24.4第3课时　解直角三角形的应用——坡度、坡角课件2025-2026学年华东师大版（2012）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心知识点为坡度、坡角概念及实际问题转化。通过修路、挖河等现实情境导入，结合铅垂高度与水平长度比定义坡度，关联坡角与正切函数，衔接前两课时解直角三角形知识，搭建“概念-转化-应用”学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过梯形路基、斜坡旗杆等实例，引导学生用数学眼光抽象问题，用三角函数推理（数学思维），课堂小结归纳“抽象-解三角形-得数学解-得实际解”四步流程（数学语言）。采用情景导入、范例解析、合作归纳法，助力学生培养建模与推理能力，教师可借助分层练习提升教学效率。

第24章　解直角三角形 4.4　解直角三角形 第3课时　解直角三角形的应用——坡度、坡角 【学习目标】 1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题的能力； 3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 【学习重点】 理解坡角、坡度的概念，并运用解直角三角形． 【学习难点】 把实际问题转化为直角三角形求解． 情景导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上要注明倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 i＝. 坡度通常写成1∶m的形式， 如i＝1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． 自学互研 知识模块　坡比、坡角与解直角三角形 (一)自主探究 范例 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米) 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F. 由题意可知：DE＝CF＝4.2，EF＝CD＝12.51， 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中， ∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)． 答：路基下底的宽约为27.1米． (二)合作探究 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 变例 如图，斜坡AC的坡度为1∶ ，AC＝10米， 坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，试求旗杆BC的高度． 解：延长BC交AD于E点． 由题意知BE⊥AD，在Rt△AEC中， ∴∠EAC＝30°， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， ∴BC＝6.答：旗杆BC的高度是6米． 课堂小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 一、 选择题 1. 如图所示为某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡 AB 的坡度是 1∶3，滑坡的水平长度 AC 是6m，则高 BC 为（　C　） A. 3m B. 5m C. 2m D. 4m 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图所示为某地修建的一座建筑物的截面图，已知高 BC ＝5m，坡面 AB 的坡度为1∶ ，则 AB 的长度为（　A　） A. 10m B. 10 m C. 5m D. 5 m 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3如图，有一天桥高 AB 为5m， BC 是通向天桥的斜坡， ∠ ACB ＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端 C 延伸到 D 处，使∠ D ＝30°，则 CD 的长度约为（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）（　D　） A. 1.59m B. 2.07m C. 3.55m D. 3.66m 第3题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、 填空题 4. 某人沿着一个斜坡往上走动了20m，他的垂直高度上升了10m，则这 个斜坡的坡度 i ＝ ⁠. 5. （柳州中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， sin α＝ ，堤坝高 BC ＝30m，则迎水坡面 AB 的长度为 ⁠m. 1∶ 　 50　 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. ☆如图，斜坡 AB 的坡度 i 1＝1∶ ，现需要在不改变坡高 AH 的情况 下将坡度变缓，调整后的斜坡 AC 的坡度 i 2＝1∶2.4.已知斜坡 AB ＝ 10m，则斜坡 AC ＝ ⁠m. 第6题 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、 解答题 7. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝， 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，斜坡 AB 的坡度（ i ＝3∶4）指 坡面的铅垂高度 AF 与水平长度 BF 的比.已知斜坡 CD 长20m，∠ C ＝ 18°，求斜坡 AB 的长（结果精确到0.1m，参考数据： sin 18°≈0.31， cos 18°≈0.95，tan18°≈0.32）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　第7题答案 第7题答案 解：如图，过点 D 作 DE ⊥ BC ，垂足为 E . 由题意，得 AF ⊥ BC ， DE ＝ AF . ∵ 斜坡 AB 的坡度 i ＝3∶4，∴ ＝ .设 AF ＝3 x m，则 BF ＝4 x m. 在Rt△ ABF 中， AB ＝ ＝ ＝5 x （m）.在Rt△ DEC 中，∠ C ＝18°， CD ＝20m，∴ DE ＝ CD · sin 18°≈20×0.31＝6.2（m）.∴ AF ＝ DE ＝6.2m. ∴ 3 x ＝6.2，解得 x ＝ .∴ AB ＝5× ≈10.3（m）.∴ 斜坡 AB 的长约为10.3m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点 A 出发，途经点 B 后到达山顶 P ，其中 AB ＝400m， BP ＝200m，且斜 坡 AB 坡角为15°， BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直 高度 PC （结果精确到1m，参考数据： sin 15°≈0.259， cos 15°≈0.966，tan15°≈0.268）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　第8题答案 第8题答案 解：如图，过点 B 作 BD ⊥ PC ，垂足为 D ，过点 B 作 BE ⊥ AC ，垂足为 E . 由题意，得 CD ＝BE ，在Rt△ ABE 中，∠ A ＝15°， AB ＝400m，∴ BE ＝ AB · sin 15°≈400×0.259＝103.（m）.∴ CD ＝ BE ＝103.6m.在Rt△ BDP 中，∠ PBD ＝30°， BP ＝200m，∴ DP ＝ BP ＝100m.∴ PC ＝ PD ＋ DC ≈204m.∴ 垂直高度 PC 约为204m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯 B 的 位置如图所示.已知坡长 AC ＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影 响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交 于坡面的底端 C 处，且与地面的夹角为60°，点 A 、 B 、 C 、 D 在同一 平面上.求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1） 灯杆 AB 的高度； 第9题答案 第9题答案 解：（1） 如图，延长 BA 交 CG 于点 E ，则 BE ⊥ CG . 在Rt△ ACE 中，∠ ACE ＝30°， AC ＝12m，∴ AE ＝ AC ＝ ×12＝6（m）， CE ＝ AC · cos α＝12× ＝6 （m）.在Rt△ BCE 中，∠ BCE ＝60°，∴ BE ＝ CE ·tan∠ BCE ＝6 × ＝18（m）.∴ AB ＝ BE － AE ＝18－6＝12（m）.∴ 灯杆 AB 的高度为12m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） CD 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： sin 27°≈0.45， cos 27°≈0.89，tan27°≈0.51， ≈1.73）. 解：（2） 在Rt△ BDE 中， DE ＝ ≈35.29m，∴ CD ＝ DE － CE ＝35.29－6 ≈24.9（m）.∴ CD 的长度约为24.9m 第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i＝. i＝＝tanα. ∵＝＝tan32°， ∴AE＝≈6.72， 同理可得BF＝≈7.90， ∴(5)2＋(BC＋5)2＝142， tan∠EAC＝1∶＝， ∴CE＝AC＝×10＝5， ∴AE＝＝5， $