范围内恒成立，则需满足在时，， 即， 解得， ； 当时，二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，z随x的增大而减小， 时，， 在范围内恒成立， 综上可知，a的取值范围是且． 故答案为：直线； 且． 三、解答题（第15-18题，每题8分，第19-20题，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算，掌握“、，以及、”是解题的关键． 【详解】原式． 15. 如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将补画完整； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，点O即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质（对应点连线过位似中心）及三角形面积的计算，熟练掌握位似图形的性质、利用网格计算图形面积是解题的关键． （1）位似中心是对应点连线的交点，因此连接、，交点即为位似中心； （2）根据位似性质，确定的对应点，连接、补全三角形； （3）利用网格，通过割补法或三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 故选：． 16. 观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 （1）第4个等式：________； （2）写出第2025个等式：________； （3）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）17 （2） （3） 解：猜想第n个等式为： 验证：左边 右边， ∵左边=右边 ∴猜想成立． 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索、完全平方公式的应用及整式的运算，熟练掌握从已知等式中提取规律并进行代数验证是解题的关键． （1）观察已知等式的计算结果，前三个结果依次是5、9、13，差值为4，按此规律计算第4个等式的结果． （2）先找出等式中左边底数的规律（第一个底数是奇数，为；第二个底数是自然数），再代入得到等式，最后计算结果． （3）根据前几题的规律写出第个等式，再通过整式运算验证左右两边相等． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； ； ∴故第个等式，． ∴第2025个等式为，即， 故答案为：． 【小问3详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，． （1）求m的值及反比例函数的表达式； （2）求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，求得，然后将点代入，求得，即可求解； （2）过点作轴，根据得到，求出或，根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， ， 把B点的坐标代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数以及相似三角形的有关性质． 18. 如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离是多少？（结果保留到．参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线间距离解决问题，线段垂直平分线的性质，其他问题（解直角三角形的应用）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】解：设平面镜上两个反射点为A、B， 过A作于C，过B作于D． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ∴． 对于的光线： ∴是等腰直角三角形（）． 在中，， 即， 解得：． 又∵垂直平分， ∴． 对于的光线： 在中，， 即， 解得：． 同理，垂直平分， ∴． ∴． 19. 已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2） 证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 20. 为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7 10 8 7 9 6 9 8 5 【整理数据】结果如表： 【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________． 【解决问题】回答下列问题： （1）请补全频数分布表和频数直方图； （2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 【答案】 [分析数据]7， [解决问题] （1）频数分布表为： 次数x分组 画记 频数 T 2 正 5 正 下 8 正 5 频数直方图为： （2） 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的定义、条形图的应用，熟练掌握从图中获得信息是解题的关键． 根据平均数和方差的定义，进行计算求解即可； （1）一共抽查学生总人数为人，据此进行计算求解即可； （2）先计算抽查人数中参加公益活动次数超过6次的人数所占百分比，再计算该校八年级全部学生参加公益活动次数超过6次的人数即可． 【详解】解：数据的平均数是：，； 方差是：， 因此数据的平均数是，方差是； （1）由题意得，“” 的频数为． （2）（人）， 答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为人． 21. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）当时，求函数图象顶点坐标； （2）当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； （3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）当时，点代入，求出，再根据顶点坐标公式即可得到答案； （2）点代入，得，得到对称轴，当时，；当时，，根据对称性，和时，y值相等，即可求解； （3）由题可得，得到，而时，，则时，，即，解不等式即可． 【小问1详解】 解：当时，则， ∴点代入，得， 解得：， ． ∴，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得：点代入，得：， ， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，． 根据对称性，和时，y值相等， ． 【小问3详解】 解：由（2）可知， ，对称轴为直线， ，则， ， ， ， 时，， 时，，即， 解得：． 22. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，． （1）求证：． （2）G为中点，交于点O，，垂足为H． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） ①证明：如图，连接， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ②证明：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 由上已证：， ∵， ∴， ∴，即， 由上已证：， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； ②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级第三次限时训练 数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. k为任意实数 5. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 6. 如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每题5分，共20分） 10. 分解因式：______． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________． 13. 已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为________． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是________． 三、解答题（第15-18题，每题8分，第19-20题，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分） 14. 计算：． 15. 如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将补画完整； （3）求的面积． 16. 观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 （1）第4个等式：________； （2）写出第2025个等式：________； （3）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，． （1）求m的值及反比例函数的表达式； （2）求点C的坐标． 18. 如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离是多少？（结果保留到．参考数据：，） 19. 已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求证：． 20. 为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7 10 8 7 9 6 9 8 5 【整理数据】结果如表： 【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________． 【解决问题】回答下列问题： （1）请补全频数分布表和频数直方图； （2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 21. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）当时，求函数图象顶点坐标； （2）当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； （3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 22. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，． （1）求证：． （2）G为中点，交于点O，，垂足为H． ①求证：； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $