专题 相似三角形常见模型（7大题型） 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

九下数学专题相似三角形常见模型(7大题型) 题型归纳 题型一：A字型相似 题型二：8字型相似 题型三：母子型相似 题型四：双垂直型相似 题型五：一线三等角型相似 题型六：手拉手型相似 题型七：三角形内接矩形型相似 题型专练 题型一：A字型相似 1.如图，在ABC中，D,E是边AB的三等分点，F,G是边AC的三等分点，若△ADF的面积为m,则 四边形EBCG与△AEG的面积差是() D B A.4m B.3m C.2m D.m 2.如图，AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则下列结论中错误的是() E A.DH_CH FH BH B. GE CG DE CB c器怨 D.FHBF AG FA 3.如图，在ABC中，D,E分别为AB,AC上的三等分点，若EFAB,则匹=() SABC B.g c. D. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,D是AB上一点，点E在BC上，连接CD,AE交 于点F,若LCFE=45°，BD=2AD,则CE=一 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15,BC=10,AF交DE于点G. B G D C (I)求正方形CDEF的边长： (2)求EG的长. 题型二：8字型相似 6.如图，AD、BC相交于点O,由下列条件不能判定AOB与△DOC相似的是() A< B D B. OA AB A.AB∥CD OD CD C.Q4OB OD OC D.∠A=∠D 7.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点，DE交AC于点F,若DE=I2, 则DF等于() A D E C A.3 B.4 C.6 D.8 8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,延长BE交CD 的延长线于点下，则BC的值为() GE E G B B.月 c D. 9.如图，Rt△ABC中，LBAC=90°，AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点，连接PA,以PA、PC为 邻边作平行四边形PAQC,连接P2,则PQ的长的最小值为 ▣ B A 10.如图①，一张正三角形纸片ABC,AB=32cm,点D在边AB上，AD=10cm,点E是边BC上的 点.如图②，将BDE沿DE翻折得△△B'DE,△B'DE与ABC的边AC相交于点M和点N.若AM=I6cm ,B'M=8cm,则CN的长度为cm. D D B E B 图① 图② 11.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图(，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条. 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图(b),由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像 分别在A,B处，线段AB的像是线段AB,AB上点C的像是点C,若A'B'∥AB,求证： AC AC B'C BC 【数学语言】(2)如图（©），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为AB',腿部AC的 像为'C',试说明能拍出大长腿效果的理由 B (b (c) 题型三：母子型相似 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.对角线AC、BD相交于点O,点E是AC上的动点，F是 AD的中点，连接EF,则EF的最小值为() F D B C A.3 B.4 c号 D. 13.如图，在口ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上.AB=3,BC=6,若E、F分别是AB、BC中点， 则o三 ；若BE=1,∠BEF=∠DEF=∠DFC,则DE= D B 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、 AE交于点F.若LBFE=45°，则CE= F 15.如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E,F是BC延长线上一点，且CF=CE, BE延长线交DF于G,则BG·EG的值是一· D 16.如图，在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从 B开始沿BC边运动，速度为4cm/s,如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与ABC相似？ B》0 17.ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F,且有 AF=CF,过F点作FH⊥AC于点H. H B F (1)求证：△ADEn△CDB; (2)求证：AE=2EF; (3)若FH=√5，求BC的长. 题型四：双垂直型相似 18.女如图，在矩形4BCD中，F是DC上一点，F1AC,垂足为E,份分，△C的面积为S。 △AEB的面积为S,则。的值是() F B B. c.s 19.如图，在ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点F,具体操作过程是：以点C为圆心， CB长为半径同弧，交AB于点D,再分别以B,D为圆心，大于号D长为半径同致，两弧交于点E,作射 线CE交AB于点F,则下列结论一定正确的是() AD B E A.CF2=AF.BF B.BC2=CF·AC C.AC2=AF2+BF2 D.∠ACF+∠B=90 20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=I0,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AC于 点F,交AD于点E,则线段AE的长为一· D 21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC,AE⊥BC. D B E (I)求证：△BAF∽△BCD. (2)若AB=3,AC=4,求BF的长. 22.如图，RtAABC中，∠BCA=90°，AC=BC,点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD, BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G,给出下面四个结论：①CG⊥BE;② AG=2DC;③AF·EC=EF·EB;④AE=EF;上述结论中，所有正确结论的序号是 G D 23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,AD⊥AB,AD=0.5,过点D作DE∥AB交CB的延 长线于点E,过点B作BF⊥CE交DE于点F,那么BF=一· EB 题型五：一线三等角型相似 24.如图，在矩形ABCD中，CD=4,E是BC的中点，连接AE,tan∠AB=专，P是AD边上一动息 沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当△APD'是直角三角形时，PD的值为() -1D D A. 6 或9 c.9 25.如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若 BD:DE=2:3,则CF=一 7 E B D 26.己知ABC是等边三角形，AB=6,点D,E,F点分别在边AB,BC,AC上，BD:BE=2:3,DE同 时平分∠BEF和∠BDF,则BD的长为一 B 27.如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=∠ABC. E B D (I)求证：△ABDn△DCE; (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长. 28.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点，且∠AED=45 .求证：△ABE∽△ECD. 29.如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F. E D (I)求证：△ABE∽△DEF; (②)连接BF,若△ABE∽△EBF,试确定点E的位置并说明理由. 题型六：手拉手型相似 30.【问题发现】(1)如图1，在RtAABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段 AD绕点A顺时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是_，位置关系是一； 图1 图2 图3 【探究证明】(2)如图2，在Rt△ABC和RtAADE中，AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转，当点C, D,E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】(3)如图3，在RtaBCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4,将△ACD绕点A顺时针旋转，点 C对应点E,设旋转角∠CAE为(0°<a<360°)，当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段 BE的长度， 31.如图①，己知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F. E 图① 图② 图③ (I)【证明与推断】：①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断： G的值为- BE (2)【探究与证明】：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转度(0°<a<45),如图②所示，试探究线段 AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A,G,F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG 交AD于点H.若AG=3,GH=√2，求BC的长. 32.【初步感知】 (1)如图1，CE和BD相交于点A,且DE∥BC,AB=AC, ①则DBEC(填“<”“>”或“=”)： ②如图2，将图1中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E在ABC内部时，求证：DB=EC; 【变式探究】 (2)如图3，在4BC与ADE中，=4D=k,∠DAE=∠B4C.猜想BD,CE之间的数量关系，并 AC AE 说明理由； 【拓展应用】 AD 3 (3)如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=90°， ，若BC=2AB=10,求B,D两点间的最大距 CD 4 离 D E D D B 图1 图2 图3 图4