天津市武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三上学期数学周练15

★2025年12月16日星期二 天津市武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三上学期数学周练15 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ）． A． B． C． D． 5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　 　． A． B． C． D． 7．已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．是虚数单位，复数满足，则 . 11．已知数列的前项和为，则 12．已知，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 13．已知都为正实数，则的最小值为 ． 14．正项数列满足，则 . 15．在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则 ；若，点为线段上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 16．在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求的大小； (2)当，时，（i）求边长；（ii）求的值. 17．如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 18．在如图所示的五面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．已知等差数列中，，， （1）求数列的通项公式； （2）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，，，，，依此类推，第项由相应的中项的和组成. （i）求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和. 20．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：（其中为的导数）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三上学期数学周练15》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A C B A A C C 10． 11． 12． 13． 14． 15．    16．解：（1）在中，由及正弦定理得， 即，而，则，所以. （2）（i）由（1）知，，而，， 由余弦定理得，所以. （ii）由正弦定理，得， 而为锐角，则，，， 所以. 17．解：（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，， 依题意，是平面的一个法向量，又， 则，而直线平面，所以平面. （2）， 设平面CPB的法向量为 ，则，取，得， 设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ， 设平面与平面夹角为，则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）由点H在PD上，设，则， 依题意，，而，解得， 所以线段的长为. 18．解：（1）证明：因为平面，在平面内， 又底面是边长为2的正方形， 所以两两垂直，如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系． 因为平面是边长为2的正方形，，且，为的中点，为的中点，所以，所以． 因为平面的一个法向量为，所以，即， 又因为平面，所以平面． （2）解：因为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以． ，设直线与平面所成角为， 则． （3）因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 又因为平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则． 19．解：（1）设等差数列的公差为，由知， 且，，， ； （2）（i）由题意得：，即 是首项为，公差为的等差数列的项的和， ， ； （ii）由（i）知：，. 20．解（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. （3）由得， 即， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式化为， 令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， 综上当0<x<1时，不等式成立 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $