23.3 第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第23章　图形的相似 23.3　相似三角形 第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点） 2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程. （难点） 学习目标 问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？ 问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 导入新课 观察与思考 如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ E 解：相等，因而相似. 讲授新课 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 一 如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ , A′B′:AB=A′C′:AC.求证:△ABC∽△A′B′C′. A′ B′` C′ A B C E D 证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE. ∠A=∠A′, 这样,△ADE≌△A′B′C′. ∵A′B′:AB=A′C′:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC 如果一个三角形的两边长与另一个三角形的两边长对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . (两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似) A B C A′ B′ C′ ∵A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′ ∴△A′B′C′∽△ABC 归纳： 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.  如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. △ABC∽△ADE. 练一练 证明： △ABC∽△DCA 3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长． A B C D 下面两个三角形中， ，求证△ABC∽△A′B′C′. A B C C′ B′ A′ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 二 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A′ B′ C′ A B C D E 过点D作DE∥BC交AC于点E. 又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, ∴AD:AB=AE:AC. ∵∠A=∠A′，∴△ADE∽△ABC. ∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△A′B′C′∽△ABC. ∴△ADE≌△A′B′C′, △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ 归纳 1.如图,已知 ，试说明∠BAD=∠CAE. A D C E B 解：∵ ∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE 练一练 2.已知AB=10，BC=8 ，AC=16，A′B′=16，B′C′=12.8， C′A′=25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 相似三角形的判定定理3： 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理： 课堂小结 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2： 如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 一、 选择题 1. 下列判断中，不正确的是（　B　） A. 三边对应成比例的两个三角形相似 B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图， D 是△ ABC 的边 AC 上的一点.根据下列条件，能得到△ ABC ∽△ BDC 的是（　C　） A. AB · CD ＝ BD · BC B. AC · CB ＝ CA · CD C. BC 2＝ AC · DC D. BD 2＝ CD · DA 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，有下列条件：① ∠ B ＝∠ C ；② ＝ ；③ ∠ ADB ＝∠ AEC ；④ ＝ ；⑤ ＝ .其中，能使△ BPE 和△ CPD 相似的有 （　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ☆如图，锐角三角形 ABC 的边 AB 、 AC 上的高 CE 、 BD 交于点 O ，连 结 ED ，则相似的三角形有（　D　） A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题 5. 如图， ＝ ＝ k （ k ＞0），要使△ ABC ∽△ ACD ，可添加的条件 是 （写出一个即可）. 第5题 答案不唯一，如 ＝ k 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，在△ ABC 中， D 为边 AC 上的一点，给出下列条件：① ∠2＝ ∠ A ；② ∠1＝∠ CBA ；③ ＝ ；④ ＝ ＝ .其中，不能得 出△ ABC 和△ BCD 相似的是 （填序号）. 第6题 ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. ☆在如图所示的网格图中，有下列5个格点三角形：① △ ABC ；② △ ACD ；③ △ ADE ；④ △ AEF ；⑤ △ AGH . 其中，与⑤相似的三角形 是 （填序号）. 第7题 ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. ★如图， AB 、 CD 交于点 O ，且 OC ＝30， OD ＝15， OB ＝24，当 OA 的长为 时，△ AOC 与△ BOD 相似. 第8题 48或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题 9. 如图，点 C 、 D 在线段 AB 上，△ PCD 是等边三角形，且 AC ＝1， CD ＝2， DB ＝4.求证：△ ACP ∽△ PDB . 第9题 解：∵ △ PCD 是等边三角形，∴ ∠ PCD ＝∠ PDC ＝60°， PC ＝ CD ＝ PD ＝2.∴ ∠ PCA ＝∠ PDB ＝120°.∵ AC ＝1， BD ＝4，∴ ＝ ， ＝ .∴ ＝ ，即 ＝ .∴ △ ACP ∽△ PDB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ， 分别以 AC 、 BC 为边向三角形外作等边三角形 ACE 和等边三角形 BCF ，连结 DE 、 DF . 求证：△ ADE ∽△ CDF . 第10题 解：∵ ∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，∴ ∠ ADC ＝∠ CDB ＝∠ ACB ＝90°.∴ ∠ ACD ＋∠ CAD ＝90°，∠ ACD ＋∠ BCD ＝90°.∴ ∠ CAD ＝∠ BCD . ∴ △ ACD ∽△ CBD . ∴ ＝ .∵ △ ACE 和△ BCF 都 为等边三角形，∴ AE ＝ AC ， CF ＝ CB ，∠ EAC ＝60°，∠ FCB ＝60°.∴ ＝ .∵ ∠ EAD ＝∠ EAC ＋∠ CAD ＝60°＋∠ CAD ，∠ FCD ＝∠ BCF ＋∠ BCD ＝60°＋∠ BCD ，∴ ∠ EAD ＝∠ FCD . ∴ △ ADE ∽△ CDF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $