24.4第1课时　解直角三角形及其简单应用课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形及其简单应用”，通过回顾直角三角形边边、角角、边角关系，衔接勾股定理与锐角三角函数，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生掌握解直角三角形的方法。 其亮点在于以问题驱动探究，结合大树折断、敌舰测量等实例，渗透数形结合、转化思想，培养数学眼光与模型意识。课堂小结提炼解题方法，助力学生提升分析能力，为教师提供结构化教学流程与丰富例题支持。

第24章　解直角三角形 24.4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形及其简单应用 【学习目标】 1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力； 3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 【学习重点】 根据条件解直角三角形． 【学习难点】 从条件出发，正确选用适当的边角关系解题． 情景导入 问题：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系？ 1．边与边的关系：_____________(勾股定理)． 2．角与角的关系：_______________ (两锐角互余)． 3．边角关系： sinA＝____　　　cosA＝____　　　tanA＝____ sinB＝____ cosB＝____ tanB＝____ (锐角三角函数)． a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝∠C 自学互研 知识模块　解直角三角形 (一)自主探究 1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B? 2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角边a，锐角A，如何求b，c和∠B? 范例 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为 归纳：在直角三角形，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． (二)合作探究 典例 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B 处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米) 解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°， ∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米)． 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米． 仿例 如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝ ，求AC的长． 解：过B作BD⊥AC于D，∵∠C＝45°，BD⊥CD， ∴BD＝CD， 又BD2＋CD2＝BC2＝( )2， ∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°， 解：(方法二)过B作BD⊥AC于D， 在Rt△BCD中，∠C＝45°， ∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，∠A＝30°， 课堂小结 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 解题思想与方法： 一、 选择题 1. 如图，小兵同学从 A 处出发向正东方向走 x m到达 B 处， 再向正北方向走到 C 处.已知∠ BAC ＝α，则 A 、 C 两处相距（　B　） A. m B. m C. x sin αm D. x cos αm 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝88°，∠ C ＝42°， AB ＝60，则点 A 到 BC 的距离为（　A　） A. 60 sin 50° B. C. 60 cos 50° D. 60tan50° 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. ☆如图所示为一个长方体柜子的俯视图，柜子长 AB ＝ CD ＝ m （不计 柜门厚度），当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离 EF 为（　A　） A. m sin α B. m cos α C. D. 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，钓鱼竿 AC 长8m，露在水面上的渔线 BC 长4 m，钓者想看看 鱼钩上的情况，把钓鱼竿 AC 逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在 水面上的渔线B'C'的长度是（　D　） A. 3m B. 3 m C. 4m D. 4 m 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题 5. 在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝12，∠ A ＝42°， 则 BC 的长约为 （结果精确到0.1，参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan42°≈0.90）. 8.0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第6题 6. 如图，一个钢架包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱，则焊接这样一个钢架共需钢材约 m（结果保留整 数，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）. 21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ☆（眉山中考）如图，一艘渔船在海上点 A 处测得灯塔 C 在它的北偏 东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点 B 处，测得灯塔 C 在它 的北偏东45°方向.若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C 的最 短距离是 海里. 第7题 （6 ＋6）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题 8. 如图，在△ ABC 中， sin B ＝ ，tan C ＝ ， AB ＝3，求 AC 的长. 第8题答案 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . 在Rt△ ABD 中， sin B ＝ ＝ ， AB ＝3， ∴ AD ＝1.在Rt△ ACD 中，tan C ＝ ＝ ，∴ CD ＝ .在Rt△ ACD 中，由勾股定理，得 AC ＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，一艘轮船由西向东航行到 A 岛时，测 得灯塔 B 在它北偏东31°方向上，继续向东航行10n mile到达 C 港，此 时测得灯塔 B 在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔 B 的 最短距离（结果精确到0.1n mile，参考数据： sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan31°≈0.60， sin 61°≈0.87， cos 61°≈0.48， tan61°≈1.80）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　第9题答案 第9题答案 解：如图，过点 B 作 BD ⊥ AC 于点 D ，则∠ BDC ＝∠ ADB ＝90°.由题意，易得∠ ABD ＝31°，∠ CBD ＝61°.设 BD ＝ x n mile.∴ AD ＝ BD ·tan31°≈0.6 x n mile， CD ＝ BD ·tan61°≈1.8 x n mile.∵ AC ＝ AD ＋ CD ＝10n mile，∴ 0.6 x ＋1.8 x ＝10，解得 x ≈4.2.∴ BD ≈4.2n mile.∴ 轮船在航行过程中与灯塔 B 的最短距离约为4.2n mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区 之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图，秋千链子的长度为3m，当 摆角∠ BOC 恰为26°时，座板离地面的高度 BM 为0.9m，当摆动至最 高位置时，摆角∠ AOC 为50°，求座板距地面的最大高度（结果精确 到0.1m，参考数据： sin 26°≈0.44， cos 26°≈0.90，tan26°≈0.49， sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan50°≈1.19）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　第10题答案 第10题答案 解：如图，过点 B 作 BT ⊥ ON 于点 T ，过点 A 作 AK ⊥ ON 于点 K . 在Rt△ OBT 中， OT ＝ OB · cos26°≈3×0.90＝2.7（m）.∵ ∠ BMN ＝∠ MNT ＝∠ BTN ＝90°，∴ 四边形 BMNT 是矩形.∴ TN ＝ BM ＝0.9m.∴ ON ＝ OT ＋ TN ＝3.6m.在Rt△ AOK 中， OK ＝ OA · cos 50°≈3×0.64＝1.92（m），∴ KN ＝ ON － OK ＝3.6－1.92≈1.7（m）.∴ 座板距地面的最大高度约为1.7m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＝13， 13＋5＝18(米) 答：大树在折断之前高18米． ＝tan∠CAB， ∵＝cos50°， ∴AC＝＝≈3111(米)． ∴AC＝AD＋CD＝＋1. ∴tanC＝＝1， ∴AD＝＝＝， ∴sinC＝＝＝， tanC＝＝1， ∴AD＝＝＝， ∴AC＝AD＋CD＝＋1. $