23.3第5课时　相似三角形的应用课件 2025-2026学年华东师大版（2012）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过复习判定方法和性质导入新课，衔接已学知识，为测高测距等实际应用构建学习支架，帮助学生从理论过渡到解决现实问题。 其亮点在于结合泰勒斯测金字塔高度、估算河宽等情境，引导学生用数学眼光观察世界，通过严谨的相似判定推理和比例关系推导培养数学思维，通过建模解决问题体现数学语言表达。典例联系盲区生活问题，练习题多样，助力学生提升应用能力，教师使用可高效开展教学。

第23章　图形的相似 23.3　相似三角形 第5课时　相似三角形的应用 1.掌握相似三角形的应用；（重点） 2.进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能 力.（难点） 学习目标 问题1 判定两三角形相似的方法有哪些？ 问题2 相似三角形的性质有哪些？ 导入新课 观察与思考 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物体之间的距离问题. 据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m,求金字塔的高度BO. 讲授新课 利用相似三角形测量高度 一 解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF. 因此金字塔的高为134m. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m,求金字塔的高度BO. 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF. A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他方法测量吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ. 利用相似三角形测量宽度 二 因此河宽大约为90m. 测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 方法归纳 例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点? 典例精析 分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了. 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点 A、C恰在一条直线上． 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它． 1. 相似三角形的应用主要有两个方面： （1）测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. （不能直接使用皮尺或刻度尺测量） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2）测距 课堂小结 2. 解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题. 一、 选择题 1. 为了测量河宽 AB ，有如下方法：如图，取一根标尺 CD 横放，使 CD ∥ AB ，并使点 B 、 D 、 O 和点 A 、 C 、 O 分别在同一条直线上，量得 CD ＝8m， OC ＝10m， AC ＝30m，则河宽 AB 为（　C　） A. 24m B. 30m C. 32m D. 40m 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，直尺的一边与 BC 重合，另一边 分别交 AB 、 AC 于点 D 、 E . 点 B 、 C 、 D 、 E 处的读数分别为15、 12、0、1.若直尺宽 BD ＝2cm，则 AD 的长为（　B　） A. cm B. 1cm C. 2cm D. 3cm 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. ☆如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作 一个宽 BC ＝6cm、长 CD ＝16cm的矩形.当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（　A　） A. 9.6cm B. 9.3cm C. 8.6cm D. 7.2cm 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、 填空题 4. 如图，用一个卡钳 测量某零件 的内径 AB . 若测得 CD 的长为6cm，则该零件的内径 AB 为 ⁠cm. 第4题 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直 立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆 EF 长2m，它的 影长 FD 是4m，同一时刻测得 OA 的长是268m，则金字塔的高度 BO 是 ⁠m. 第5题 134　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题：如 图， AB 表示塔的高度， CD 表示竹竿顶端到地面的高度， EF 表示人 眼到地面的高度， AB 、 CD 、 EF 在同一平面内，点 A 、 C 、 E 在同 一条水平直线上.已知 AC ＝20m， CE ＝10m， CD ＝7m， EF ＝ 1.4m，人从点 F 远眺塔顶 B ，视线恰好经过竹竿的顶端 D ，可求出塔 的高度.根据以上信息，塔的高度为 ⁠m. 18.2　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、 解答题 7.如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 BC 的中点，连结 AE ， DF ⊥ AE 于点 F . 第7题 （1） 求证： AF · AE ＝ BE · AD ； 解：（1） ∵ 四边形 ABCD 为矩形， DF ⊥ AE ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝∠ AFD ＝90°.∴ ∠ BAE ＋∠ EAD ＝∠ EAD ＋∠ FDA ＝90°.∴ ∠ FDA ＝∠ BAE . ∴ △ ADF ∽△ EAB . ∴ ＝ ，即 AF · AE ＝ BE · AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若 AB ＝4， BC ＝6，求 AF 的长. 解：（2） ∵ E 是边 BC 的中点，∴ BE ＝ BC ＝3.∴ 在Rt△ ABE 中， AE ＝ ＝ ＝5.∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ AD ＝ BC ＝6.∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ AF ＝ 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，王老师为测得学校操场上小树 CD 的高，他站在教室 里的点 A 处（眼睛在点 B 处），从教室的窗口望出去，恰好能看见小 树的整个树冠 HD . 经测量，窗口高 EF ＝1.4m，树干高 CH ＝1.2m， 点 A 距墙根点 G 1.6m，点 C 距墙根点 G 4.8m，且 A 、 G 、 C 三点在同 一条直线上（墙的厚度忽略不计）.请根据上面的信息，帮王老师计 算出小树 CD 的高. 第8题 解：∵ FG ⊥ AC ， DC ⊥ AC ，∴ FG ∥ DC . ∴ △ BEF ∽△ BHD . ∴ ＝ .设 DH ＝ x m.∵ AG ＝1.6m， CG ＝4.8m， EF ＝1.4m，∴ ＝ ，解得 x ＝5.6.∴ DH ＝5.6m.∴ 小树 CD 的高为 DH ＋ HC ＝5.6＋1.2＝6.8（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， P 是对角线 BD 上的一 点，过点 P 分别作 AD 、 CD 的平行线，与 AB 交于点 F ，与 BC 交于点 E ，连结 AE 交 BD 于点 G . 第9题 （1） 求证： PF · CD ＝ AD · PE ； 解：（1） ∵ PF ∥ AD ，∴ △ BFP ∽△ BAD . ∴ ＝ .∵ PE ∥ CD ，∴ △ BPE ∽△ BDC . ∴ ＝ .∴ ＝ ，即PF · CD ＝ AD · PE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 当 AD ∶ BC ＝1∶3， PF ∶ AD ＝1∶3， BD ＝10时，求 PG 的长. 第9题 解：（2） 连结 DE . ∵ PF ∶ AD ＝1∶3， ∴ ＝ ＝ .∵ △ BPE ∽△ BDC ， ∴ ＝ ＝ .∵ AD ∶ BC ＝1∶3，∴ AD ＝ BE . ∵ AD ∥ BE ，∴ 四边形 ABED 是平 行四边形.∴ BG ＝ DG ＝ BD ＝5.∵ ＝ ＝ ，∴ BP ＝ BD ＝ .∴ PG ＝ BG － BP ＝ 5－ ＝ .∴ PG 的长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $