精品解析：甘肃省陇南市西和县部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年西和高三上学期12月联考 （数学）试卷 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式和对数不等式的解法确定，再结合交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 设，其中 是实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，因为，可得，解得， 所以，则. 故选：B. 3. 某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100名男员工的体重的中位数大于 B. 这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C. 这100名男员工的体重的极差介于至之间 D. 这100名男员工的体重的平均值介于至之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据结合中位数、频率、极差、平均值逐项分析即可得结论. 【详解】若将体重从低到高排，用表示， 则，，当时，中位数是65.5，故A错误； 100名男员工中，体重不低于的有18人，占比18%，故B错误； 极差，故C错误； 每组员工体重都取最低值时，平均值为， 每组员工体重都取最高时，平均值低于，故D正确. 故选：D. 4. 从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析的取值范围，从而求解． 【详解】，底数， 对数函数单调递减， 又，， ，底数， 指数函数单调递增， 又，， ，底数， 指数函数单调递减， 又，． ， 故选：C． 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出 的值，再结合二倍角公式化简函数，最后通过换元法分析函数求最值． 【详解】的最小正周期为，， ， 又，， ， 令，则，，函数开口向下，对称轴， 函数最大值为：． 故选：D． 7. 已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数 在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，由，解得 又因为，所以， 所以，因为函数 在区间上是增函数， 所以当时，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 8. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求导，结合选项，分，和，利用极小值点的定义求解. 【详解】由求导，得． 当时，函数与的图象有一个交点，横坐标可设为，如图： 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 此时函数在处取极小值． 因为过原点的直线与曲线相切，且切点为 ， 所以当时，，此时单调递增，无极小值点． 当时，函数与的图象有两个交点，横坐标可设为，且，如图： 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 此时函数在处取极小值，且． 综上所述，时，函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且为充要条件． 故选：A 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 记等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据列式求，即可判断A；求，进而判断BCD. 【详解】由题意可得：，解得，故A正确； 因为，， 所以，故D正确； 且，，故BC错误. 故选：AD 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 是的极大值点 B. 是的极小值点 C. 恰有两个零点 D. 当，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系，可求得函数的单调区间，根据函数极值点与最值的相关概念，可得答案. 【详解】当时，， 令，解得或，则函数在和上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 当时，，则函数在上单调递增. 综上易知：函数在和上单调递增，在上单调递减. 由函数在上单调递增，则 不是函数的极值点，故A错误； 由函数在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，故B正确； 当时，令，解得或， 当时，令，解得（舍去）， 则函数恰有两个零点为与，故C正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 所以当时，若，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知椭圆 ，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的取值范围为 C. D. 若点为上的动点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用椭圆离心率公式求解即可；对于B，根据两点间的距离公式以及点到直线的距离公式分别求出和三角形的高，利用三角形面积公式集合的范围即可求解；对于C，利用两点间的斜率公式，结合点在椭圆上，化简即可求解；对于D，由椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，可得，从而将问题转化为求的最大值. 【详解】由题可得： ,,设，根据对称性可得, 对于A，，所以椭圆的离心率为,故A正确； 对于B，到直线的距离, ， 所以， 因为，则面积的取值范围为，故B正确； 对于C，设 ，则 ， ， 由于， 所以，故C错误； 对于D，由题意可得椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，所以，则， 所以，当在椭圆左顶点时，，所以的最大值为8，故D正确； 故选：ABD 三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而 ， 所以曲线在处的切线方程为 . 故答案为： 13. 已知实数 满足 ，若，且，则 _____. 【答案】3 【解析】 【分析】由对数的运算求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴，∴， 故答案为：3 14. 山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出至少选到1个芝麻馅汤圆的事件A及所求概率的事件含有的基本事件数，再利用条件概率公式求解. 【详解】设事件A：至少选到1个芝麻馅汤圆，事件B：4个汤圆中恰有3种不同馅料， 事件A含有的基本事件数为， 事件含有的基本事件数为， 所以4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率. 故答案为： 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于60的频率，从而得分数小于60的概率； （2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知， 样本中分数小于60的频率为， 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4. 【小问2详解】 由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为， 所以样本中分数不小于60的男生人数为， 因为样本中有一半男生的分数不小于60， 所以样本中男生为120人，女生为， 所以样本中男生和女生人数的比例为， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为 . 16. 设数列的前项和.数列是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值. 【答案】（1）； （2）11. 【解析】 【分析】（1）由的关系可解得数列的通项公式，然后由等比数列的性质可求出的通项； （2）先用错位相减法求出，再令，求出其单调性后可解. 【小问1详解】 因为，所以由得，所以， 所以， 时，， 又 时，，所以的通项公式为； 设的公比为， 因为，所以， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以的前项和， 所以， 所以 ， 所以. 由得，令，则，所以， 因为，所以， 所以满足的最小的的值为11. 17. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 【答案】（1）甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；（2）答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可； （2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是． ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ． 设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 ． （2）由（1），知，， ，，．所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强． 18. 已知函数 ． （1）当时，求函数 在处的切线方程； （2）若 在 上恰有2个零点，求m的取值范围； （3）若 ，是的极值点，求证： ． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为 ，所以 ． 因为是的极值点，所以 ． 要证 ，即证． 因为 ． 令 ，则 ，由 解得， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即得证， 故 ． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）依题意，将 在 上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在 上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围. （3）对求导，根据题设可得 ，由代入化简并放缩得到 ，令 ，求导判断其单调性，得到，即得，则 得证. 【小问1详解】 当时， ，则 ， ，则 ， 所以 在处的切线方程为 ，即． 【小问2详解】 因为 在上恰有2个零点，所以 在上恰有2个解． 当 时，在上单调递增，不符合题意，故， 所以在上恰有2个解， 故可得与的图象有2个不同的交点． 令，则， 所以当时， ，可得 ； 当时，，可得 ， 所以函数 在上单调递增，在上单调递减， 因为， 作出 的大致图象如图所示． 由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点 等价于，解得， 即实数m的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； （3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得的最大值为，所以.根据离心率及，求得，进而得到椭圆的方程. （2）设的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得坐标间的关系，结合椭圆的对称性，求得直线所过定点；或由三点共线用A,B坐标表示直线的方程，结合椭圆的对称性及椭圆的方程求得直线所过定点. （3）设点的坐标，根据点在曲线上，表示斜率；将点的坐标代入椭圆方程，利用点差法表示斜率，根据所给参考公式求得的不等式，即可证明；或设中点坐标，利用已知条件，结合所给的指数均值不等式，得到与中点坐标的关系，根据中点在椭圆内，求得的取值范围，从而证得不等式成立. 【小问1详解】 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，则． 因为，所以 ，所以 所以椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 解法1：设，则． 联立得， 所以所以． 由 ，得，即． 直线． 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令 ， 得， 所以直线BC过定点． 解法2：设，直线l与x轴的交点为，则． 由于A，B，T三点共线，则①． 直线． 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令 ，得． 由①，得，且， 所以， 所以，所以直线BC过定点． 【小问3详解】 解法1：设，则， 所以． 由指数平均不等式：，得， 所以． 又因为所以 由②，得，即； 由③，得，即， 所以，所以． 又因为，所以． 解法2：设，MN的中点，则， 所以． 由指数平均不等式：，得， 所以，所以． 又因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 因为在椭圆内，所以，所以， 所以，所以． 又因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年西和高三上学期12月联考 （数学）试卷 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中 是实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100名男员工的体重的中位数大于 B. 这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C. 这100名男员工的体重的极差介于至之间 D. 这100名男员工的体重的平均值介于至之间 4. 从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数 在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 记等差数列的公差为 ，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 是的极大值点 B. 是的极小值点 C. 恰有两个零点 D. 当，若，则 11. 已知椭圆 ，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的取值范围为 C. D. 若点为上的动点，则的最大值为8 三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 13. 已知实数 满足 ，若，且，则 _____. 14. 山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 16. 设数列的前项和.数列是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值. 17. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 18. 已知函数 ． （1）当时，求函数 在处的切线方程； （2）若 在 上恰有2个零点，求m的取值范围； （3）若 ，是的极值点，求证： ． 19. 已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； （3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $