专题06 天体运动模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

专题06 天体运动模型 【模型1　万有引力的大小】 【模型构建】 万有引力大小计算是万有引力定律的基础应用，核心是以 “万有引力公式” 为核心，结合 “适用条件判断→距离精准取值→特殊场景等效处理” 的逻辑链，求解两物体间的万有引力大小，适用于星球间、星球与卫星 / 物体间、均匀球体间等场景 【模型剖析】 1.万有引力的表达式 表达式：F=,式中G为引力常量，r是两天体质心间的距离. 适用条件： (1)质点间的相互作用，r是质点间的距离. (2)匀质球体间的相互作用，匀质球体可视为质点，r是两球心间的距离. (3)当两个天体间的距离远大于天体本身的大小时，天体可视为质点. 2.万有引力计算的技巧 技巧一：割补法. 技巧二：匀质空腔对内部任意一质点的万有引力合力为0. 【题目示例】 有一厚度为 d、质量分布均匀的球壳，现将质量为 m 的质点放在球壳内任意位置处，证明：质点所受万有引力的合力为 0. 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，大球体的密度均匀、半径为R，质量为M，现挖去一半径为 的小球体，挖去的小球体与大球体表面相切，又在球外侧R处放一质量为m的质点，求大球体剩余部分对质点产生的万有引力。 【模型2　天体质量与密度】 【模型构建】 天体质量与密度计算是万有引力定律的高频应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 或 “万有引力等于重力” 为逻辑核心，通过卫星（或行星）的运行参量（周期、线速度等）或表面重力加速度，推导中心天体的质量，再结合天体体积求解密度，适用于近地卫星、同步卫星、行星绕太阳运动等场景 【模型剖析】 1.基本公式法(借助外援法：借助环绕天体运行参量) 利用已知参量结合公式求解： ρ= Mv ①若已知r与T ②若已知r与w ③若已知r与v ④若已知 R=r 2.黄金代换法 (自力更生法：借助本身g，R) 若忽略星球自转影响时利用黄金代换求解： GM=gR² (也可以用运动学求g) 【题目示例】 天文观测表明，在土星周围有一主要由冰组成的土星环，如图1所示。土星环中的物质绕土星做匀速圆周运动的线速度的平方与其到土星中心距离的倒数之间的关系如图2。已知该图线的斜率为，土星的半径为，引力常量为，以下说法正确的是（　　） A．土星的质量 B．土星表面的重力加速度 C．土星的密度 D．土星环中物质的运行周期 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 【模型3　卫星运行参量分析与比较】 【模型构建】 卫星运行参量分析模型是万有引力定律的核心应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 为逻辑主线，结合万有引力公式与向心力公式推导线速度、角速度、周期等关键参量，建立 “高轨低速长周期” 的规律体系，适用于同步卫星、近地卫星、极地卫星等不同轨道卫星的参量比较、轨道变轨分析 【模型剖析】 （1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 【题目示例】 中国科技发展两个方向：“上天”和“入地”两大工程。其中，“上天”工程指“神舟”载人飞船、天宫空间站和探月工程；“入地”工程指“蛟龙”号深海下潜．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体（已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“天宫一号”轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为；“蛟龙”号下潜深度为d，所在处的重力加速度为；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R<h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（    ） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 【模型4　卫星变轨】 【模型构建】 卫星变轨模型是万有引力定律与圆周运动结合的进阶应用，核心是以 “向心力供需平衡” 为逻辑核心，通过 “加速 / 减速改变卫星的机械能”，实现椭圆转移轨道与圆轨道的切换，分析变轨过程中速度、加速度、周期、能量等参量的变化规律，适用于发射卫星、轨道调整、交会对接等场景 【模型剖析】 1．当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小． 2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大． 卫星的发射和回收就是利用这一原理． 【题目示例】 2023年2月23日，中星26号发射成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动（离地面的高度可忽略不计），在P点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，如图所示。P点和Q点分别为轨道Ⅰ与轨道II、轨道II与轨道III的切点。已知地球半径为R，地球自转周期为T，轨道Ⅲ的半径为r，下列说法正确的是（　　） A．中星26号在转移轨道II上从P点到Q点的时间大于 B．中星26号在转移轨道II上从P点到Q点机械能增大 C．中星26号在轨道Ⅱ上经过P点的速率与经过Q点的速率之比为 D．中星26号在P点和Q点的加速度大小之比为 【推理过程】 【一题多变】 我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，初步方案是：采用长征十号火箭先后将揽月着陆器和梦舟载人飞船送入地月转移轨道，经组合变轨，两个飞行器在环月轨道图中未画出交会对接，航天员进入揽月着陆器，之后揽月着陆器被月球捕获下降并将航天员送上月面。下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在地月转移轨道上的运行速度大于 B．飞船与着陆器对接时，可以在同一轨道上向后喷气追上着陆器 C．飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小大于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小 D．飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速 【模型5　双星 多星问题】 【模型构建】 双星与多星问题是万有引力定律的综合应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 为逻辑主线，结合 “角速度相等（双星 / 多星系统共性）”“轨道半径与质量成反比（双星）”“合力提供向心力（多星）” 的规律，求解星体质量、轨道半径、周期等关键参量，适用于宇宙中双星系统、三星系统（正三角形 / 直线分布）等场景 【模型剖析】 1.双星系统 模型条件：类比杠杆原理两星均做圆周运动 模型分析：(互为相互作用力) 基本推论： A.联立(4): B.联立(1)(5) C.(2)(3)左右相加得: 以流浪地球为例： 木星吞噬地球l不变，m总不变 2.多星系统 【题目示例】 中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C。组成的三星体系，它们分别位于等边三角形的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径。忽略其他星体对它们的作用，关于这三颗星体，下列说法正确的是（　　） A．角速度大小关系是 B．线速度大小关系是 C．质量大小关系是 D．所受合力大小关系是 【模型6　天体追及相遇】 【模型构建】 天体追及相遇问题是万有引力定律与圆周运动结合的综合应用，核心是以 “角速度 / 周期差异” 为逻辑核心，结合 “圆心角关系” 分析两星体（或卫星）再次相遇（同向追及）或相距最远（反向相遇）的条件，求解相遇时间、角速度关系等关键物理量，适用于同一中心天体下的两颗卫星、行星绕太阳运动等场景 【模型剖析】 若某时刻两卫星正好同时同向通过地面同一点正上方，经过一定的时间，两星又会相距最近和相距最远。 （1）两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…) （2）两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…) （3）若反方向转动的天体相距最近的条件：ωaΔt+ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…) （4）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。 【题目示例】 2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为，轨道半径为，月球绕地球运动的周期为，轨道半径为。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为 【推理过程】 【变式探究】 世界首次同步卫星在轨燃料补加，于2025年2月20日凌晨3点由我国实践25号卫星与位于地球同步轨道上的北斗G7卫星完成对接所实现。此次燃料补加，G7卫星获得142公斤推进剂补充，为其延长8年寿命，对人类航天事业具有里程碑式的意义，其过程示意图如图所示。已知地球的自转周期为T，“实践25”和G7卫星的运行轨道Ⅰ、Ⅱ均为圆轨道且半径分别为、，“实践25”的转移轨道Ⅲ与Ⅰ、Ⅱ分别相切于A、C两点，则下列相关说法中正确的是（    ） A．“实践25”由A点加速才能进入转移轨道Ⅲ B．“实践25”沿转移轨道Ⅲ无动力到达C点时的速度与G7卫星的速度相等 C．“实践25”由A点运动至C点所用时间至少为 D．若要“实践25”与G7于C点实现对接，则“实践25”由A点变轨时，“实践25”、G7与地心连线夹角的大小应为 1. 若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（　 ） A．g1＝ B．g2＝ C．g1＝ D．g1＝ 2. 卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知。下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 3. 质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径之比为2:1，则（　　） A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于2:1 B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1:1 C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1:2 D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于1:2 4. 如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 5. 2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图甲为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道 P、Q，图乙为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．P轨道与Q轨道的半长轴之比为4:5 B．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 C．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为4:1 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 6. “双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，在万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相等的匀速圆周运动。天文学家观测到一个由两颗中子星A、B组成的双星系统，如图所示，星体A的质量为，星体B的质量为，均可看作质点，它们之间的距离为L，A到O点的距离小于B到O点的距离，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．星体A受到的向心力小于星体B受到的向心力 B．星体A的质量小于星体B的质量 C．双星做匀速圆周运动的周期为 D．双星做匀速圆周运动的周期为 7. 如图（a），“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图（b）是航天控制中心大屏幕上显示甲、乙两颗卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。已知两卫星均绕地球做圆周运动，绕行方向与地球的自转方向一致，甲卫星的周期小于乙卫星；则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两卫星的轨道一定不在同一平面 B．甲、乙两卫星的运行周期之比为 C．甲、乙两卫星的运行速度之比为 D．若甲、乙两卫星的星下点在某一时刻重合，则24小时后星下点仍会重合 8. 卫星与地心连线同地球表面的交点称为星下点（即卫星的正投影位置），如图所示为卫星A与导航卫星B绕地球的运动轨道，两卫星的轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，两颗卫星的星下点在某位置重合，一段时间后，两颗星的星下点在另一位置重合，已知卫星B的轨道半径为r，周期为12h。下列说法正确的是（　　） A．卫星A的周期可能为4h B．卫星A的周期可能为7.2h C．卫星A的半径可能为 D．卫星A的半径可能为 9. 2025年6月6日，我国成功发射互联网低轨04组卫星。如图所示，质量为的静止轨道卫星在半径为的轨道上做匀速圆周运动，周期为。质量为的互联网低轨卫星在半径为的轨道做匀速圆周运动，只考虑地球对卫星的引力，则（　　） A．地球表面的重力加速度大小为 B．地球的质量为 C．静止轨道卫星与互联网低轨卫星速度大小之比为 D．互联网低轨卫星做圆周运动的周期为 10. 人造卫星在现代生活和军事上都有广泛的应用。若在卫星上搭载激光武器，在战时可对敌方卫星进行攻击，并且当与攻击目标距离最近时，攻击效果最佳。空间站和另一地球卫星的轨道如图所示，两轨道在同一平面且均沿逆时针方向运行，二者的运动均可看成匀速圆周运动。已知卫星与地心的连线和卫星与空间站的连线的夹角的最大值约为θ=30°，地球半径为R，卫星距地表的高度为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。下列判断正确的是（　　） A．空间站和卫星的运行周期之比为1：2 B．空间站和卫星的线速度大小之比为2：1 C．从图示位置开始，空间站获得对卫星的最佳攻击时机的最短时间为 D．从图示位置开始，空间站获得对卫星的最佳攻击时机的最短时间为 11. 人造地球卫星和地心连线与地面的交点称作星下点，如图甲。人造地球卫星运动和地球自转使星下点在地球表面移动所形成的轨迹就是星下点轨迹。图乙中所示是一种近地卫星在麦卡托投影地图上的星下点轨迹图。图丙给出了几种常见卫星的轨迹，忽略轨道摄动，设本题涉及的卫星轨迹均为圆周运动。关于24小时在投影地图上的星下点轨迹，下列说法正确的是（    ） A．图①可能是某同步轨道卫星的“星下点轨迹” B．图①可能是某赤道轨道卫星的“星下点轨迹” C．图②可能是某极地轨道卫星的“星下点轨迹” D．“星下点轨迹”为图③的某倾斜轨道卫星的周期可能是6小时 12. 如图甲是国产科幻大片《流浪地球2》中人类在地球同步静止轨道上建造的空间站，人类通过地面和空间站之间的“太空电梯”往返于天地之间。图乙是人乘坐“太空电梯”时由于随地球自转而需要的向心加速度与其到地心距离的关系图像，已知为地球半径，为地球静止卫星轨道半径，下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大于赤道上物体的线速度 B．从空间站向舱外释放一物体，物体将做自由落体运动 C．地球自转的角速度满足 D．地球同步静止卫星的周期 13. 2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥+运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图1为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道P、Q，图2为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．P轨道与Q轨道的半长轴之比为 B．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 C．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 14. 如图所示，有甲、乙两颗处于不同轨道上的人造地球卫星，它们绕地球沿同一方向做匀速圆周运动时的轨道平面与地球赤道平面重合。某时刻处于赤道上的人同时观测到甲卫星恰处于地平线上，而乙卫星恰处于人的正上方，且两卫星与地心恰处于等腰直角三角形的三个顶点上，甲卫星在乙卫星的后方。若已知甲卫星的周期为，则从此时开始计时到第一次出现两卫星与地心共线经历的时间为（　　） A． B． C． D． 15. 我国高通量通信卫星进入高速时代，可实现偏远地区的移动通信基站接入及其他行业应用。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g。假设在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星P，对地球赤道覆盖的最大张角为，开始时，为增强信号变轨至（绕地球作匀速圆周运动的轨道半径由变为，赤道上有一个卫星观测站Q（图中未画出）。在两个轨道上，观测站Q能连续观测到卫星P的最长时间分别为（　　） A． B． C． D． 16. 某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上点的正上方。已知地球质量为，地球半径为，引力常量为，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是点加速度的倍 B．卫星下一次经过点正上方时，卫星转过的角度为 C．卫星转过的角度为时，卫星与点距离最远 D．卫星与点的最远距离为 17. 黑洞是存在于宇宙空间中的一种特殊天体。人们可以通过观测黑洞外的另一个天体（也称伴星）的光谱来获取信息。如图所示，若伴星绕黑洞沿逆时针方向做匀速圆周运动，伴星的轨道与地球的视向方向共面。人们在地球上观测到的伴星光谱谱线的波长，式中是光源静止时的谱线波长，为光速，为伴星在地球视向方向的分速度（以地球的视向方向为正方向）。已知引力常量，不考虑宇宙膨胀和黑洞引力导致的谱线波长变化。下列说法正确的是（　　） A．观测到伴星光谱谱线的波长，对应着伴星向靠近地球的方向运动 B．观测到伴星光谱谱线波长的最大值，对应着伴星在图中位置 C．根据伴星光谱谱线波长变化的周期和最大波长可以估测黑洞的密度 D．根据伴星光谱谱线波长变化的周期和最大波长可以估测伴星运动的半径 18. 2024年10月10日21时50分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。不同高度的卫星绕地球做圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积与卫星的线速度的倒数的关系图像如图，其斜率为。已知地球的半径为，引力常量为，卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若卫星的运动周期为，则卫星离地球表面的高度为 19. 如图所示是卫星绕不同行星在不同轨道上运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径。卫星M绕行星P运动的图线是a，卫星N绕行星Q运动的图线是b，若卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（　　） A．直线a和直线b可能不平行 B．行星P的质量小于行星Q的质量 C．卫星M在1处的向心加速度小于在2处的向心加速度 D．卫星M在2处的线速度大于卫星N在3处的线速度 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 天体运动模型 【模型1　万有引力的大小】 【模型构建】 万有引力大小计算是万有引力定律的基础应用，核心是以 “万有引力公式” 为核心，结合 “适用条件判断→距离精准取值→特殊场景等效处理” 的逻辑链，求解两物体间的万有引力大小，适用于星球间、星球与卫星 / 物体间、均匀球体间等场景 【模型剖析】 1.万有引力的表达式 表达式：F=,式中G为引力常量，r是两天体质心间的距离. 适用条件： (1)质点间的相互作用，r是质点间的距离. (2)匀质球体间的相互作用，匀质球体可视为质点，r是两球心间的距离. (3)当两个天体间的距离远大于天体本身的大小时，天体可视为质点. 2.万有引力计算的技巧 技巧一：割补法. 技巧二：匀质空腔对内部任意一质点的万有引力合力为0. 【题目示例】 有一厚度为 d、质量分布均匀的球壳，现将质量为 m 的质点放在球壳内任意位置处，证明：质点所受万有引力的合力为 0. 【推理过程】 【解析】如图甲所示，根据题意，在空腔内任选一点 P 点，过 P 点作两条线，两条线的夹角极小，两条线绕角平分线旋转一周，形成一个沙漏状的空间体，在球壳上划出两个圆弧片。由于夹角极小，因此圆弧片可看成厚度为 d 的圆片，上圆片距 P 点的距离，半径为 ，下圆片距 P 点的距离为 ，半径为 ，如图乙所示。 上圆片的质量 ，下圆片的质量 ， 上圆片对质点产生的万有引力为 ， 下圆片对质点产生的万有引力为 由几何关系知 ，由上面几个式子可知 以此类推，P 点所受万有引力的合力为 0. 结论：匀质空腔对内部任意一质点的万有引力合力为 0. 【变式探究】 如图所示，大球体的密度均匀、半径为R，质量为M，现挖去一半径为 的小球体，挖去的小球体与大球体表面相切，又在球外侧R处放一质量为m的质点，求大球体剩余部分对质点产生的万有引力。 【解析】大球体挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球体对质点产生的万有引力.若将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整的大球体对质点产生的万有引力. (a) 设完整的大球体对质点产生的万有引力为 ，由万有引力公式得 . (b) 设补上的小球体对质点产生的万有引力为 ，小球体的质量为 ，由万有引力公式可得 完整球体产生的万有引力减去挖去的小球体产生的万有引力即是剩余球体对质点产生的万有引力，故 【模型2　天体质量与密度】 【模型构建】 天体质量与密度计算是万有引力定律的高频应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 或 “万有引力等于重力” 为逻辑核心，通过卫星（或行星）的运行参量（周期、线速度等）或表面重力加速度，推导中心天体的质量，再结合天体体积求解密度，适用于近地卫星、同步卫星、行星绕太阳运动等场景 【模型剖析】 1.基本公式法(借助外援法：借助环绕天体运行参量) 利用已知参量结合公式求解： ρ= Mv ①若已知r与T ②若已知r与w ③若已知r与v ④若已知 R=r 2.黄金代换法 (自力更生法：借助本身g，R) 若忽略星球自转影响时利用黄金代换求解： GM=gR² (也可以用运动学求g) 【题目示例】 天文观测表明，在土星周围有一主要由冰组成的土星环，如图1所示。土星环中的物质绕土星做匀速圆周运动的线速度的平方与其到土星中心距离的倒数之间的关系如图2。已知该图线的斜率为，土星的半径为，引力常量为，以下说法正确的是（　　） A．土星的质量 B．土星表面的重力加速度 C．土星的密度 D．土星环中物质的运行周期 【推理过程】 【答案】C 【分析】以土星周围的土星环为情境设题，考查万有引力定律等知识。 【详解】由于土星环中的物质围绕土星做匀速圆周运动，设土星质量为，土星环中距土星中心距离为的某冰块的质量为，故有 整理可得 可知该图线的斜率，土星的质量为 根据可知土星表面的重力加速度 土星的密度 土星环中物质的运行周期，周期无法计算。 故选C。 【变式探究】 如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运行的行星（卫星），其轨道半长轴的三次方与周期的平方之比是一常数，即 由于卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，因此二者的周期相等，故A错误； B．卫星Q从H点运动到K点的过程中，卫星Q要克服万有引力做功，动能减小，速度减小，因此卫星Q从H点到K点的平均速度大于从K点到“远地点”的平均速度，故卫星从点运到点所需的时间小于，故B错误； C．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 结合密度公式， 联立解得行星的密度为，故C错误； D．在星球表面，万有引力大小等于重力的大小，则有 结合上述结论可知 联立解得，行星表面的重力加速度为，故D正确。 故选D。 【模型3　卫星运行参量分析与比较】 【模型构建】 卫星运行参量分析模型是万有引力定律的核心应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 为逻辑主线，结合万有引力公式与向心力公式推导线速度、角速度、周期等关键参量，建立 “高轨低速长周期” 的规律体系，适用于同步卫星、近地卫星、极地卫星等不同轨道卫星的参量比较、轨道变轨分析 【模型剖析】 （1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 【题目示例】 中国科技发展两个方向：“上天”和“入地”两大工程。其中，“上天”工程指“神舟”载人飞船、天宫空间站和探月工程；“入地”工程指“蛟龙”号深海下潜．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体（已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“天宫一号”轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为；“蛟龙”号下潜深度为d，所在处的重力加速度为；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】BC 【详解】A．对于“天宫一号”，根据万有引力提供向心力可得 解得 在地球表面 因此，故A错误； B．设地球质量为M，密度为，在地球表面万有引力等于重力，即 又因为 代入得 由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此，故B正确； CD．联立可得，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式探究】 如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R<h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（    ） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 【答案】BD 【详解】A.乘客在P点受到的万有引力大小为，A错误； B.是地球同步轨道上的空间站的向心加速度，因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在P点的运动半径小于地球同步轨道半径，所以乘客在P点的向心加速度小于，B正确； C.乘客所受万有引力提供向心力 解得 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在P点的线速度不等于，C错误； D.由题可知 解得，D正确。 故选BD。 【模型4　卫星变轨】 【模型构建】 卫星变轨模型是万有引力定律与圆周运动结合的进阶应用，核心是以 “向心力供需平衡” 为逻辑核心，通过 “加速 / 减速改变卫星的机械能”，实现椭圆转移轨道与圆轨道的切换，分析变轨过程中速度、加速度、周期、能量等参量的变化规律，适用于发射卫星、轨道调整、交会对接等场景 【模型剖析】 1．当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小． 2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大． 卫星的发射和回收就是利用这一原理． 【题目示例】 2023年2月23日，中星26号发射成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动（离地面的高度可忽略不计），在P点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，如图所示。P点和Q点分别为轨道Ⅰ与轨道II、轨道II与轨道III的切点。已知地球半径为R，地球自转周期为T，轨道Ⅲ的半径为r，下列说法正确的是（　　） A．中星26号在转移轨道II上从P点到Q点的时间大于 B．中星26号在转移轨道II上从P点到Q点机械能增大 C．中星26号在轨道Ⅱ上经过P点的速率与经过Q点的速率之比为 D．中星26号在P点和Q点的加速度大小之比为 【推理过程】 【答案】C 【详解】.A．中星26号在转移轨道II上运动时，其半长轴为 。同步轨道III为圆轨道，其半径为r，周期为T。根据开普勒第三定律 ，由于半长轴，所以转移轨道II的周期小于同步轨道III的周期 T。从P点到Q点的时间是转移轨道周期的一半，，A错误； B．中星26号在转移轨道II上从P点到Q点运动过程中，只受地球引力作用，因此其机械能守恒， B错误； C．中星26号在轨道II上运动时，根据开普勒第二定律，则有 解得 ，C正确； D．根据牛顿第二定律和万有引力定律，卫星在轨道上任意一点的加速度，即 ，因此，加速度大小之比为，D错误。 故选C。 【一题多变】 我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，初步方案是：采用长征十号火箭先后将揽月着陆器和梦舟载人飞船送入地月转移轨道，经组合变轨，两个飞行器在环月轨道图中未画出交会对接，航天员进入揽月着陆器，之后揽月着陆器被月球捕获下降并将航天员送上月面。下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在地月转移轨道上的运行速度大于 B．飞船与着陆器对接时，可以在同一轨道上向后喷气追上着陆器 C．飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小大于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小 D．飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速 【答案】D 【详解】A．地月转移轨道仍受地球引力主导（未脱离地球束缚），所以载人飞船的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，则载人飞船在地月转移轨道上的运行速度小于，故A错误； B．飞船与着陆器对接时，若飞船与着陆器在同一轨道上，飞船向后喷气会加速，做离心运动进入更高轨道，无法追上同一轨道的着陆器，故B错误； C．由牛顿第二定律可得 解得 由于、、都相同，所以飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小等于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小，故 C错误； D．卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，所以飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速，故 D正确。 故选D。 【模型5　双星 多星问题】 【模型构建】 双星与多星问题是万有引力定律的综合应用，核心是以 “万有引力提供向心力” 为逻辑主线，结合 “角速度相等（双星 / 多星系统共性）”“轨道半径与质量成反比（双星）”“合力提供向心力（多星）” 的规律，求解星体质量、轨道半径、周期等关键参量，适用于宇宙中双星系统、三星系统（正三角形 / 直线分布）等场景 【模型剖析】 1.双星系统 模型条件：类比杠杆原理两星均做圆周运动 模型分析：(互为相互作用力) 基本推论： A.联立(4): B.联立(1)(5) C.(2)(3)左右相加得: 以流浪地球为例： 木星吞噬地球l不变，m总不变 2.多星系统 【题目示例】 中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 【推理过程】 【答案】CD 【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 解得 故不能求出C的质量，故B错误； C．双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A研究 对B研究 解得双星的总质量，故C正确； D．A的质量，故D正确； A．A、B的轨道半径之比为，故A错误。 故选CD。 【变式探究】 如图所示，宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C。组成的三星体系，它们分别位于等边三角形的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径。忽略其他星体对它们的作用，关于这三颗星体，下列说法正确的是（　　） A．角速度大小关系是 B．线速度大小关系是 C．质量大小关系是 D．所受合力大小关系是 【答案】BCD 【详解】A．三星相等时间内转过相等圆心角，故三者角速度大小相等，故A错误； B．由图可知三星的轨道半径，由公式 可知线速度大小关系是，故B正确； C．对A受力如图 由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B对A的引力大于C对A的引力，结合万有引力定律的表达式可知B的质量大于C的质量；同理，以C为研究对象，可得A的质量大于B的质量，所以质量，故C正确； D．以A为研究对象，由余弦定理得 同理对B和C分析知，夹角相等的情况下，两星球间万有引力力越大，所受合力越大，由质量关系，可得 所以有，故D正确。 故选BCD。 【模型6　天体追及相遇】 【模型构建】 天体追及相遇问题是万有引力定律与圆周运动结合的综合应用，核心是以 “角速度 / 周期差异” 为逻辑核心，结合 “圆心角关系” 分析两星体（或卫星）再次相遇（同向追及）或相距最远（反向相遇）的条件，求解相遇时间、角速度关系等关键物理量，适用于同一中心天体下的两颗卫星、行星绕太阳运动等场景 【模型剖析】 若某时刻两卫星正好同时同向通过地面同一点正上方，经过一定的时间，两星又会相距最近和相距最远。 （1）两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…) （2）两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…) （3）若反方向转动的天体相距最近的条件：ωaΔt+ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…) （4）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。 【题目示例】 2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为，轨道半径为，月球绕地球运动的周期为，轨道半径为。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为 【推理过程】 【答案】D 【详解】AB．设太阳质量，地球质量，月球质量，地球绕太阳 月球绕地球 联立得太阳与地球质量之比为，，故AB错误； C．由于不知道太阳与地球的球体半径，故无法求出太阳与地球密度之比，故C错误； D．太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食，月球多转半圈，有 解得再次出现月全食所需时间为，故D正确。 故选D。 【变式探究】 世界首次同步卫星在轨燃料补加，于2025年2月20日凌晨3点由我国实践25号卫星与位于地球同步轨道上的北斗G7卫星完成对接所实现。此次燃料补加，G7卫星获得142公斤推进剂补充，为其延长8年寿命，对人类航天事业具有里程碑式的意义，其过程示意图如图所示。已知地球的自转周期为T，“实践25”和G7卫星的运行轨道Ⅰ、Ⅱ均为圆轨道且半径分别为、，“实践25”的转移轨道Ⅲ与Ⅰ、Ⅱ分别相切于A、C两点，则下列相关说法中正确的是（    ） A．“实践25”由A点加速才能进入转移轨道Ⅲ B．“实践25”沿转移轨道Ⅲ无动力到达C点时的速度与G7卫星的速度相等 C．“实践25”由A点运动至C点所用时间至少为 D．若要“实践25”与G7于C点实现对接，则“实践25”由A点变轨时，“实践25”、G7与地心连线夹角的大小应为 【答案】AC 【详解】A．“实践25”由A点加速离心才能进入转移轨道Ⅲ，故A正确； B．“实践25”沿转移轨道Ⅲ无动力到达C点时的速度小于G7卫星的速度，因为从低轨道进入高轨道需要加速离心，故B错误； C．根据开普勒第三定律 由A点运动至C点所用时间，故C正确； D．则“实践25”由A点变轨时，“实践25”经历运动到C点，“实践25”、G7与地心连线夹角的大小应为，故D错误。 故选AC。 1. 若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（　 ） A．g1＝ B．g2＝ C．g1＝ D．g1＝ 【答案】C 【详解】根据万有引力定律和质量分布均匀球体的球壳定理（球壳对球内质点万有引力为零），分析各位置重力加速度： - 地表重力加速度 ，其中 为地球质量， 为地球半径。 - 中国空间站在轨道高度 处，重力加速度 （万有引力提供向心力）。 - “蛟龙”号在深度 处，有效质量为半径 以内球体质量 ，重力加速度 A. 由 和 得 ，故A错误； B. 由 ，故B错误； C. 代入 得，故C正确； D. 代入 得，故D错误。 故选C。 2. 卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知。下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 【答案】ABD 【详解】A．由图可知P、Q绕行星公转的周期之比为，故A正确； B．当P离行星最近时 当离行星最远时 当离行星最近时 当离行星最远时 由开普勒第三定律可知 联立解得，故B正确； C．由B可知 解得，故C错误； D．设卫星的轨道半长轴为，半短轴为，焦距为，则有 又， 联立解得，所以的轨道长轴与短轴之比为，故D正确。 故选ABD。 3. 质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径之比为2:1，则（　　） A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于2:1 B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1:1 C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1:2 D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于1:2 【答案】A 【详解】A．由万有引力提供向心力 加速度公式为 结合质量 代入得 加速度与天体半径成正比。因半径比为2:1，故加速度之比为2:1，故A正确； B．向心力 因卫星质量相等，向心力之比等于加速度之比2:1，故B错误； C．由万有引力提供向心力 则线速度公式为 线速度与成正比，故线速度之比为2:1，故C错误； D．由万有引力提供向心力 得周期公式为 周期仅与密度有关，因密度相同，周期相等，故周期之比为1:1，故D错误。 故选A。 4. 如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】ABC 【详解】A．在P、Q组成的双星系统中，对P根据牛顿第二定律有 解得Q的质量为，故A正确； B．对于卫星M，由万有引力提供向心力得 解得P的质量为 则恒星P、Q之间的万有引力为，故B正确； C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得 解得 同理可得M的轨道半径为 对P、Q组成的双星系统有 因为，则有，，故C正确； D．如图所示 P、Q、M三星由图示位置到再次共线时，P、Q转过的圆心角与M转过的圆心角互补，则有 解得，故D错误。 故选ABC。 5. 2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图甲为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道 P、Q，图乙为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．P轨道与Q轨道的半长轴之比为4:5 B．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 C．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为4:1 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 【答案】BC 【详解】A．令两椭圆切点与地心间距为，P轨道的近地点到地心间距为，Q轨道远地点到地心间距为，根据图乙有，， P轨道与Q 轨道的半长轴分别为， 解得，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 结合上述解得，故B正确； C．天舟九号在P轨道近地点与远地点的速度分别为最大速度与最小速度，令在这两位置分别经历极短时间，根据开普勒第二定律有 结合上述解得，故C正确； D．P轨道相对于Q轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在切点位置加速，可知天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处，P轨道的速度小于Q轨道的速度，故D错误。 故选BC。 6. “双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，在万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相等的匀速圆周运动。天文学家观测到一个由两颗中子星A、B组成的双星系统，如图所示，星体A的质量为，星体B的质量为，均可看作质点，它们之间的距离为L，A到O点的距离小于B到O点的距离，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．星体A受到的向心力小于星体B受到的向心力 B．星体A的质量小于星体B的质量 C．双星做匀速圆周运动的周期为 D．双星做匀速圆周运动的周期为 【答案】D 【详解】A．星体A所需的向心力由星体B对它的万有引力提供，星体B所需的向心力由星体A对它的万有引力提供，而万有引力属于相互作用力，二者之间受到彼此的万有引力，大小相等，故二者的向心力大小相等，故A错误； B．设星体A和星体B圆周运动的半径分别为和，由于二者角速度相等，根据上述分析可得星体A所受向心力等于星体B所受向心力，即 整理可得 由图可知二者做圆周运动的半径关系为，所以二者质量大小关系为，故B错误； CD．对星体A和星体B，根据万有引力定律提供向心力可得， 又 联立可得双星做匀速圆周运动的周期为，故C错误，D正确。 故选D。 7. 如图（a），“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图（b）是航天控制中心大屏幕上显示甲、乙两颗卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。已知两卫星均绕地球做圆周运动，绕行方向与地球的自转方向一致，甲卫星的周期小于乙卫星；则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两卫星的轨道一定不在同一平面 B．甲、乙两卫星的运行周期之比为 C．甲、乙两卫星的运行速度之比为 D．若甲、乙两卫星的星下点在某一时刻重合，则24小时后星下点仍会重合 【答案】AC 【详解】A．由图可知甲的轨迹在、之间运动，乙的轨迹在 以内和以外有轨迹，甲、乙两卫星的轨道一定不在同一平面，故A正确； B．根据图b可知，甲星下点在地球上由30°E转到150°E的过程中，甲转了一圈，比地球自转多转了，可知地球转动了 则有 由甲卫星的周期小于乙卫星，根据图b可知地球自转一圈，乙卫星运动一圈，则 甲、乙两卫星的运行周期之比为，故B错误； C．由，可知 由，解得 则，故C正确； D．由，，可知若甲、乙两卫星的星下点在某一时刻重合，则24小时后星下点不会重合，故D错误。 故选AC。 8. 卫星与地心连线同地球表面的交点称为星下点（即卫星的正投影位置），如图所示为卫星A与导航卫星B绕地球的运动轨道，两卫星的轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，两颗卫星的星下点在某位置重合，一段时间后，两颗星的星下点在另一位置重合，已知卫星B的轨道半径为r，周期为12h。下列说法正确的是（　　） A．卫星A的周期可能为4h B．卫星A的周期可能为7.2h C．卫星A的半径可能为 D．卫星A的半径可能为 【答案】ABD 【详解】设卫星A的周期为T0，则它运动到地球另一侧经过的时间为（m=0，1，2……） 设导航卫星B的周期为T，则它运动到地球另一侧经过的时间为（n=0，1，2……） 由于卫星A轨道更低，周期更短，则有 卫星A再从导航卫星B正下方经过，满足 解得 设导航卫星A的半径为r′，根据开普勒第三定律可得 联立解得卫星A的轨道半径为 其中m、n取整数，且m>n； 若m=1，n=0，则， 若m=2，n=1，则， 若m=3，n=1，则， 故选ABD。 9. 2025年6月6日，我国成功发射互联网低轨04组卫星。如图所示，质量为的静止轨道卫星在半径为的轨道上做匀速圆周运动，周期为。质量为的互联网低轨卫星在半径为的轨道做匀速圆周运动，只考虑地球对卫星的引力，则（　　） A．地球表面的重力加速度大小为 B．地球的质量为 C．静止轨道卫星与互联网低轨卫星速度大小之比为 D．互联网低轨卫星做圆周运动的周期为 【答案】B 【详解】AB．对有 由黄金代换式有（R为地球半径） 联立解得，，故A错误，B正确； C．对卫星有 解得 可知静止轨道卫星与互联网低轨卫星速度大小之比为，故C错误； D．根据开普勒第三定律有 解得，故D错误。 故选B。 10. 人造卫星在现代生活和军事上都有广泛的应用。若在卫星上搭载激光武器，在战时可对敌方卫星进行攻击，并且当与攻击目标距离最近时，攻击效果最佳。空间站和另一地球卫星的轨道如图所示，两轨道在同一平面且均沿逆时针方向运行，二者的运动均可看成匀速圆周运动。已知卫星与地心的连线和卫星与空间站的连线的夹角的最大值约为θ=30°，地球半径为R，卫星距地表的高度为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。下列判断正确的是（　　） A．空间站和卫星的运行周期之比为1：2 B．空间站和卫星的线速度大小之比为2：1 C．从图示位置开始，空间站获得对卫星的最佳攻击时机的最短时间为 D．从图示位置开始，空间站获得对卫星的最佳攻击时机的最短时间为 【答案】C 【详解】A．连接地心与空间站，地心、卫星、空间站三点构成直角三角形，有 根据万有引力定律及牛顿第二定律，有 整理得 则空间站与卫星的运行周期之比，故A错误； B．根据万有引力定律及牛顿第二定律，有 整理得 则空间站与卫星的线速度之比为，B错误； CD．图示位置空间站与地心连线、卫星与地心连线夹角为60°，对卫星，有 解得 根据 得 地球表面重力加速度可表示为 则追及时间 故C正确，D错误。 故选C。 11. 人造地球卫星和地心连线与地面的交点称作星下点，如图甲。人造地球卫星运动和地球自转使星下点在地球表面移动所形成的轨迹就是星下点轨迹。图乙中所示是一种近地卫星在麦卡托投影地图上的星下点轨迹图。图丙给出了几种常见卫星的轨迹，忽略轨道摄动，设本题涉及的卫星轨迹均为圆周运动。关于24小时在投影地图上的星下点轨迹，下列说法正确的是（    ） A．图①可能是某同步轨道卫星的“星下点轨迹” B．图①可能是某赤道轨道卫星的“星下点轨迹” C．图②可能是某极地轨道卫星的“星下点轨迹” D．“星下点轨迹”为图③的某倾斜轨道卫星的周期可能是6小时 【答案】B 【详解】A．同步卫星相对于地面静止，星下点轨迹为一个点，因此图①不可能是同步轨道卫星的轨迹，故A错误； B．赤道轨道卫星的轨道在赤道平面，若其周期与地球自转周期不同（非同步），星下点会沿赤道移动；若周期为24小时（同步），星下点固定。图①轨迹沿赤道，因此可能是赤道轨道卫星的轨迹，故B正确； C．极地轨道卫星轨道过南北两极，星下点轨迹会覆盖全球（南北极之间），而图②轨迹未体现这一特点，故C错误； D．倾斜轨道卫星的周期为6小时，24小时运行四个周期，而地球仅自转一周，故星下点轨迹应能覆盖所有经度，故D错误。 故选B。 12. 如图甲是国产科幻大片《流浪地球2》中人类在地球同步静止轨道上建造的空间站，人类通过地面和空间站之间的“太空电梯”往返于天地之间。图乙是人乘坐“太空电梯”时由于随地球自转而需要的向心加速度与其到地心距离的关系图像，已知为地球半径，为地球静止卫星轨道半径，下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大于赤道上物体的线速度 B．从空间站向舱外释放一物体，物体将做自由落体运动 C．地球自转的角速度满足 D．地球同步静止卫星的周期 【答案】AD 【详解】A．根据可知空间站的线速度大于赤道上物体的线速度，A正确； B．太空中的物体处于完全失重状态，从舱外释放一物体，物体将仍然做圆周运动，不会做自由落体运动，故B错误； C．由图可知 根据圆周运动的向心加速度与角速度的关系可得 所以 即地球自转角速度大小满足，故C错误； D．由于 解得 故其周期为,故D正确。 故选AD。 13. 2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥+运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图1为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道P、Q，图2为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．P轨道与Q轨道的半长轴之比为 B．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 C．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 【答案】B 【详解】A．由题图2可知，P轨道受到的最小引力与最大引力之比为，Q轨道的最小引力与最大引力之比为。由万有引力定律有 所以P轨道近地点与球心的距离和远地点与球心的距离之比为，同理Q轨道近地点与球心的距离和远地点与球心的距离之比为。设P轨道近地点与球心的距离为a，则P轨道的长轴为4a，Q轨道的长轴为8a，所以半长轴之比为，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 结合之前的分析可知，，故B正确； C．天舟九号在P轨道上最近点与最远点时，在极短的相等时间间隔内，根据开普勒第二定律有 解得，故C错误； D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处点火加速才可以从P轨道进入Q轨道，因此在该切点处速度大小不相等，故D错误。 故选B。 14. 如图所示，有甲、乙两颗处于不同轨道上的人造地球卫星，它们绕地球沿同一方向做匀速圆周运动时的轨道平面与地球赤道平面重合。某时刻处于赤道上的人同时观测到甲卫星恰处于地平线上，而乙卫星恰处于人的正上方，且两卫星与地心恰处于等腰直角三角形的三个顶点上，甲卫星在乙卫星的后方。若已知甲卫星的周期为，则从此时开始计时到第一次出现两卫星与地心共线经历的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球半径为R，甲、乙两卫星绕地心做匀速圆周运动，半径分别为、，设人在地表赤道点处观测到甲在地平线上，即人、甲连线恰为该处切线，可得甲的轨道半径与地球半径满足 乙在人的正上方，且两卫星与地心恰处于等腰直角三角形的三个顶点上，则 根据开普勒第三定律可得 解得 两卫星绕地球同向匀速转动，由几何可知，初始两卫星与地心连线的夹角为。 卫星角速度分别为、 要使两卫星第一次和地心共线，满足 解得 故选 C。 15. 我国高通量通信卫星进入高速时代，可实现偏远地区的移动通信基站接入及其他行业应用。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g。假设在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星P，对地球赤道覆盖的最大张角为，开始时，为增强信号变轨至（绕地球作匀速圆周运动的轨道半径由变为，赤道上有一个卫星观测站Q（图中未画出）。在两个轨道上，观测站Q能连续观测到卫星P的最长时间分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设地球质量为M，卫星P的质量为m，根据万有引力提供向心力，有 轨道半径为 在地球表面根据万有引力等于重力，有 联立可得 通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星P和地面测控站Q不能一直保持直接通讯，也就监测不到。设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2时就不能通讯，根据几何关系可得：当时，， 联立解得 当时 故选CD。 16. 某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上点的正上方。已知地球质量为，地球半径为，引力常量为，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是点加速度的倍 B．卫星下一次经过点正上方时，卫星转过的角度为 C．卫星转过的角度为时，卫星与点距离最远 D．卫星与点的最远距离为 【答案】CD 【详解】A．设卫星的高度为，则卫星的向心加速度大小 位于P点处物体的向心加速度大小 则 对卫星，根据万有引力提供向心力可得 解得 联立解得，故A错误； B．卫星下一次经过点正上方时，设卫星转了m圈，P点转了n圈（m、n为正整数），则有 解得， 则卫星转过的角度为，故B错误； C．根据 可得卫星的角速度和点的角速度之比为 则卫星转过的角度为时，即2圈半，点刚好转过一圈，此时卫星与点距离最远，故C正确； D．卫星与点的最远距离为，故D正确。 故选CD。 17. 黑洞是存在于宇宙空间中的一种特殊天体。人们可以通过观测黑洞外的另一个天体（也称伴星）的光谱来获取信息。如图所示，若伴星绕黑洞沿逆时针方向做匀速圆周运动，伴星的轨道与地球的视向方向共面。人们在地球上观测到的伴星光谱谱线的波长，式中是光源静止时的谱线波长，为光速，为伴星在地球视向方向的分速度（以地球的视向方向为正方向）。已知引力常量，不考虑宇宙膨胀和黑洞引力导致的谱线波长变化。下列说法正确的是（　　） A．观测到伴星光谱谱线的波长，对应着伴星向靠近地球的方向运动 B．观测到伴星光谱谱线波长的最大值，对应着伴星在图中位置 C．根据伴星光谱谱线波长变化的周期和最大波长可以估测黑洞的密度 D．根据伴星光谱谱线波长变化的周期和最大波长可以估测伴星运动的半径 【答案】AD 【详解】A．由于题中规定地球的视向方向为正方向，且，当观测到伴星光谱谱线的波长，表明为负值，则的方向与视向方向相反，即对应着伴星向靠近地球的方向运动，故A正确； B．根据上述可知，若观测到伴星光谱谱线波长的最大值，则的方向与视向方向相同，且该分速度达到最大值，即该位置对应着伴星在图中位置关于黑洞对称的位置，故B错误； C．伴星绕黑洞做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 结合上述可以求出黑洞的质量，但是由于不知道黑洞自身的半径，因此无法求出黑洞的密度，故C错误。 D．根据图像可知，伴星光谱谱线波长变化的周期等于伴星绕黑洞做圆周运动的周期，由于伴星光谱谱线波长的最大值位置对应着伴星在图中位置关于黑洞对称的位置，此时分速度即等于伴星绕黑洞圆周运动的线速度，令最大波长与伴星绕黑洞圆周运动的线速度分别为、，则有，根据线速度与周期的关系有，解得，故D正确； 故选AD。 18. 2024年10月10日21时50分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。不同高度的卫星绕地球做圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积与卫星的线速度的倒数的关系图像如图，其斜率为。已知地球的半径为，引力常量为，卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若卫星的运动周期为，则卫星离地球表面的高度为 【答案】BC 【详解】A．卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积 联立得，其斜率 可得地球的质量为，故A错误； B．地球的密度为，故B正确； C．由 地球的第一宇宙速度为，故C正确； D．由 卫星离地球表面的高度为，故D错误。 故选BC 。 19. 如图所示是卫星绕不同行星在不同轨道上运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径。卫星M绕行星P运动的图线是a，卫星N绕行星Q运动的图线是b，若卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（　　） A．直线a和直线b可能不平行 B．行星P的质量小于行星Q的质量 C．卫星M在1处的向心加速度小于在2处的向心加速度 D．卫星M在2处的线速度大于卫星N在3处的线速度 【答案】B 【详解】A．设中心天体质量为M，由万有引力提供向心力 得 两边同时取对数，整理可得 由该式可知，图像的斜率为 ，与行星的质量无关，故直线a和直线b一定平行，故A错误； B．由 可知，图像与纵轴的交点为，结合图像可知 故，故B正确； C．根据万有引力提供向心力有 得 由图像可知，卫星M在1处的轨道半径小于在2处的轨道半径，故卫星M在1处的向心加速度大于在2处的向心加速度，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 得 因行星P的质量小于行星Q的质量，卫星M在2处的轨道半径大于卫星N在3处的轨道半径，故卫星M在2处的线速度小于卫星N在3处的线速度，故D错误。 故选B。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $