4.3.2等比数列前n项和（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，以《庄子》“一尺之棰”和棋盘麦粒问题导入，从具体情境抽象出等比数列模型，通过对比等差数列求和方法，构建从特殊到一般的知识支架。 其亮点在于融合传统文化与历史情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过错位相减法、提取公因式法等多种推导方式发展数学思维，结合指数增长实例与符号运算强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与创新意识，教师可借助丰富案例与多元推导优化教学过程。

析微查异，寓理于算 《庄子·天下篇》 一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。 开始取后每天长度构成等比数列： 蕴含算理： 棋盘趣事，玄机几何 相传古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔 蕴含问题： 4.3.2 等比数列前n项和(1) 大方的国王：给你翻一番的麦粒 ① ② 能否由①② 计算出S64? ②―①得 即 小气的国王：太多啦！给你减半 ③ ④ 能否由③④计算出S64? ④―③得 即 指数级增长——爆炸式增长 超过7000亿吨 问题一：一般地，首项为，公比为的等比数列如何求和？  qSn＝ 两式作差得：Sn―qSn＝ a1―a1qn a1 q + a1 q2 + a1 q3 +… + a1 qn―1 +a1qn 即：(1―q) Sn ＝ a1 (1― qn) 当q=1时， Sn ＝na1 当q≠1时， 错位相减法： 错位相减法： 同乘 : 向前错位 同乘 : 向后错 两位 作差消项 作差消项 向前错一位 向后错一位 向前错一位 向后错两位 按需而定 错位相减法： 常用 问题二：你还有没有其它方法来证明等比数列的前项和公式？ 古埃及 问题二：你还有没有其它方法来证明等比数列的前项和公式？ 欧几里德(Euclid) 问题二：你还有没有其它方法来证明等比数列的前项和公式？ 拉克洛瓦(Lacroix) 等比数列求和公式 前 项 和 首项 公比 项数 末项 特殊情况：当时，. 已知，，，则 已知，，，则 知三求二 注意:使用公式前，先判断公比是否为1 例1：已知数列{an}是等比数列。 (1)若 ， 求 S8. (2)若 ， ,求S8. （3）若 ， 求n . 典例精析 （1 ） （2）由 可得 即 ，因为 ，可得 所以 （3） 例2：已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn，若 求公比q. 解：若q=1，则 所以q≠1. 当q≠1时，由 ，得 整理得 所以 典例精析 归纳总结 等差数列求和 高斯用首尾相加法来“消项” 倒序相加法 等比数列求和 欧拉用错位相减法来“消项” 错位相减法 《庄子·天下篇》 一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。 随堂小测 课本P37 2，4 求数列：7，77，777，7777，…的一个通项公式 课后作业 课本P37 1，3 课本P55 4(2)按解答题求解 $