专题2.1 平面向量在几何中的应用训练-2026届高三数学二轮复习

专题2.1 平面向量在几何中的应用 目录 类型一：平面向量中的三角不等式 1 类型二：平面向量中三角形的外接圆 2 类型三：平面向量中的射影问题 2 类型四：平面向量中的垂直关系 3 类型五：平面向量中隐含的圆 4 类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题 5 类型七：平面向量与平面几何 6 类型一：平面向量中的三角不等式 1．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在中，“为锐角”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 6．若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值． 类型二：平面向量中三角形的外接圆 1．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 类型三：平面向量中的射影问题 1．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型四：平面向量中的垂直关系 1．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 3．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 4．已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 5．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 7．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ． 8．已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是 ． 16．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 类型五：平面向量中隐含的圆 1．已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 2．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值为 ． 3．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 4．已知平面向量，，，，，，则的取值范围 ． 5．已知在中，，，是线段上的动点，且，求的取值范围． 6．已知，，，对给定的向量，设的最大值为，最小值为，对任意的向量，求的最小值. 7．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 8．已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 9．已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为 . 类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题 1．已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 3．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在轴上方,求的取值范围．    5．已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 15．已知，则的最大值为 ． 类型七：平面向量与平面几何 1．在中，，则的最大值是 ． 2．在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 平面向量在几何中的应用 目录 类型一：平面向量中的三角不等式 1 类型二：平面向量中三角形的外接圆 4 类型三：平面向量中的射影问题 6 类型四：平面向量中的垂直关系 7 类型五：平面向量中隐含的圆 14 类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题 15 类型七：平面向量与平面几何 22 类型一：平面向量中的三角不等式 1．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 2．在中，“为锐角”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的运算及充分必要条件的定义即可判断； 【详解】对于充分性，若为锐角，则， 所以，即，故充分性正确； 对于必要性，若，两边平方得，即， 所以，又因为是的内角，所以为锐角，故必要性也成立. 所以 “为锐角”是“”的充分必要条件. 故选：A 3．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及运算律，以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，则 所以，因此充分性成立. 若，则， 即，即， 从而，即，因此必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的概念依次判断即可得到结果. 【详解】设，则， 若，则， 即， 所以，，充分性成立； 若0，则，又， 所以， 即，必要性成立． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C． 5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解. 【详解】由题意，令，，所以，， 所以，由向量加法、减法的几何意义可得， 所以， 所以，当且仅当，且时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 6．若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果。 【详解】先求最大值． 解法1：由题意知， 则，从而，所以． 平方得，所以． 解法2：如图，易知， 在中，有，得． 再求最小值． 易得， 则，从而，所以． 平方得，所以． 综上知的最大值为，最小值为． 类型二：平面向量中三角形的外接圆 1．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算、共线向量基本定理及圆的性质推理计算即得. 【详解】当与不共线时，如图设AC中点为D，由， 因，则B，O，D三点共线，由圆的性质知， 故. 当与共线时，由和可得, 但此时是圆的直径，则,与题设不符. 综上，可得. 故选：B 2．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据已知画出示意图，利用向量数量积的运算律有，再应用数量积的定义、数形结合求最值. 【详解】如图所示，因为为的外接圆圆心，，， 所以，且， 所以， 所以当反向共线时，取到最大值. 故选：D 类型三：平面向量中的射影问题 1．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 类型四：平面向量中的垂直关系 1．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 2．设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量模的几何意义以及向量运算的几何意义，数形结形即可求解. 【详解】． 如图，设，，， 则点在直线上移动，且． 因为， 即， 所以是的最小值，故，即. 故选：D. 3．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 取中点为，如图， 则， 此时. 所以的最小值为7. 故答案为：7 4．已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先由向量线性运算法则得、、所在有向线段构成等边三角形，再作图数形结合即可求解. 【详解】因为， 由向量线性运算法则可得、、所在有向线段构成等边三角形，如图， 设，，，则为等边三角形， 取D为AB的中点，则方向为的方向或反向，且， 因为，以C为起点，方向或反向作， 结合图象可知的最小值为． 故选：C 5．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 6．（多选题）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】方法一，由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 方法二，由题意设，取，将向量的模用三角函数表示即可求解. 【详解】方法一，由，得， 则当向量方向相同，且与方向相反时，有最小值，为； 当向量方向相同时，有最大值，为．A，B正确． 由，得，所以， 所以方向相同时，取最小值取最小值3； 当方向相反时，取最大值取最大值．C错误，D正确． 方法二，由题意，设， 则由得， 若取， 则， 若取，则 所以C错误，A，B，D正确． 故选：ABD. 7．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出，利用已知条件化简求出，代入，将其转化为求点到点，的距离之和的最小值，最后利用两点之间，线段最短的性质求最小值． 【详解】非零向量，的夹角为，且， ， ， ，即， 对任意的，恒有， ，即，则， ， 表示点到点，的距离之和， 取点关于x轴的对称点，则，如下图所示， 当点A，P，C共线时最小，最小值为， （）的最小值为． 故答案为：． 8．已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是 ． 【答案】12 【分析】首先由数形结合可得进而得到，再根据基本不等式即可求解. 【详解】因为对任意，都有，如图，由图可知， ，又，所以， 又， 所以，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是12． 故答案为：12    16．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直及数量积运算律得，令，，，则，，结合不等式恒成立及对应几何意义得，进而有，最后应用向量数量积的运算律得到关于的表达式求最值. 【详解】由题设，又，则， 令，，，则，， 由，即恒成立，数形结合易知， 所以，得， ，其对称轴为， 所以，则. 故答案为： 类型五：平面向量中隐含的圆 1．已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 【答案】 【分析】令，根据已知易得是边长为2的等边三角形，原点在以为直径的圆周上（不与重合），再由条件确定的位置，进而求即可得. 【详解】令， 由，所以是边长为2的等边三角形， 且，则原点在以为直径的圆周上（不与重合），为圆心，如下图示， 若，则， 所以要使最大，只需尽量小，且点在其轨迹的左上部， 所以，仅当与点轨迹左上部相切时最小，即如图中时，最小， 由，故. 故答案为： 2．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，因此两两夹角为，三角形为等边三角形，点是三角形的中心，所以建立直角坐标系，根据，得到的轨迹方程为圆，得到的坐标，进一步可得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以可得，, 所以，因此两两夹角为，， 所以即，同理， 故三角形为等边三角形，点是三角形的中心， 如图所示建立直角坐标系， 则, 设，因为动点满足，， 所以的轨迹方程为，且 所以，当且仅当时，有最大值为. 故答案为：. 3．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由条件设，，并令，，，则可得点在以为圆心、1为半径的圆上，并且，取，构造阿氏圆，利用三角形三边关系可得结果. 【详解】由于，不妨设，，且，，，其中为坐标原点， 又，则点在以为圆心、1为半径的圆上，设，则， ， 取，则 故, 则，当，，三点共线时取到最小值． 故答案为： 4．已知平面向量，，，，，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】设，，，求得，在线段的延长线上取点，使，在线段上取点，使，利用阿氏圆性质得到，结合图形推得，，从而将转化成，得到动点的轨迹为以，为焦点的椭圆，要求的范围，即是求椭圆在膨胀过程中的长轴长的范围问题，考虑两个临界位置求出的范围，即得答案. 【详解】如图，设，，，则，， 由可得，则. 在线段的延长线上取点，使，在线段上取点，使， 根据阿氏圆的性质有， 结合图形知，， 则， 因点，关于直线对称，故可将其理解为圆上的动点到两定点的距离之和， 设，， 因，则动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 要求的范围，即是求椭圆在膨胀过程中长轴长的范围问题. 由图知，椭圆先经过点，最后经过点. 设椭圆的短半轴长为，当椭圆经过点时，因，， 此时； 当椭圆经过点时，，，此时. 故的取值范围是，即的取值范围为. 故答案为： 5．已知在中，，，是线段上的动点，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：设的中点为，可得，再利用向量数量积的几何意义（向量的投影）即可求解的取值范围； 解法2：设，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的坐标运算求解. 【详解】解法1：如图，设的中点为，则， 因为， 又，所以，则， 由得， 因为，所以，其中， 即在上的投影为，结合图形对称性不妨设在线段上运动， 则要大于投影长度， 过作交于，所以， 则为的中点，由于， 所以 当与重合时，取最大值， 故．    解法2：设的中点为，因为， 又，所以，则， 设，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，    则，，设， 所以， ， 则． 因为，即 所以，因为，解得， 将代入可得， 又，则，所以． 6．已知，，，对给定的向量，设的最大值为，最小值为，对任意的向量，求的最小值. 【答案】 【分析】由题可知，构造图形知点在以为直径的圆上，然后分别求得，，最后计算即可. 【详解】由于，设, 所以向量构成底边长为1的等腰，即，如图.      由，可得，即知点在以为直径的圆上， 对任意给定的向量，，， 所以， 故所求最小值为. 7．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 8．已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 9．已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解. 【详解】如图： 令，，. 则，. 又，所以点在以为圆心，2为半径的圆上. 所以的最小值为：. 又，，所以当时，取得最小值为. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：A. 10．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题可得，根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题 1．已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 2．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，，，，，将题干翻译成对应点的轨迹，再根据平面几何知识即可求解. 【详解】如图：不妨设，，，，， 又，即， 也即动点到两定点的距离之和等于，故点的轨迹为线段， 又因，即，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 而， 当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立（即图中的或处）， 故要求的最大值，只需求的最大值，由图可知，当与或重合时最大， 此时，故的最大值为. 故选：D      3．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C    4．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在轴上方,求的取值范围．    【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得点的轨迹即可求解. 【详解】设，则，， ，． 将逆时针旋转，则， 则有即 所以点的轨迹方程为． 所以 ， 因为的范围是，所以的范围是， 所以的范围是，所以的取值范围是， 所以的范围是．      5．已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以．又， 所以，解得．因为， 所以． 建立如图所示的直角坐标系， 设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值， 故选：B． 6．已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】借助模长与数量积的关系结合根的判别式可得，设、、，再利用向量坐标运算可得，最后利用几何性质计算即可得. 【详解】由，则， 即有， 化简得， 则有， 即，则， 则，即， 可设，，， 则 ， 故， 设点、、， 则点在圆上， 又，， 则， ，即， 则，故圆与线段无交点， 则当点是以、为焦点的椭圆与圆相切的切点时，取最小， 由线段垂直平分线为，即， 该直线过原点，故点、关于对称，圆关于对称， 联立，解得或， 则当点为时，取最小， 此时， 故的最小值为.    故答案为：. 15．已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故答案为： 类型七：平面向量与平面几何 1．在中，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】延长AM至D，使得，连接，证明，由推得，设，则得，利用余弦定理得到，根据基本不等式求得，即得的最大值. 【详解】 如图所示，延长AM至D，使得，连接， 因，且，则可得， 于是，，则，因，则. 设，则，. 在中，由余弦定理，， 即，即， 因，则得，当且仅当时等号成立， 则得，解得， 即当时，取得最大值. 故答案为：. 2．在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $