精品解析：河南省平顶山市第十五中学校2025-2026学年上学期九年级数学月考卷

九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列三角函数的值为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数的判断． 通过计算各选项的三角函数值，判断是否为有理数即可． 【详解】解：A．，是无理数； B．，是无理数； C．，是有理数； D．，是无理数； 故选：C． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 直接利用正弦的定义求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，为斜边，为的对边， ∴． 故选：A． 3. 若双曲线（k是常数且）经过点，则该双曲线也经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；将点P代入求出k值，再验证各选项点是否满足方程． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得， ∴双曲线方程为． A．：，不满足； B．：，不满足； C．：，不满足； D．：，满足； ∴该双曲线也经过点D． 故选：D． 4. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造，则，解答即可． 本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 根据题意，构造， 则， 故选：B． 5. 若锐角满足，则锐角的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 6. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意； B. ，本选项错误，符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 8. 如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，变形计算即可． 本题考查了正切函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故， 故选：B． 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴,， 故A和B都是正确的，不符合题意； ∵抛物线的图象与x轴的交点在2和3之间， ∴， 故D正确，不符合题意； ∵时与抛物线的交点在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故C错误，符合题意； 故选：C． 10. 如图，正方形是的内接正方形，点分别是上的点，点是上的点，于点．若，则正方形的边长为（ ） A. 24 B. 23 C. 22 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，矩形的判定和性质，确定平行线，继而确定相似三角形，相似三角形的性质列比例式计算即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设与的交点为P， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数． 根据正弦的定义、余弦的定义作答即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：． 12. 如果在比例尺为的地图上，两地的图上距离是，那么两地的实际距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用． 根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺，由此可求出实际距离，再通过单位换算将厘米转换为千米． 【详解】解：设A、B两地的实际距离是x厘米， 比例尺为，图上距离为， 则， 解得， 由于， 因此实际距离为． 故答案为：． 13. 如图，在中，．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点D，连接，得到，根据，不妨设，则，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握这些定理和性质，三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线___________； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）对于二次函数 ，对称轴为直线．根据给定抛物线解析式，直接计算即可． （2）根据题意可得最小值在顶点处．根据最小值为，求出的值，可得到函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）抛物线 中，，， 对称轴为． 故答案为：． （2）∵抛物线开口向上，对称轴在内， ∴最小值在顶点处， 即当时，， ∵最小值为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 故答案为：7 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的锐角函数值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． （1）在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； （2）直接写出和的面积之比为___________． 【答案】（1） 根据题意，画图如下： 则即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似的基本作图，解答即可； （2）根据面积之比等于位似比的平方解答即可． 本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：面积之比等于位似比的平方， 和的面积之比为， 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当该二次函数的函数值为时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的表达式求解及函数值对应的自变量计算，解题关键是利用顶点式设出二次函数表达式，代入已知点求出参数，再代入函数值求解自变量． （1）设二次函数的顶点式，代入点求出，得到表达式． （2）将代入已求的二次函数表达式，解方程得的值． 【小问1详解】 二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 图象过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 【小问2详解】 令，代入表达式得， 整理得 解得或 的值为或． 18. 如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，，求tanC和BC的长. 【答案】tanC=；BC=56 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC；在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB=25，sinB=， ∴AD=AB·sinB =15， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2， ∴CD2=392-152，∴CD=36， ∴tanC==. 在Rt△ABD中，AB=25，AD=15， ∴由勾股定理得BD=20， ∴BC=BD+CD=56． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：） 【答案】米． 【解析】 【分析】过点N作于点D，过点M作于点F，，交的延长线于点G，根据题意，得， ，四边形是矩形，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，仰角的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点N作于点D，过点M作于点F，，交的延长线于点G， 根据题意，得， ，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 答：古塔的高度为米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴重合且，，过两点作直线交于点． （1）求和； （2）过，两点作直线，设，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得到，于是，根据勾股定理，得，后根据三角函数的定义解答即可． （2）过点D作于点G，根据，，得， 得到，，可以得到 ，根据勾股定理，得，利用正切定义解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数的应用，坐标与线段，熟练掌握性质与定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据，，得， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ． 【小问2详解】 解：过点D作于点G， 根据，，得， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 六、(本题满分12分） 21. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离BC． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解； 理解以及“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ， ，， ， ， 入射角约为， ． 【小问2详解】 解：，，， ∴， ， 作， ， 设，， 则， ， 解得：， ，又， ， 答：光斑移动的距离是． 七、（本题满分12分） 八、（本题满分14分） 22. 如图1，抛物线与轴相交于两点（点位于原点左侧，点位于原点右侧），与轴交于点，连接，，已知． （1）求该二次函数的表达式； （2）点是抛物线上一点． ①如图2，连接，．若，求点的坐标； ②如图3，若点是直线下方抛物线上一点，过点作轴交轴于点，交于点，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2）或② 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，，继而得到，，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解得，解答即可． （2）①设，得，得到，结合，得， 解得或，后代入解析式解答即可； ②设直线的解析式为，确定直线的解析式为：．设，则， 则， 构造二次函数，解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，正切函数的应用，构造二次函数求三角形的面积的最值，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴，， ∵点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上 ∴，， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ①解：设， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得或， 当时， ，此时； 当时， ，此时； 故点的坐标为或． ②解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列三角函数的值为有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线（k是常数且）经过点，则该双曲线也经过点（ ） A. B. C. D. 4. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若锐角满足，则锐角的度数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形是的内接正方形，点分别是上的点，点是上的点，于点．若，则正方形的边长为（ ） A. 24 B. 23 C. 22 D. 21 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，则的值为___________． 12. 如果在比例尺为的地图上，两地的图上距离是，那么两地的实际距离是___________． 13. 如图，在中，．若，，则___________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线___________； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． （1）在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； （2）直接写出和的面积之比为___________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当该二次函数的函数值为时，求的值． 18. 如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，，求tanC和BC的长. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：） 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴重合且，，过两点作直线交于点． （1）求和； （2）过，两点作直线，设，求的值． 六、(本题满分12分） 21. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离BC． （参考数据：，，） 七、（本题满分12分） 八、（本题满分14分） 22. 如图1，抛物线与轴相交于两点（点位于原点左侧，点位于原点右侧），与轴交于点，连接，，已知． （1）求该二次函数的表达式； （2）点是抛物线上一点． ①如图2，连接，．若，求点的坐标； ②如图3，若点是直线下方抛物线上一点，过点作轴交轴于点，交于点，连接，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $