24.3第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用 课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数的定义及关系应用，从直角三角形三边和锐角关系的旧知导入，通过自主探究30°、45°角的边比不变，结合相似三角形性质合作归纳定义，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接解直角三角形知识脉络。 其特色在于以推理意识驱动探究，从特殊角到任意锐角的边比规律，结合几何直观构造直角三角形解决菱形、四边形等问题，渗透模型意识。采用自主合作探究与分层范例，总结定义关键点，助力学生发展抽象能力与运算能力，也为教师提供结构化探究式教学素材。

第24章　解直角三角形 24.3　锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用 【学习目标】 1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定； 2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值； 3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐角一定，它的三角函数值就随之确定； 4．在学习合作交流中学会与人相处． 【学习重点】 已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值． 【学习难点】 区分锐角的三种三角函数． 情景导入 问题：在直角三角形中 1．三边的关系是什么？ 2．两锐角之间的关系是什么？ 自学互研 知识模块　锐角三角函数 (一)自主探究 a∶c＝____，b∶c＝____，a∶b＝____，b∶a＝____.当三角形的边变 1．在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝30°，如图1， 大或变小时，上述结论是否发生变化？ 2．如图2，在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝45°，a∶c＝____，b∶c＝____，a∶b＝____，b∶a＝____．当 3．当∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生变化时，这些比值是否变化？ 三角形的边发生变化时，上述比值是否发生变化？ 1 1 (二)合作探究 ∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生 归纳 变化时，这些比值不会发生变化，根据是相似三角形的性质． 因此，这几个比值都是∠A的函数，分别记做sinA、cosA、tanA，即在Rt△ABC中，∠C＝90°， 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数． 2．根据三角函数定义可以推出：sin2A＋cos2A＝1. 1.锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1. 结论 范例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15， BC＝8，试求出∠A的三个三角函数值． 仿例1 如图在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求 sinB、cosC、tanB的值． 解：过点A作AD⊥BC于D， 则∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AB＝AC，AD⊥BC， 在Rt△ABD中， 仿例2 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， EC＝1， 求菱形的周长． ∴设AE＝5x，AB＝13x， ∵EC＝1，菱形ABCD， ∴AB＝BC即12x＋1＝13x，∴x＝1， ∴AB＝13，∴菱形的周长为52. 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 一、 选择题 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， sin A ＝ .若将△ ABC 各边都扩大为原来 的5倍，则 sin A 的值为（　D　） A. B. C. 5 D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝13， BC ＝12，下列各式正确的是 （　C　） A. sin B ＝ B. cos A ＝ C. tan B ＝ D. cos B ＝ 3. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝2 BC ，则tan B 的值为（　D　） A. B. C. D. C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且tanα＝ ，则满足条件的 ∠α是（　A　） A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ☆已知在平面直角坐标系中，第一象限内射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角 为α，点 P 在射线 OA 上.如果 cos α＝ ，且 OP ＝5，那么点 P 的坐标 是（　B　） A. （3，4） B. （4，3） C. （3，5） D. （5，3） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝10， CB ＝6，则∠ B 的余弦值 为 ⁠. 7. （宿迁中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点，点 A 、 B 、 C 都在格点上，则 sin ∠ ABC ＝ ⁠. 　 　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. ☆如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF ＝ 6， BC ＝13， CD ＝5，则tan C ＝ ⁠. 第8题 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ ABC ＝90°， DB 平分∠ ADC . 若 AD ＝1， CD ＝3，则 sin ∠ ABD ＝ ⁠. 第9题 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝15， sin A ＝ ， 求 BC 的长和tan B 的值. 第10题 解：∵ ∠ C ＝90°， sin A ＝ ，∴ ＝ .∵ AB ＝15，∴ BC ＝9.∴ 在Rt△ ABC 中， AC ＝ ＝12.∴ tan B ＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， D 为边 AC 上的一点， CD ＝3， AD ＝ BD ＝5.求∠ A 的三个三角函数值. 第11题 解：在Rt△ BCD 中，∵ CD ＝3， BD ＝5，∴ BC ＝ ＝ ＝4.∵ AC ＝ AD ＋ CD ＝8，∴ 在Rt△ ABC 中， AB ＝ ＝ ＝4 .∴ sin A ＝ ＝ ＝ ， cos A ＝ ＝ ＝ ，tan A ＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝， 解：AB＝＝＝17， sinA＝＝， cosA＝＝，tanA＝＝. tanB＝＝＝. ∴BD＝CD＝BC＝6， AD＝＝8， ∴sinB＝＝＝， cosC＝＝＝， sinB＝， 解：∵AE⊥BC，sinB＝＝， ∴BE＝＝12x. $