第6章 平面图形的初步认识章末易错28大题型 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

七上数学专题 平面图形的初步认识章末易错28大题型 题型一：直线、射线、线段的数量问题 题型二：直线、射线、线段的联系与区别 题型三：画出直线、射线、线段 题型四：线段的和与差 题型五：线段中点的有关计算 题型六：线段之间的数量关系 题型七：线段的动点问题 题型八：两点间的距离 题型九：角的相关概念 题型十：角的四则运算 题型十一：钟面角 题型十二：方向角 题型十三：几何图形中角度计算 题型十四：尺规作角 题型十五：角平分线的有关计算 题型十六：余角、补角有关计算 题型十七：相交线 题型十八：垂线 题型十九：对顶角 题型二十：邻补角 题型二十一：平行公理 题型二十二：三线八角 题型二十三：平行线的判定 题型二十四：平行线的性质 题型二十五：平行线间的距离 题型二十六：多边形的概念与分类 题型二十七：多边形截角后的边数问题 题型二十八：多边形对角线问题 题型一：直线、射线、线段的数量问题 1．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 3．小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 题型二：直线、射线、线段的联系与区别 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 5．下列说法：①直线比射线长；②两点之间的距离是连接两点之间的线段；③两点之间，直线最短；④若，则点C是线段的中点．其中说法错误的是 ．（填序号） 6．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 题型三：画出直线、射线、线段 7．如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 8．如图，已知平面上有三个点，，，请按要求画图． (1)画直线，射线； (2)延长到，使得，连接． 9．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空： (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据______． 题型四：线段的和与差 10．点B在直线上，线段，则两点间的距离是（    ） A．8 B．2 C．8或2 D．无法确定 11．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 12．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    题型五：线段中点的有关计算 13．已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 14．如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上． (1)当，点分别是线段的中点时， ； (2)若，当时，求的长度．（用含和的代数式表示） 15．如图，点，，，在同一直线上，且． (1)线段与线段相等吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 题型六：线段之间的数量关系 16．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，已知，点是线段的中点，点是的中点，点在上，且，则的长为 ． 18．如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 题型七：线段的动点问题 19．如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 20．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    21．如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ． 题型八：两点间的距离 22．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 23．如图，已知点在线段上，线段，线段的长是线段长的两倍，点是线段的中点，求线段的长． 24．如图，延长至D．使B为的中点，点C在上，． (1)______，______． (2)若，求的长． 题型九：角的相关概念 25．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 26．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 27．下列说法：①从一点引出的两条射线所组成的图形是角；②互为余角的两个角不可能相等；③一个角的补角一定大于这个角；④若，则、、互余．其中不正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十：角的四则运算 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． 题型十一：钟面角 31．一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 32．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 33．《新闻联播》晚上开始时，田田发现家里的钟表是，田田拨动分针调准时间，她需要将分针按 方向旋转 °． 题型十二：方向角 34．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为 35．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 36．平面上有三个点A，B，O，点A在点O的北偏东80°方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接，作的平分线交于点C． (1)依题意画出图形（借助量角器、刻度尺画图）； (2)写出的依据是_________； (3)试说明点C在点O的什么方向． 题型十三：几何图形中角度计算 37．如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 38．如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 39．如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 题型十四：尺规作角 40．尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 41．如图，在中，为边的中点，请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） 42．作图题：请尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知与线段a、c．作，使，， 题型十五：角平分线的有关计算 43．如图，O是直线上的一点，，，平分，求的大小． 44．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由． 45．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 题型十六：余角、补角有关计算 46．如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 47．如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 48．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十七：相交线 49．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 50．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 51．过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 题型十八：垂线 52．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 53．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 54．已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 题型十九：对顶角 55．如图，直线相交于点O，平分，若，求的度数． 56．如图，直线相交于点O，． (1)的对顶角是________；的余角有________． (2)若与的度数之比为，求，的度数． 57．如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 题型二十：邻补角 58．如图，直线，交于点O，，垂足为O，若，求的度数． 59．如图，直线与直线相交于点，平分，，则是多少度？ 60．如图所示，直线相交于点O，平分． (1)写出图中与互补的角 ； (2)若，求的度数． 题型二十一：平行公理 61．关于下列说法，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等 B．垂线段最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 62．下列说法中不正确的有 （填序号） ①没有公共点的两条直线叫做平行线； ②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④平行于同一直线的两直线平行； ⑤一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定相等． 63．如图，已知，，求证：． 证明：∵ ∴（ ） ∵ ∴ （ ） ∴（ ） ∴ ， （ ） ∵ ∴． 题型二十二：三线八角 64．下列图形中，和不是同位角的是（  ） A． B． C． D． 65．如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 66．课本例2结论延伸：两条直线被第三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角互补． 如图：，被所截，若，试说明与，与的关系． 题型二十三：平行线的判定 67．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 68．把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴_____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴_____________（________________________）， ∴（________________________）， ∴_____________（________________________）． 又∵（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴（________________________）． 69．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解： 理由如下： ∵（    ） ∴________． 即________． 又∵ 且 ∴________________（    ） ∴（    ） 题型二十四：平行线的性质 70．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 71．懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角的补角相等）． 72．如图，点D在三角形边的延长线上，，，． (1)是否平行于？为什么？ (2)求的度数？ (3)通过计算这道题，你能说明三角形的内角具有什么特征？ 题型二十五：平行线间的距离 73．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 74．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是 ． 75．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 题型二十六：多边形的概念与分类 76．下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 77．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 78．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 题型二十七：多边形截角后的边数问题 79．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 80．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 81．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 题型二十八：多边形对角线问题 82．边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 83．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 84．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 答案与解析 题型一：直线、射线、线段的数量问题 1．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解． 【详解】解：如图，共有8条直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，解决问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解更加形象直观． 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 3．小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 题型二：直线、射线、线段的联系与区别 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，点与直线的位置关系，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义和点与直线的位置关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、、，，，，共6条线段，原说法错误，不符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，符合题意； C．射线与射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； D．点不在直线上，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．下列说法：①直线比射线长；②两点之间的距离是连接两点之间的线段；③两点之间，直线最短；④若，则点C是线段的中点．其中说法错误的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】此题主要考查了直线、射线、线段、两点之间距离的定义． ①根据直线和射线的定义可对①进行判断； ②根据两点之间的距离是连接两点之间的线段的长度可对②进行判断； ③根据两点之间，线段最短可对③进行判断； ④根据若，当点A，B，C在同一条直线上时，则点C是线段的中点，可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵直线可以向两端无限延长，射线可以向一端无限延长， ∴直线和射线不能比较大小； ∴①不正确； ②∵两点之间的距离是连接两点之间的线段的长度， ∴②不正确； ③∵两点之间，线段最短， ∴③不正确； ④∵若，当点C在线段上时，则点C是线段的中点， ∴④不正确． 综上所述：说法错误的是①②③④． 故答案为：①②③④． 6．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误； ③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 题型三：画出直线、射线、线段 7．如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 8．如图，已知平面上有三个点，，，请按要求画图． (1)画直线，射线； (2)延长到，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的特点画图． 过点、画直线，以点为端点，画射线； 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接线段． 【详解】（1）解：如下图所示， 过点、画直线， 以点为端点，画射线； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接线段． 9．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空： (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查线段，射线，延长线的定义以及线段的性质，掌握上述定义和性质，是解题的关键． （1）根据射线的定义，即可作图； （2）根据线段的定义，即可作图； （3）根据延长线的定义，即可作图； （4）根据两点之间线段最短即可作图． 【详解】（1）解：射线如图所示； （2）解：线段如图所示； （3）解：线段如图所示； （4）解：点E如图所示， 作图的依据为两点之间线段最短． 题型四：线段的和与差 10．点B在直线上，线段，则两点间的距离是（    ） A．8 B．2 C．8或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段和和差关系，分类讨论是解题的关键；分两种情况讨论，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当C点在线段上时，如图，    ∵， ， A、C两点之间的距离为2； 当C点在线段AB的延长线上时，如图，    ∵， ， A、C两点之间的距离为8， 综上所述，A、C两点之间的距离为2或8， 故选： ． 11．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 12．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 题型五：线段中点的有关计算 13．已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点定义，当点在线段的延长线上，先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案；当点在线段上时，先求出，再根据中点定义求得，最后根据得出答案． 【详解】解：， ， 当点在线段的延长线上， 则， 点为线段的中点， ， ； 当点在线段上时， ， ， ， 点为线段的中点， ， ． 综上，线段的长为或． 14．如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上． (1)当，点分别是线段的中点时， ； (2)若，当时，求的长度．（用含和的代数式表示） 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查线段的和差定义，两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据，只要求出即可； （2）根据，只要求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， 点分别是线段的中点时， ∴， ， ， 故答案为：4． （2）解：， ， ， ， ． 15．如图，点，，，在同一直线上，且． (1)线段与线段相等吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)相等，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了线段的和差关系，与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，故，所以，即可作答． （2）结合，得，又因为，则，解得，则，即可作答． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵， ∴， 则； （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 题型六：线段之间的数量关系 16．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段中点和线段的和差倍分，由点D为CE的中点，可得，再结合，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，故C、D错误； 故选：B． 17．如图，已知，点是线段的中点，点是的中点，点在上，且，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义，结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 18．如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了线段相关计算，熟练掌握该知识点并搞清楚各线段之间的数量关系是解决本题的关键．先设，，根据题意可得，，可列方程，，解方程可得，的长度即可得出答案． 【详解】解：设，，根据题意可得，， 因为，， 所以，， 即，， 解得，， 即，， 所以． 题型七：线段的动点问题 19．如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间的距离的计算及线段的和差关系，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．根据线段的和差关系得出与，的数量关系，然后将已知数值代入解答即可． 【详解】解：∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 20．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【答案】 6 6 / 【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系． 题型八：两点间的距离 22．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 23．如图，已知点在线段上，线段，线段的长是线段长的两倍，点是线段的中点，求线段的长． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点定义，正确理解中点的性质，线段的和差等知识是解题关键．根据已知条件得到，求得，由于点 是线段的中点，求出的长，再得到结论． 【详解】解：，线段的长是线段长的两倍， ， ， 点是线段的中点， ． 24．如图，延长至D．使B为的中点，点C在上，． (1)______，______． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了线段的中点，两点间距离，线段的和差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段中点的定义，线段的和差可得； （2）根据求出，进而求出，根据线段中点定义可知，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵B为的中点， 故答案为：，； （2）∵， ∵B是中点， ． 题型九：角的相关概念 25．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 26．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 27．下列说法：①从一点引出的两条射线所组成的图形是角；②互为余角的两个角不可能相等；③一个角的补角一定大于这个角；④若，则、、互余．其中不正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念及余角和补角的性质，根据角的概念及余角和补角的性质进行解答即可． 【详解】解：①从一点引出的两条射线所组成的图形是角，故①正确 ②互为余角的两个角能相等，故②错误 ③一个角的补角不一定大于这个角；例如，的补角是，故③错误 ④互余是指两个角的和为，故④错误． 故不正确的有3个， 故选：B． 题型十：角的四则运算 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与5相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒的计算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的四则运算，熟知度分秒的换算、掌握度分秒之间的进率是解题的关键． （1）利用度分秒之间的进率计算即可． （2）利用度分秒之间的进率先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型十一：钟面角 31．一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查钟面角，钟面分成了12个大格，每格是，只要看3点整时，分针和时针的夹角占了几个大格，就可知道夹角的度数． 【详解】解：3点整，分针和时针的夹角的度数：， 所以一个挂钟，在3时整的时候，时针与分针的最小夹角是90度； 故选：C． 32．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 【答案】40 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系并建立方程求解．分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，设此人外出到回家用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，则，求出x即可． 【详解】解：设此人外出购物用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，依题意得： ； 解得：； 故答案为：40． 33．《新闻联播》晚上开始时，田田发现家里的钟表是，田田拨动分针调准时间，她需要将分针按 方向旋转 °． 【答案】 逆时针 90 【分析】本题考查钟面角，由题意可知家里的钟表快了15分钟，而1分钟分针转过，逆时针旋转相应的角度即可． 【详解】解：∵晚上开始时，田田发现家里的钟表是， ∴家里的钟表快了15分钟， ∵分针1分钟旋转了， ∴， ∴田田需要将分针按逆时针方向旋转． 故答案为：逆时针；90 题型十二：方向角 34．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为 【答案】 【分析】此题主要考查了方向角，关键是掌握方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船B在南偏东的方向， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 36．平面上有三个点A，B，O，点A在点O的北偏东80°方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接，作的平分线交于点C． (1)依题意画出图形（借助量角器、刻度尺画图）； (2)写出的依据是_________； (3)试说明点C在点O的什么方向． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3)点C在点O的南偏东65°方向 【分析】本题考查方向角的表示和计算，两点之间距离最短，角平分线的性质． （1）根据方向角的表示，借助量角器、刻度尺找出，两点的位置，连接，按角平分线的性质计算出的一半，画出角平分线，得到点； （2）是，两点直接连成的线段，所以依据为：两点之间，线段最短； （3）由（1）中图形，可知，得出的大小，在按方向角得出答案． 【详解】（1）解：（1）图形如图所示： （2）两点之间，线段最短； （3）由题意得，，， ， 平分，， ， 点C在点O的南偏东65°方向． 题型十三：几何图形中角度计算 37．如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 38．如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度计算、角的和差，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．由可得，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 39．如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到是解决本题的关键． （1）根据平分，平分，得出，，再根据代入求值即可． （2）根据（1）中思路求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． 题型十四：尺规作角 40．尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤． 利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 【详解】解：解：如图所示，即为所求． 41．如图，在中，为边的中点，请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图－基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 42．作图题：请尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知与线段a、c．作，使，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作，在上截取，在上截取，连接，则即为所作． 【详解】解：如图，为所作． 题型十五：角平分线的有关计算 43．如图，O是直线上的一点，，，平分，求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键；由题意易得，，然后根据角平分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 44．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由平角的定义可得的度数； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由平角的定义可得的度数，最后根据角平分线的定义可得结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 45．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十六：余角、补角有关计算 46．如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查了余角和补角； （1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可； （2）设，则，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图中与互余的角是，； 图中与互补的角是，； （2）解：，， ， 设，则， ， ， 解得 ， ． 47．如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的性质． （1）利用平角的定义求得，再根据角的和差求解即可； （2）利用角平分线的定义分别求得和的度数，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； （2）解：因为，， 是的平分线，是的平分线， 所以， ， 所以． 48．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的定义以及垂线的性质，正确理解定义、定理是解题的关键． 对顶角相等，反过来不成立，即可判断①；根据平行线的定义即可判断②；③在同一平面内，命题才成立． 【详解】解：①不正确；相等的角不一定是对顶角； ②正确；这是平行线的定义； ③不正确；必须是在同一平面内； 故选：B． 题型十七：相交线 49．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 50．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 51．过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 【答案】4个 【分析】根据直线相交的特点解答． 【详解】解：两条直线相交可以形成4个角． 【点睛】此题考查直线相交所形成的角，正确理解题意，有空间想象能力是解题的关键． 题型十八：垂线 52．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 【答案】A 【分析】本题考查角度的计算，垂直的定义，根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 53．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 54．已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线定义，垂线定义理解，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关定义． （1）在以点O为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可； （2）先根据角平分线定义求出，再根据垂线定义得出，最后根据平角定义求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作的射线； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十九：对顶角 55．如图，直线相交于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，与角平分线有关的计算．先根据对顶角相等，得，结合平分则，最后结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】∵ ∴． ∵平分 ∴， ∴ 56．如图，直线相交于点O，． (1)的对顶角是________；的余角有________． (2)若与的度数之比为，求，的度数． 【答案】(1)；与 (2)， 【分析】本题考查了对顶角、余角、邻补角，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角，余角定义求解，即可解题； （2）根据已知条件得到与的度数，再根据邻补角定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：的对顶角是； ， ， ， ， 则的余角有与， 故答案为：，与； （2）解：，与的度数之比为， ， ， ． 57．如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 【答案】(1) (2)余角为、，补角为、、 【分析】本题考查了余角和补角的定义以及性质、角平分线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得到，由角平分线的性质得出，根据等量关系可得，进而可得的度数； （2）根据余角和补角的定义，找出图中满足条件的角． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：由（）可知，， 它的余角为，即：、； 它的补角为，即：、、． 题型二十：邻补角 58．如图，直线，交于点O，，垂足为O，若，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查了邻补角、对顶角以及垂直的性质，熟练掌握邻补角互补、对顶角相等是解题的关键． 先根据邻补角的性质设未知数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合垂直的性质求出的度数． 【详解】解：设，则， 则， 解得， ， ， ， ， ， 故的度数为． 59．如图，直线与直线相交于点，平分，，则是多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线以及平角的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键．先根据邻补角互补求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：直线与直线相交于点，， ， 平分， ， ． 60．如图所示，直线相交于点O，平分． (1)写出图中与互补的角 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线，补角，对顶角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据，得到，即可解答； （2）先求出，继而求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互补的角有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型二十一：平行公理 61．关于下列说法，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等 B．垂线段最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平行线的性质、垂线段最短、垂直、平行公理逐项判断即可得． 【详解】解：A、如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等；则原说法错误，此项不符合题意； B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原说法正确，此项符合题意； C、在同一平面内，经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，则原说法错误，此项不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，则原说法错误，此项不符合题意； 故选：B． 62．下列说法中不正确的有 （填序号） ①没有公共点的两条直线叫做平行线； ②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④平行于同一直线的两直线平行； ⑤一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定相等． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平行线和垂直的综合应用，熟练掌握平行线的定义、垂线的性质、平行线的性质是解题关键． 分别利用平行线的定义、两直线的位置关系、垂线的性质、平行线的性质判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线，故错误，符合题意； ②在同一平面内，经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，符合题意； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，符合题意； ④平行于同一直线的两直线平行，正确，不符合题意； ⑤一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补，故错误，符合题意． 故答案为：①②③⑤． 63．如图，已知，，求证：． 证明：∵ ∴（ ） ∵ ∴ （ ） ∴（ ） ∴ ， （ ） ∵ ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质填空即可． 【详解】证明：∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；两直线平行，内错角相等；；∠． 题型二十二：三线八角 64．下列图形中，和不是同位角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 65．如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 66．课本例2结论延伸：两条直线被第三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角互补． 如图：，被所截，若，试说明与，与的关系． 【答案】，，见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，平角的定义，同角的补角相等，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合，，进行角的等量代换得，根据，故，即可作答． 【详解】解：∵，（平角的定义）， ∴（等量代换） 又∵（平角的定义）， ∴（同角的补角相等） 题型二十三：平行线的判定 67．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 68．把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴_____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴_____________（________________________）， ∴（________________________）， ∴_____________（________________________）． 又∵（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴（________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 69．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解： 理由如下： ∵（    ） ∴________． 即________． 又∵ 且 ∴________________（    ） ∴（    ） 【答案】已知；；；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出是解题的关键． 由垂直的定义可得出，结合且，可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”即可解答． 【详解】解：，理由如下： ∵（已知）， ∴， 即， 又∵， 且， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：已知；；；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 题型二十四：平行线的性质 70．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定和性质： 根据平行线的判定内错角相等，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的判定同旁内角互补，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补即可得到结论． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故答案为：，，内错角相等，两直线平行； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行； ， 两直线平行，同位角相等， 故答案为：，，两直线平行，同位角相等； ， ， 故答案为：，，两直线平行，同旁内角互补． 71．懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角的补角相等）． 【答案】∠GHD；两直线平行，同旁内角互补；；∠EFN=∠G 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：如图（2），延长交于点， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；． 72．如图，点D在三角形边的延长线上，，，． (1)是否平行于？为什么？ (2)求的度数？ (3)通过计算这道题，你能说明三角形的内角具有什么特征？ 【答案】(1)，见解析 (2)64° (3)三角形的内角和等于 【分析】本题考查了平行线的判定以及性质，掌握平行线的判定以及性质是解本题的关键． （1）根据“同位角相等，两直线平行”即可证得； （2）根据“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数； （3）因为，故三角形的内角和等于． 【详解】（1）解：． 理由：， ． （2）解：由（1）可知， ． （3）解：， ∴三角形的内角和等于． 题型二十五：平行线间的距离 73．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 74．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键；分两种情况考虑：当直线b位于两平行直线，之间时；当直线b位于两平行直线，外时；画出图形即可求解． 【详解】解：在直线上任取点A，过点A作于点C，交直线b于点B， ∵， ∴， ∴， 当直线b位于两平行直线，之间时，如图； ∴； 当直线b位于两平行直线，之外时，如图； 则； 综上，与的距离是或； 故答案为：或． 75．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 题型二十六：多边形的概念与分类 76．下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的概念，线段的有关概念，定量数据与定性数据的区别等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据两点之间的距离，线段的性质，正多边形的概念以及定量数据与定性数据的概念分析即可． 【详解】解：A、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意； B、学生上学采用的交通方式是定性数据，故错误，不符合题意； C、两点之间线段最短，正确，符合题意； D、各边都相等，各角也相等的图形叫正多边形，故错误，不符合题意； 故选：C． 77．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 78．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 题型二十七：多边形截角后的边数问题 79．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 80．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 81．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 题型二十八：多边形对角线问题 82．边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线的求法，边形过一个顶点的对角线有条，个顶点共有条对角线，其中有一半的对角线条数重复计算，除以即可求解，掌握过边形一个顶点有条对角线是解题的关键． 【详解】解：边形过一个顶点的对角线有条，则边形的对角线的条数为， 故答案为：，． 83．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 84．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3；9；； (2) (3)能， 【分析】（1）根据从边形的一个顶点出发的对角线有条，对角线的总条数为：进行计算即可得： （2）根据从边形对角线的总条数为：进行计算即可得： （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：如图所示，    从六边形的一个顶点出发的对角线有：（条）， 则从n边形的一个顶点出发的对角线有：条， 六边形对角线的总条数为：（条）， n边形对角线的总条数为：， 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 3 … 9 多边形对角线的总条数 2 5 … 故答案为：3；9；；； （2）解：十边形对角线的总条数为：（条）， 故答案为：； （3）能，理由： 解：设这个多边形的边数为， ， ， 解得：， 则这个多边形的边数为． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的对角线形成的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $