专题08 动能定理及其应用（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦动能定理及其应用核心知识点，系统梳理变力做功求解、与图像结合、阻尼运动分析、多过程问题处理等模型，构建从原理理解到综合应用的递进式学习支架。 资料以模型建构为核心，通过“模型构建-剖析-示例-变式”四环节培养科学思维，结合滑块斜面、圆弧轨道等实例强化科学推理，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，深化能量观念与问题解决能力。

专题08 动能定理及其应用 【模型1　求解变力做功】 【模型构建】 利用动能定理求解变力做功是解决变力做功问题的首选方法，核心逻辑是绕过变力的复杂过程分析，通过 “动能变化量” 与 “恒力做功” 的差值间接求解变力做功，适用于恒力、变力同时做功的复杂场景（如弹簧弹力、圆周运动向心力、流体冲击力等做功） 【模型剖析】 1．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－Ek1. 2．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做功是引起物体动能变化的原因． 3．适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功． (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用． 4．应用技巧：若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑． 【题目示例】 如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法不正确的是(　　) A．木板对小物块做功为mv2 B．摩擦力对小物块做功为mgLsin α C．支持力对小物块做功为mgLsin α D．滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsin α 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h.当人以速度v从平台的边缘处向右匀速前进位移x时，则(　　) A．在该过程中，物块的运动可能是匀速的 B．在该过程中，人对物块做的功为 C．在该过程中，人对物块做的功为mv2 D．人前进x时，物块的运动速率为 【模型2　动能定理与图像】 【模型构建】 动能定理与图像结合的题型，是物理 “功和能” 板块的高频综合考点，核心逻辑是利用图像的几何意义（如面积、斜率）求解力做的功，再结合动能定理分析物体的速度、动能变化。常见的关联图像有F-x图像、v-t图像、a-t图像等，解题的关键是明确图像物理意义→提取图像信息计算做功→联立动能定理求解未知量 【模型剖析】 1.图像所围“面积”和图像斜率的含义 2.解决动能定理与图像问题的基本步骤 【题目示例】 “踢毽子”是我国一项传统的民间游戏，一次玩耍过程中，毽子以一定的初速度竖直向上被踢出，然后又落回到出发点。已知毽子受到的空气阻力与速率成正比，则该过程中毽子的位移x、加速度a、重力势能Ep、动能Ek和时间t的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【变式探究】 如图甲，将物块从倾角的斜面顶端由静止释放。取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能重力势能，与下滑位移间的关系如图乙所示，取，下列说法错误的是（　　） A．物块的质量是 B．物块受到的阻力是 C．物块动能与势能相等时的高度为 D．物块下滑时，动能与重力势能之差为 【模型3　动能定理求解阻尼运动】 【模型构建】 阻尼运动的核心特征是物体运动过程中受到与运动方向相反的阻力（阻力大小可能与速度相关，属于变力），导致动能持续损耗，运动状态逐渐衰减。利用动能定理求解阻尼运动，核心逻辑是绕过变力阻力的复杂过程分析，通过初末状态的动能变化，间接求解阻尼力做的功或相关物理量，适用于空气阻尼、流体阻尼、摩擦阻尼等场景 【模型剖析】 1、定过程：明确研究的运动阶段，确定初末状态的速度； 2、算主动功：计算主动力（重力、恒力等）做的功； 3、列动能定理：代入公式； 4、求未知量：根据已知条件，求解或速度v。 【题目示例】 如图所示，斜面倾角为θ，质量为m 的滑块在距挡板P的距离为x₀的A点以初 速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦 因数为μ，且μ<tanθ，若滑块每次与挡板相 碰，碰后以原速率返回，重力加速度为g，求 滑块在斜面上运动的最大路程。 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，竖直固定放置的斜面 DE与一光滑的圆弧轨道ABC相连，C为切 点，圆弧轨道的半径为R，斜面的倾角为θ。现 有一质量为m的滑块从D点无初速下滑，滑 块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动，已 知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面 上，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加 速度为g，求： (1)滑块第一次至左侧AC弧上时，距A 点的最小高度差h; (2)滑块在斜面上能通过的最大路程s. 【模型4　动能定理求解多过程问题】 【模型构建】 动能定理求解多过程问题的核心逻辑是 “分段应用动能定理” 或 “全程应用动能定理”，通过分析每个子过程的受力做功情况，或整合全程的总功与初末状态动能，绕过复杂的运动学阶段分析（如加速度变化、速度方向改变），直接建立功与动能变化的关联。该模型适用于直线、曲线结合的多阶段运动 【模型剖析】 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【题目示例】 如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，小物体到达轨道的最高点D时受到的弹力等于。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达C点的速度大小； （2）B和C两点的高度差； （3）小物块运动到圆形挡板A、B中点F（图中未画出）的速度大小。 【推理过程】 【变式探究】 今年冬天，南海公园、赛罕塔拉、包头乐园为吸引游客，兴建了滑雪游乐场，某公园的滑雪场设置了如图所示滑道跳雪游戏项目：滑道由高为H的斜面滑道AB、水平滑道BC和高为h的斜面滑道CD 三部分组成，AC水平距离为L，CD 滑道的倾角固定，为45°，游客脚上的滑雪板与三段滑道之间的动摩擦因数均为μ=0.25，游客从A点由静止开始下滑，经过水平滑道BC过渡后由C点水平飞出，若不计在B点的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．只要H和L一定，不管滑道AB的倾角有多大，游客从C点飞出的速度一定 B．若游客落在滑道CD的不同点上，则落在滑道的各点速度方向不相同 C．其他条件不变，为保证游客落在滑道CD上，L可以设计适当短一些 D．当3H=L+h时，游客恰好落在D点 1. 高铁是我国的一张亮丽名片，高铁技术处于世界领先水平。高铁组是由长度相同的动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。某和谐号动车组由8节车厢组成，其中第1、第3和第5节车厢为动车，其余为拖车。假设动车组各车厢质量均为，每节动车的额定功率均为，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比（比例系数为）。下列说法正确的是（　　） A．开启两节动车和三节动车全开启行驶时的最大行驶速度之比为 B．动力全开启匀加速出站时第1、2节车厢间与第4、5节车厢间的作用力之比为 C．和谐号匀加速出站时第1节车厢和第3节车厢通过启动时与车头前端齐平的电线杆的时间之比为 D．和谐号进站时，关闭发动机后仅在运动阻力作用下滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比 2. 如图1所示，O点处固定有力传感器，长为l的轻绳一端与力传感器相连，另一端固定着一个小球。现让小球在最低点以某一速度开始运动，设轻绳与竖直方向的角度为（如图所示），图2为轻绳弹力大小F随变化的部分图像。图2中a为已知量，不考虑空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．小球质量为 B．小球在与圆心等高处时的速度为 C．小球运动到时的动能为 D．小球在最低点时对细线的拉力为4a 3. 用两根等长、不可伸长的轻质细线将质量为的小球悬挂在水平天花板上，小球处于静止状态，两根细线与水平方向的夹角均为，细线1的拉力大小为；剪断细线2的瞬间，细线1的拉力大小为；小球摆至最低点时，细线1的拉力大小为。不计空气阻力，已知，则下列表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 4. 如图所示，水平地面上竖直固定一个挡板，紧靠挡板放置一球体，球心为O，Q为球体表面上的点，OQ与水平面成角。从挡板上的P点，把一可视为质点的小球沿与竖直方向成角方向，以初速度斜向上抛出，小球运动轨迹与球O相切于Q点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．小球在P点的动能比在Q点的动能大 B．小球在P点的动能与在Q点的动能相等 C．小球从P到Q的运动时间 D．P、Q两点间的水平距离为 5. 一段公路由一部分平直的下坡路与一部分水平路组成，两段平滑连接，下坡路的坡度较小，汽车（质量为m）在下坡路和水平路上行驶受到的阻力大小均为。此汽车从下坡路的顶端由静止启动，其运动的速率图像如图所示，段为直线，从时刻开始汽车的功率保持恒定。题干和图中所给的量都为已知量，则由图像可知（   ） A．汽车运动过程中的最大功率为 B．在时间内，汽车的牵引力恒定，其大小为 C．从时刻开始，汽车在水平路段行驶 D．可以求出汽车在时间内的位移 6. 某趣味竞技小组设计了一种比赛规则：参赛者站在离得分区域边界一定的距离外将石块斜向上抛出，石块落地碰撞瞬间认为竖直方向速度减为零，水平方向速度减小，落地后石块滑行一段距离，最终停在得分区域某位置并判断得分。如图所示，某同学比赛时在距地面的高度以大小，方向与水平地面成的初速度将石块斜向上抛出，已知出手点距得分区域边界的水平距离，每个得分区域的宽度，石块与水平地面间的动摩擦因数，石块与地面碰撞前、后动能的比值为，重力加速度大小g取，，不计空气阻力，石块轨迹所在平面与边界垂直，则石块最终停止的位置为（　　） A．5分区域 B．7分区域 C．9分区域 D．3分区域 7. 2025年9月29日，长征二号丁运载火箭第100次发射，在西昌成功发射试验三十号卫星01、02星，创下单一型号火箭百发全胜纪录。已知卫星01的质量为m，在轨道上稳定运行时，可视为离地面高度为h的匀速圆周运动，地球表面附近的重力加速度为g，地球半径为R。不考虑地球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．火箭加速升空过程中，卫星处于失重状态 B．在轨道上稳定运行时，卫星的线速度将大于地球的第一宇宙速度 C．在轨道上运行时，卫星的动能为 D．在轨道上运行时，卫星的速度大小为 8. 由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。已知图中虚线为不考虑空气阻力时炮弹的运动轨迹，O、a、b、c、d为“弹道曲线”上的五点，其中O为发射点，d为落地点，b为轨迹的最高点，a、c两点距地面的高度相等，且空气阻力可认为与速度平方成正比。则（   ） A．炮弹到达b点时速度为0 B．炮弹由b点到d点的过程中加速度逐渐变大 C．炮弹由a点到b点的时间一定小于由b点到c点的时间 D．炮弹经过d点时的动能一定大于经过a点时的动能 9. 电梯钢丝绳挂在电动机绳轮上，一端悬吊轿厢，另一端悬吊配重装置。钢绳和绳轮间产生的摩擦力能驱使轿厢上下运动，若电梯轿厢质量为，配重为，某次电梯轿厢由静止开始上升的图像如图乙所示，不计空气阻力及钢绳重力，重力加速度取，下列说法正确的是（    ） A．电梯轿厢在第1s内处于超重状态 B．电梯轿厢在第11s内处于超重状态 C．在第11s内，电动机做的机械功为 D．上升过程中，钢绳对轿厢做功的最大功率为 10. 如图所示为我国自主研发的第一台全地面起重机QAY25，起重范围从25t到2600t。若该起重机由静止开始竖直提升质量为200t的物体，其图像如图所示，不计其它阻力，g取，下列说法正确的是（　　） A．起重机的额定功率为 B．重物上升的最大速度为12m/s C．重物0~10s内做匀变速直线运动 D．7s内起重机对重物做的功为 11. 如图所示，物体质量为m，放在可绕竖直转轴转动的水平圆台上，离转轴的距离为R，物体与圆台间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物体可视为质点。圆台旋转的角速度由0开始缓慢增大，直至物体刚要相对圆台滑动，下列说法正确的是（　　） A．即将滑动时圆台的角速度大小为 B．即将滑动时圆台的转速为 C．在此过程中静摩擦力对物体做功为 D．在此过程中静摩擦力方向与运动方向相同 12. 如图所示，轻质弹簧的一端连接在天花板的O点，另一端与质量为m的圆环（视为质点）相连，圆环套在光滑的竖直细杆上。先将圆环从与O点等高的A点由静止释放，经过B点最终到达C点，已知圆环经过A、B、C三点时，弹簧弹力的功率相等，圆环在C点时弹簧的弹性势能是在A点时的两倍，，，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．圆环从A点运动至B点的过程中，圆环先加速后减速 B．圆环从B点运动至C点的过程中，弹簧的弹性势能一直增大 C．圆环在A点时，弹簧的弹性势能为2.5mgh D．圆环经过B点的速度为 13. 如图所示，一辆货车在水平公路上以速度做匀速直线运动，车厢内放置一质量为m的箱子，与车厢保持相对静止。货车突然遇到紧急情况刹车，当货车和箱子均停止时，箱子相对车厢向前滑行的距离为x。已知箱子与车厢间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．货车对箱子做的功为-μmgx B．箱子对货车做的功为-μmgx C．合外力对箱子做的功为 D．箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为μmgx 14. 如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 15. 如图所示，底面半径为r的圆筒竖直放置，内表面光滑，筒壁上的A、B两点的高度差为h，B点在A点的正下方，让质量为m的小球（视为质点）在A点获得一个沿筒壁切线方向的水平初速度，然后小球沿着筒壁螺旋下降，最后运动到B点，在运动过程中筒壁对小球的弹力大小为2mg（g为重力加速度大小），下列说法正确的是（    ） A．小球从A点运动到B点的过程中动能增加mgh B．小球在A点获得的初速度大小为 C．小球运动到B点时的速度大小为2+2 D．h=n²π²r（n=1，2，3，…） 16. 一种力学探究装置如图甲所示，光滑斜面与水平面间的夹角，斜面内固定一半径为的光滑圆轨道，为圆轨道的圆心，为与平行的水平直径。置于圆轨道最低点的小球（可视为质点）获得大小不同的水平初速度后，小球沿轨道运动至某一位置时，小球与轨道间恰无作用力，设此时小球与点的连线与的夹角为，已知重力加速度为，若得到的与的关系图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．满足条件的最小值为 B．满足条件的最大值为 C．该图线的斜率等于3 D．该图线纵轴上的截距等于1 17. 2025年秋某高校开学后进行军训，如图所示，质量为的小明（可视为质点），抓住一端固定在点的轻绳，以点为圆心摆到与竖直方向夹角的点时，松手沿切线方向飞出。若在空中经过最高点时的速度为，绳长为，为最低点，不计轻绳质量和空气阻力，重力加速度大小为。则（　　） A．小明在处克服重力的瞬时功率为 B．小明从运动到的过程中，处于超重状态 C．小明在处受到轻绳的作用力大小为 D．若到水面的高度为、间高度的4倍，则小明落水点到点的水平距离为 18. 如图甲所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为的小球从弹簧上端由静止下落。若以小球开始下落的位置为坐标原点，沿竖直向下建立坐标轴，小球下落至最低点过程中的图像如图乙所示（图中坐标值皆已知），不计空气阻力，小球可看作质点，重力加速度为。则（　　） A．劲度系数 B．小球向下运动过程中最大速度 C．弹簧最大弹力 D．小球向下运动过程中最大加速度 19. 如图所示为在某一水平面进行的小游戏装置简化图，装置由固定平面光滑圆弧挡板（垂直于平面固定，为圆心，半径为）和轻弹簧组成。弹簧一端固定在点，另一端与质量为的小物块（可视为质点）接触（不栓接）。水平面区域光滑，区域粗糙，弹簧中心轴线恰好在点与圆弧挡板相切。先用外力缓慢推小物块将弹簧沿轴线方向压缩一段距离后由静止释放，小物块被弹出后正好从点进入圆弧挡板沿着挡板运动，从点运动圆弧到点的时间为；设小物块与平面间动摩擦因数为（未知），已知重力加速度大小为，点在同一直线上。求： (1)压缩弹簧时推力所做的功； (2)物块沿挡板运动时整个装置对它的作用力大小； (3)为使得小物块能停在之间，动摩擦因数满足的条件。（结果可保留） 20. 某学习小组自行研制的一弹射游戏装置如图所示，该装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道、圆心为的竖直半圆轨道、圆心为的竖直半圆管道DEF（内径略大于滑块，远小于管道半径）、水平直轨道FG组成，轨道各部分平滑连接。已知弹射器要弹射的滑块（视为质点）的质量，滑块被弹出后沿各轨道运动，已知半圆轨道的半径，半圆管道的半径，滑块与轨道间的动摩擦因数，其余各部分轨道、管道及台面均光滑，轨道的长度。不计空气阻力，取重力加速度大小。 (1)若滑块被弹射器弹开后恰能沿轨道到达点，求滑块到达点时的速度大小，并通过计算判断滑块能否继续沿管道通过点； (2)若滑块最终静止在轨道上，求滑块静止时到点的最小距离及滑块离开弹射器时的最大速度； (3)若滑块离开弹射器时的速度大小，求滑块落到水平台面上的位置与点间的距离。 21. 如图所示，质量为m的小物块（视为质点）从某一高度处的A点以的初速度水平抛出，恰好沿切线方向从B点进入一由圆弧轨道BC和水平轨道CD组成的轨道，圆弧轨道BC与水平轨道CD相切于C处，圆弧BC所对应的圆心角，半径为。水平轨道CD上宽度为的M、N之间存在一个特殊区域，小物块进入M、N之间就会受到一个大小为恒定向右的作用力。平台MN两点间粗糙，其余部分光滑，M、N的右侧有一个弹性卡口，当小物块到达弹性卡口处的速度大于时可通过，速度不大于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的。已知重力加速度为g，，。求： (1)小物块通过B点时的速度大小； (2)小物块滑到圆弧轨道的C点时，小滑块对圆弧轨道的压力大小； (3)若小物块与M、N之间的动摩擦因数，小物块在M、N间通过的路程； (4)若小物块与M、N之间的动摩擦因数，小物块在M、N间通过的路程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 动能定理及其应用 【模型1　求解变力做功】 【模型构建】 利用动能定理求解变力做功是解决变力做功问题的首选方法，核心逻辑是绕过变力的复杂过程分析，通过 “动能变化量” 与 “恒力做功” 的差值间接求解变力做功，适用于恒力、变力同时做功的复杂场景（如弹簧弹力、圆周运动向心力、流体冲击力等做功） 【模型剖析】 1．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－Ek1. 2．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做功是引起物体动能变化的原因． 3．适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功． (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用． 4．应用技巧：若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑． 【题目示例】 如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法不正确的是(　　) A．木板对小物块做功为mv2 B．摩擦力对小物块做功为mgLsin α C．支持力对小物块做功为mgLsin α D．滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsin α 【推理过程】 解析　在抬高A端的过程中，小物块受到的摩擦力为静摩擦力，其方向和小物块的运动方向时刻垂直，故在抬高阶段，摩擦力并不做功，这样在抬高小物块的过程中，由动能定理得：WFN＋WG＝0，即WFN－mgLsin α＝0，所以WFN＝mgLsin α.在小物块下滑的过程中，支持力不做功，滑动摩擦力和重力做功，由动能定理得：WG＋Wf＝mv2，即Wf＝mv2－mgLsin α，B错，C、D正确．在整个过程中，设木板对小物块做的功为W，对小物块在整个过程由动能定理得W＝mv2，A正确． 【变式探究】 如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h.当人以速度v从平台的边缘处向右匀速前进位移x时，则(　　) A．在该过程中，物块的运动可能是匀速的 B．在该过程中，人对物块做的功为 C．在该过程中，人对物块做的功为mv2 D．人前进x时，物块的运动速率为 解析　设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v物＝vcos θ，而cos θ＝，故v物＝＝，可见物块的速度随x的增大而增大，A、D均错误；人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W＝mv＝，B正确，C错误． 【模型2　动能定理与图像】 【模型构建】 动能定理与图像结合的题型，是物理 “功和能” 板块的高频综合考点，核心逻辑是利用图像的几何意义（如面积、斜率）求解力做的功，再结合动能定理分析物体的速度、动能变化。常见的关联图像有F-x图像、v-t图像、a-t图像等，解题的关键是明确图像物理意义→提取图像信息计算做功→联立动能定理求解未知量 【模型剖析】 1.图像所围“面积”和图像斜率的含义 2.解决动能定理与图像问题的基本步骤 【题目示例】 “踢毽子”是我国一项传统的民间游戏，一次玩耍过程中，毽子以一定的初速度竖直向上被踢出，然后又落回到出发点。已知毽子受到的空气阻力与速率成正比，则该过程中毽子的位移x、加速度a、重力势能Ep、动能Ek和时间t的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】D 【详解】A．毽子不是做匀速运动，位移和时间的关系不可能是线性关系，故A错误； B．毽子上升和下降过程中加速度的方向始终向下，所以不会反向，故B错误； C．重力势能先增大后减小，与高度成线性关系，不是与时间成线性关系，故C错误： D．动能Ek与时间t变化关系图像的斜率表示合力的功率，上升过程中，合力的功率一直减小，下降过程中，合力的功率先增大后减小，故D正确。 故选D。 【变式探究】 如图甲，将物块从倾角的斜面顶端由静止释放。取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能重力势能，与下滑位移间的关系如图乙所示，取，下列说法错误的是（　　） A．物块的质量是 B．物块受到的阻力是 C．物块动能与势能相等时的高度为 D．物块下滑时，动能与重力势能之差为 【答案】B 【详解】A．由图知，小球下滑的最大位移为x=12m，在最高点时，小球的重力势能 得小球的质量为 故A正确； B．根据除重力以外其他力做的功 可知 由图知，最高点的机械能为 最低点的机械能为 又 解得，阻力为 故B错误； C．设小球动能和重力势能相等时的高度为h，此时有 由动能定理有 联立解得 故C正确； D．由图可知，在物块下滑9m处，小球的重力势能是3J，动能为6J，动能与重力势能之差为 故D正确。 本题选择错误的，故选B。 【模型3　动能定理求解阻尼运动】 【模型构建】 阻尼运动的核心特征是物体运动过程中受到与运动方向相反的阻力（阻力大小可能与速度相关，属于变力），导致动能持续损耗，运动状态逐渐衰减。利用动能定理求解阻尼运动，核心逻辑是绕过变力阻力的复杂过程分析，通过初末状态的动能变化，间接求解阻尼力做的功或相关物理量，适用于空气阻尼、流体阻尼、摩擦阻尼等场景 【模型剖析】 1、定过程：明确研究的运动阶段，确定初末状态的速度； 2、算主动功：计算主动力（重力、恒力等）做的功； 3、列动能定理：代入公式； 4、求未知量：根据已知条件，求解或速度v。 【题目示例】 如图所示，斜面倾角为θ，质量为m 的滑块在距挡板P的距离为x₀的A点以初 速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦 因数为μ，且μ<tanθ，若滑块每次与挡板相 碰，碰后以原速率返回，重力加速度为g，求 滑块在斜面上运动的最大路程。 【推理过程】 【解析】滑块以初速度v。沿斜面上滑，做减速 运动，当速度减小为0时，因μ<tanθ，故滑 块又沿斜面下滑，与挡板相碰再上滑，速度减小为0再下滑，再相碰，再上滑，无限重复。由 于摩擦阻力作用，滑块每次与挡板相碰后上滑的距离都不及上一次远，滑块上滑的最高点一点一点接近挡板，最终停在挡板处。 设滑块在整个过程中运动的路程为s，滑 动摩擦力始终做负功，重力做功与路径无关， 只考虑初末状态即可，由动能定理得 解得 【变式探究】 如图所示，竖直固定放置的斜面 DE与一光滑的圆弧轨道ABC相连，C为切 点，圆弧轨道的半径为R，斜面的倾角为θ。现 有一质量为m的滑块从D点无初速下滑，滑 块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动，已 知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面 上，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加 速度为g，求： (1)滑块第一次至左侧AC弧上时，距A 点的最小高度差h; (2)滑块在斜面上能通过的最大路程s. 【解析】(1)滑块运动到AC弧上距A点距离 最近时，滑块的速度为零，由动能定理得 解得 (2)滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往 复运动，由于存在摩擦力的阻碍，滑块滑动的 最大高度会逐渐减低，当滑块运动的最高点 为C点时，滑块不会再滑上斜面，滑块仅在光滑圆弧上做左右往复运动，故运动到C点的速度为0. 由动能定理得 解得 综上所述，滑块在斜面上运动的最大路程为 . 【模型4　动能定理求解多过程问题】 【模型构建】 动能定理求解多过程问题的核心逻辑是 “分段应用动能定理” 或 “全程应用动能定理”，通过分析每个子过程的受力做功情况，或整合全程的总功与初末状态动能，绕过复杂的运动学阶段分析（如加速度变化、速度方向改变），直接建立功与动能变化的关联。该模型适用于直线、曲线结合的多阶段运动 【模型剖析】 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【题目示例】 如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，小物体到达轨道的最高点D时受到的弹力等于。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达C点的速度大小； （2）B和C两点的高度差； （3）小物块运动到圆形挡板A、B中点F（图中未画出）的速度大小。 【推理过程】 【详解】（1）小物块到达轨道的最高点D时列式得 解得小物块到达D点的速度大小 从C到D 由机械能守恒定律 解得 （2）到达C点的竖直速度 则BC的高度差 （3）B点的速度 从A、B中点F到B点由动能定理 解得 【变式探究】 今年冬天，南海公园、赛罕塔拉、包头乐园为吸引游客，兴建了滑雪游乐场，某公园的滑雪场设置了如图所示滑道跳雪游戏项目：滑道由高为H的斜面滑道AB、水平滑道BC和高为h的斜面滑道CD 三部分组成，AC水平距离为L，CD 滑道的倾角固定，为45°，游客脚上的滑雪板与三段滑道之间的动摩擦因数均为μ=0.25，游客从A点由静止开始下滑，经过水平滑道BC过渡后由C点水平飞出，若不计在B点的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．只要H和L一定，不管滑道AB的倾角有多大，游客从C点飞出的速度一定 B．若游客落在滑道CD的不同点上，则落在滑道的各点速度方向不相同 C．其他条件不变，为保证游客落在滑道CD上，L可以设计适当短一些 D．当3H=L+h时，游客恰好落在D点 【详解】A．从A到C由动能定理 即 则只要H和L一定，不管滑道AB的倾角有多大，游客从C点飞出的速度一定，故A正确； B．若游客落在滑道CD的不同点上，则位移的偏向角相同，根据平抛运动的速度的偏向角的正切等于位移偏向角的2倍可知，落在滑道的各点的速度偏向角相等，即落在斜面上的速度方向相同，故B错误； C．由A的分析可知，L越大，则到达C点时速度越小，则游客在斜面上的位移越短，越有可能落在滑道CD上，故C错误； D．若恰能落在 D点，则 联立解得 4H=L+h 故D错误。 故选A。 1. 高铁是我国的一张亮丽名片，高铁技术处于世界领先水平。高铁组是由长度相同的动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。某和谐号动车组由8节车厢组成，其中第1、第3和第5节车厢为动车，其余为拖车。假设动车组各车厢质量均为，每节动车的额定功率均为，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比（比例系数为）。下列说法正确的是（　　） A．开启两节动车和三节动车全开启行驶时的最大行驶速度之比为 B．动力全开启匀加速出站时第1、2节车厢间与第4、5节车厢间的作用力之比为 C．和谐号匀加速出站时第1节车厢和第3节车厢通过启动时与车头前端齐平的电线杆的时间之比为 D．和谐号进站时，关闭发动机后仅在运动阻力作用下滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比 【答案】A 【详解】A．开启两节动车时 动力全开时 可得最大行驶速度比为，故A正确； B．动力全开匀加速出站时对整车受力分析知 对第1节车厢有 对后4节车厢有 解得，故B错误； C．由各节车厢的长度相同，从静止开始匀加速运动，且启动时电线杆恰与车头前端齐平，由匀变速直线运动的规律可知，第1节车厢和第3节车厢通过电线杆的时间之比，故C错误； D．和谐号进站时，从关闭发动机到停下来由阻力做功改变其动能，由 得 故滑行的距离与关闭发动机时的速度平方成正比，故D错误。 故选A。 2. 如图1所示，O点处固定有力传感器，长为l的轻绳一端与力传感器相连，另一端固定着一个小球。现让小球在最低点以某一速度开始运动，设轻绳与竖直方向的角度为（如图所示），图2为轻绳弹力大小F随变化的部分图像。图2中a为已知量，不考虑空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．小球质量为 B．小球在与圆心等高处时的速度为 C．小球运动到时的动能为 D．小球在最低点时对细线的拉力为4a 【答案】B 【详解】A．设小球在最低点时的速度为v0，则当角度为θ时，由动能定理 绳子拉力满足 联立解得 故图线斜率大小为；截距 解得，，故A错误； B．与圆心等高处，即时，此时满足 且由A知 解得，故B正确； C．小球运动到时，由动能定理 解得，故C错误； D．小球在最低点时，小球对细线的拉力，故D错误。 故选B。 3. 用两根等长、不可伸长的轻质细线将质量为的小球悬挂在水平天花板上，小球处于静止状态，两根细线与水平方向的夹角均为，细线1的拉力大小为；剪断细线2的瞬间，细线1的拉力大小为；小球摆至最低点时，细线1的拉力大小为。不计空气阻力，已知，则下列表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】细线与水平天花板的夹角为，由受力分析可知 剪断其中一根的瞬间，小球只受重力、未剪断细线的拉力，将重力沿细线和垂直于细线方向分解后，满足 在摆至最低点的过程中，由动能定理可得 在最低点得 联立，解得，，故选A。 4. 如图所示，水平地面上竖直固定一个挡板，紧靠挡板放置一球体，球心为O，Q为球体表面上的点，OQ与水平面成角。从挡板上的P点，把一可视为质点的小球沿与竖直方向成角方向，以初速度斜向上抛出，小球运动轨迹与球O相切于Q点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．小球在P点的动能比在Q点的动能大 B．小球在P点的动能与在Q点的动能相等 C．小球从P到Q的运动时间 D．P、Q两点间的水平距离为 【答案】B 【详解】AB．由几何关系，小球在P、Q点时，速度方向与竖直方向的夹角均为，故小球在P、Q点时的速度大小相等、动能相等，故A错误，B正确； CD．根据速度分解可知，小球初速度的水平、竖直分速度分别为， 小球从P到Q的运动时间 可得 水平位移，故CD错误。 故选B。 5. 一段公路由一部分平直的下坡路与一部分水平路组成，两段平滑连接，下坡路的坡度较小，汽车（质量为m）在下坡路和水平路上行驶受到的阻力大小均为。此汽车从下坡路的顶端由静止启动，其运动的速率图像如图所示，段为直线，从时刻开始汽车的功率保持恒定。题干和图中所给的量都为已知量，则由图像可知（   ） A．汽车运动过程中的最大功率为 B．在时间内，汽车的牵引力恒定，其大小为 C．从时刻开始，汽车在水平路段行驶 D．可以求出汽车在时间内的位移 【答案】D 【详解】A．由题图可知，汽车在过程是恒加速度启动且此时是处于下坡路，其在时刻达到最大功率，此后一直保持不变，汽车在时处于匀速运动，其受力情况如图所示 汽车受到的牵引力为 则汽车的最大功率为，故A错误； B．由于物体的图像表示物体的加速度，所以在时间内汽车的加速度为 结合之前汽车的受力分析，对汽车有 解得，故B错误； C．由题图可知，时刻汽车的速度减小，而由题意可知，汽车受到的阻力没有变，所以此时汽车的牵引力小于阻力，即汽车由下坡路进入了水平路段，故C错误； D．汽车在时间内，根据动能定理可得 结合上述结论 可解得，故D正确。 故选D。 6. 某趣味竞技小组设计了一种比赛规则：参赛者站在离得分区域边界一定的距离外将石块斜向上抛出，石块落地碰撞瞬间认为竖直方向速度减为零，水平方向速度减小，落地后石块滑行一段距离，最终停在得分区域某位置并判断得分。如图所示，某同学比赛时在距地面的高度以大小，方向与水平地面成的初速度将石块斜向上抛出，已知出手点距得分区域边界的水平距离，每个得分区域的宽度，石块与水平地面间的动摩擦因数，石块与地面碰撞前、后动能的比值为，重力加速度大小g取，，不计空气阻力，石块轨迹所在平面与边界垂直，则石块最终停止的位置为（　　） A．5分区域 B．7分区域 C．9分区域 D．3分区域 【答案】D 【详解】石块竖直方向上的初速度为 石块在竖直方向上减速到0，然后做自由落体运动，设竖直向上为正方向，则有 代入数据解得 石块抛出的水平初速度为 所以从抛出到落地石块的水平位移为 从抛出到落地根据动能定理有 解得落地瞬间的动能 根据 可得与地面碰撞后的动能， 解得滑行的初速度 石块滑行的加速度大小 滑行的距离 则有 所以石块最终停在3分区域。 故选D。 7. 2025年9月29日，长征二号丁运载火箭第100次发射，在西昌成功发射试验三十号卫星01、02星，创下单一型号火箭百发全胜纪录。已知卫星01的质量为m，在轨道上稳定运行时，可视为离地面高度为h的匀速圆周运动，地球表面附近的重力加速度为g，地球半径为R。不考虑地球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．火箭加速升空过程中，卫星处于失重状态 B．在轨道上稳定运行时，卫星的线速度将大于地球的第一宇宙速度 C．在轨道上运行时，卫星的动能为 D．在轨道上运行时，卫星的速度大小为 【答案】C 【详解】A．火箭加速升空时，加速度方向向上，卫星处于超重状态，故A错误； B．第一宇宙速度是近地轨道的线速度，卫星轨道半径 根据牛顿第二定律可得 解得 可知，半径越大线速度越小，故B错误； C．卫星的动能 由万有引力提供向心力，则有 结合黄金代换 解得 代入动能公式可得，故C正确； D．由上述推导，卫星速度，故D错误。 故选C。 8. 由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。已知图中虚线为不考虑空气阻力时炮弹的运动轨迹，O、a、b、c、d为“弹道曲线”上的五点，其中O为发射点，d为落地点，b为轨迹的最高点，a、c两点距地面的高度相等，且空气阻力可认为与速度平方成正比。则（   ） A．炮弹到达b点时速度为0 B．炮弹由b点到d点的过程中加速度逐渐变大 C．炮弹由a点到b点的时间一定小于由b点到c点的时间 D．炮弹经过d点时的动能一定大于经过a点时的动能 【答案】C 【详解】A．炮弹到达b点时竖直分速度为0，但水平分速度不为0，所以炮弹到达b点时速度不为0，故A错误； B．炮弹由b点到d点的过程中，水平方向的分速度逐渐减小，所以空气阻力水平向左的分力逐渐减小；竖直方向的分速度逐渐增大，所以空气阻力竖直向上的分力逐渐增大，重力和空气阻力竖直向上的分力的合力逐渐减小，根据平行四边形定则可知，炮弹受到的合力逐渐减小，则加速度逐渐减小，故B错误； C．由于在同一高度处，炮弹由a点到b点的过程中竖直方向的加速度总大于炮弹由b点到c点过程中竖直方向的加速度，则由a点到b点竖直方向的平均加速度大于由b点到c点竖直方向的平均加速度，根据可知，炮弹由a点到b点的时间一定小于由b点到c点的时间，故C正确； D．由于炮弹由a点到d点的过程中，克服空气阻力做的功与重力做的功大小关系未知，所以不能确定炮弹经过d点时的动能一定大于经过a点时的动能，故D错误。 故选C。 9. 电梯钢丝绳挂在电动机绳轮上，一端悬吊轿厢，另一端悬吊配重装置。钢绳和绳轮间产生的摩擦力能驱使轿厢上下运动，若电梯轿厢质量为，配重为，某次电梯轿厢由静止开始上升的图像如图乙所示，不计空气阻力及钢绳重力，重力加速度取，下列说法正确的是（    ） A．电梯轿厢在第1s内处于超重状态 B．电梯轿厢在第11s内处于超重状态 C．在第11s内，电动机做的机械功为 D．上升过程中，钢绳对轿厢做功的最大功率为 【答案】AD 【详解】A．由图可知，电梯轿厢在第1s内向上做匀加速直线运动，加速度竖直向上，故电梯轿厢处于超重状态，故A正确； B．由图可知，电梯轿厢在第11s内向上做匀减速直线运动，加速度竖直向下，故电梯轿厢处于失重状态，故B错误； C．根据与时间轴围成的面积表示位移，可知在第11s内电梯轿厢上升的高度为 可知配重下降的高度也为1m，设电动机做的机械功为，根据动能定理有 解得，故C错误； D．当钢绳对轿厢拉力最大，轿厢速度最大时，钢绳对轿厢做功的功率最大，可知该过程发生在电梯轿厢加速上升阶段，根据牛顿第二定律有 由乙图可得加速度大小为 联立解得 由乙图可知最大速度为 根据 联立解得钢绳对轿厢做功的最大功率为，故D正确。 故选AD。 10. 如图所示为我国自主研发的第一台全地面起重机QAY25，起重范围从25t到2600t。若该起重机由静止开始竖直提升质量为200t的物体，其图像如图所示，不计其它阻力，g取，下列说法正确的是（　　） A．起重机的额定功率为 B．重物上升的最大速度为12m/s C．重物0~10s内做匀变速直线运动 D．7s内起重机对重物做的功为 【答案】BD 【详解】C．由图像可知重物匀加速运动的时间为 可知重物0~5s内做匀加速直线运动，5s后做加速度减小的加速运动，故C错误； A．根据牛顿第二定律与功率表达式可得， 联立可得 由图像的斜率可得 解得起重机的额定功率为，故A错误； B．当牵引力等于重力时重物有最大速度，则重物的最大速度为，故B正确； D．内设起重机对重物做的功为，对重物由动能定理得 又 解得 后起重机功率恒定，那么内起重机对重物做的功为 那么内起重机对重物做的功为，故D正确。 故选BD。 11. 如图所示，物体质量为m，放在可绕竖直转轴转动的水平圆台上，离转轴的距离为R，物体与圆台间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物体可视为质点。圆台旋转的角速度由0开始缓慢增大，直至物体刚要相对圆台滑动，下列说法正确的是（　　） A．即将滑动时圆台的角速度大小为 B．即将滑动时圆台的转速为 C．在此过程中静摩擦力对物体做功为 D．在此过程中静摩擦力方向与运动方向相同 【答案】AC 【详解】A．物体刚要相对圆台滑动时，得 ，故A正确； B．即将滑动时圆台的转速，故B错误； C．物体刚要相对圆台滑动时，线速度，由动能定理在此过程中静摩擦力对物体做功 故C正确； D．在此过程中，线速度不断增大，动能不断增大，由动能定理可知静摩擦力做正功，物体做曲线运动，静摩擦力方向与运动方向的夹角为锐角，故D错误。 故选AC。 12. 如图所示，轻质弹簧的一端连接在天花板的O点，另一端与质量为m的圆环（视为质点）相连，圆环套在光滑的竖直细杆上。先将圆环从与O点等高的A点由静止释放，经过B点最终到达C点，已知圆环经过A、B、C三点时，弹簧弹力的功率相等，圆环在C点时弹簧的弹性势能是在A点时的两倍，，，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．圆环从A点运动至B点的过程中，圆环先加速后减速 B．圆环从B点运动至C点的过程中，弹簧的弹性势能一直增大 C．圆环在A点时，弹簧的弹性势能为2.5mgh D．圆环经过B点的速度为 【答案】BC 【详解】AB．圆环经过A点时，弹簧弹力的功率为零，故圆环经过B、C两点时，弹簧弹力的功率也为零，由题意可知，圆环经过B点时弹簧弹力为零，经过C点时速度为零，圆环从A点运动至B点的过程中做加速运动，从B点运动至C点的过程中，弹簧的弹性势能一直增大，选项A错误，B正确； C．从A点运动至C点的过程中，对圆环，有 解得，选项C正确； D．从B点运动至C点的过程中，对圆环，有 解得，选项D错误。 故选BC。 【思路点拨】注意理解“弹簧弹力的功率为零”的几种情况。 13. 如图所示，一辆货车在水平公路上以速度做匀速直线运动，车厢内放置一质量为m的箱子，与车厢保持相对静止。货车突然遇到紧急情况刹车，当货车和箱子均停止时，箱子相对车厢向前滑行的距离为x。已知箱子与车厢间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．货车对箱子做的功为-μmgx B．箱子对货车做的功为-μmgx C．合外力对箱子做的功为 D．箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为μmgx 【答案】CD 【详解】A．设货车的位移为，则箱子的位移为，货车对箱子的功为 故A错误； B．箱子对货车的功为 故B错误； C．合外力对箱子的功由动能定理可知 故C正确； D．箱子与车厢间因摩擦而产生的热量为 故D正确。 故选CD。 14. 如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 【答案】BD 【详解】B．平抛运动水平方向有，由于小球a、b做平抛运动的水平位移比为，则小球a、b做平抛运动的时间之比为，根据，可知小球a、b在竖直方向下落的高度之比为，根据几何关系可知BC=CD，故B正确； A．小球a、b在E、A两点的竖直速度之比为，设斜面倾角为θ，由速度偏向角和位移偏向角关系可知， 结合已知的动能关系可得 解得，故A错误； D．小球a、b距斜面最远时的速度方向均与AC平行，运动时间相同，水平位移相同，即小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上，故D正确； C．小球a、b距斜面最远时，两球距斜面投影点的竖直高度之比显然小于，因此两球距斜面的最远距离之比也一定小于，故C错误。 故选BD。 15. 如图所示，底面半径为r的圆筒竖直放置，内表面光滑，筒壁上的A、B两点的高度差为h，B点在A点的正下方，让质量为m的小球（视为质点）在A点获得一个沿筒壁切线方向的水平初速度，然后小球沿着筒壁螺旋下降，最后运动到B点，在运动过程中筒壁对小球的弹力大小为2mg（g为重力加速度大小），下列说法正确的是（    ） A．小球从A点运动到B点的过程中动能增加mgh B．小球在A点获得的初速度大小为 C．小球运动到B点时的速度大小为2+2 D．h=n²π²r（n=1，2，3，…） 【答案】AD 【详解】A．小球从A点运动到B点的过程中只有重力做功，根据动能定理可知，小球的动能增加，故A正确； B．小球从A点运动到B点的过程中，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向上做自由落体运动，则在水平方向上，根据牛顿第二定律有 解得小球在水平方向的分速度大小为 即小球在A点的初速度大小为，故B错误； C．小球从A点运动到B点，在竖直方向上 则小球在B点的速度大小为，故C错误； D．小球在竖直方向上 由于B点在A点的正下方，则 解得，故D正确。 故选AD。 16. 一种力学探究装置如图甲所示，光滑斜面与水平面间的夹角，斜面内固定一半径为的光滑圆轨道，为圆轨道的圆心，为与平行的水平直径。置于圆轨道最低点的小球（可视为质点）获得大小不同的水平初速度后，小球沿轨道运动至某一位置时，小球与轨道间恰无作用力，设此时小球与点的连线与的夹角为，已知重力加速度为，若得到的与的关系图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．满足条件的最小值为 B．满足条件的最大值为 C．该图线的斜率等于3 D．该图线纵轴上的截距等于1 【答案】BD 【详解】小球沿轨道运动至与轨道间恰无作用力时，重力的分力提供向心力，则有 由动能定理 联立变形可得 当时的最小值为 当时的最大值为 得到的与的关系图像的斜率等于，纵轴上的截距等于1 故选BD。 17. 2025年秋某高校开学后进行军训，如图所示，质量为的小明（可视为质点），抓住一端固定在点的轻绳，以点为圆心摆到与竖直方向夹角的点时，松手沿切线方向飞出。若在空中经过最高点时的速度为，绳长为，为最低点，不计轻绳质量和空气阻力，重力加速度大小为。则（　　） A．小明在处克服重力的瞬时功率为 B．小明从运动到的过程中，处于超重状态 C．小明在处受到轻绳的作用力大小为 D．若到水面的高度为、间高度的4倍，则小明落水点到点的水平距离为 【答案】AC 【详解】A．小明从运动到做斜上抛运动，在最高点时的速度为，即水平方向的速度始终为，而在点时，速度方向与竖直方向成，此时水平速度和竖直速度大小相等，所以在处克服重力的瞬时功率为，故A正确； B．从运动到的过程中，小明既有指向圆心的向心加速度，也有斜向右下方的切向加速度，若竖直方向上加速度的分量向上，则小明处于超重状态，如果竖直方向上加速度分量向下，则小明处于失重状态，故B错误； C．从运动到的过程中，根据动能定理有 又从点做斜抛运动，则有 小明在处受到轻绳的作用力大小为，则有 解得，故C正确； D．设、间高度为，则到水面的高度为，由于从点开始做平抛运动，则有， 从点运动到最高处，由运动学公式可得 解得， 、间的水平距离为 故落水点到点的水平距离为，故D错误。 故选AC。 18. 如图甲所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为的小球从弹簧上端由静止下落。若以小球开始下落的位置为坐标原点，沿竖直向下建立坐标轴，小球下落至最低点过程中的图像如图乙所示（图中坐标值皆已知），不计空气阻力，小球可看作质点，重力加速度为。则（　　） A．劲度系数 B．小球向下运动过程中最大速度 C．弹簧最大弹力 D．小球向下运动过程中最大加速度 【答案】BD 【详解】A．结合图乙可知，小球下落的加速度为零时，由胡克定律及平衡条件可得 解得弹簧的劲度系数为，故A错误； C．由胡克定律可知，小球向下运动过程中弹簧最大弹力为 解得，故C错误； D．弹簧弹力最大时加速度最大，则小球向下运动过程中最大加速度为 解得，故D正确； B．根据动能定理可知 整理可得 设小球向下运动过程中最大速度为，结合图像可知 解得小球向下运动过程中最大速度为，故B正确。 故选BD。 19. 如图所示为在某一水平面进行的小游戏装置简化图，装置由固定平面光滑圆弧挡板（垂直于平面固定，为圆心，半径为）和轻弹簧组成。弹簧一端固定在点，另一端与质量为的小物块（可视为质点）接触（不栓接）。水平面区域光滑，区域粗糙，弹簧中心轴线恰好在点与圆弧挡板相切。先用外力缓慢推小物块将弹簧沿轴线方向压缩一段距离后由静止释放，小物块被弹出后正好从点进入圆弧挡板沿着挡板运动，从点运动圆弧到点的时间为；设小物块与平面间动摩擦因数为（未知），已知重力加速度大小为，点在同一直线上。求： (1)压缩弹簧时推力所做的功； (2)物块沿挡板运动时整个装置对它的作用力大小； (3)为使得小物块能停在之间，动摩擦因数满足的条件。（结果可保留） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块进入圆弧挡板的速度大小为 根据动能定理有 解得 （2）物块在段做匀速圆周运动，挡板对物块的弹力大小 平面的支持力大小为 所以整个装置对物块的作用力大小为 解得： （3）物块在段受到的滑动摩擦力大小始终为，方向与速度方向相反。要停在段，则在段 在段有 解得 20. 某学习小组自行研制的一弹射游戏装置如图所示，该装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道、圆心为的竖直半圆轨道、圆心为的竖直半圆管道DEF（内径略大于滑块，远小于管道半径）、水平直轨道FG组成，轨道各部分平滑连接。已知弹射器要弹射的滑块（视为质点）的质量，滑块被弹出后沿各轨道运动，已知半圆轨道的半径，半圆管道的半径，滑块与轨道间的动摩擦因数，其余各部分轨道、管道及台面均光滑，轨道的长度。不计空气阻力，取重力加速度大小。 (1)若滑块被弹射器弹开后恰能沿轨道到达点，求滑块到达点时的速度大小，并通过计算判断滑块能否继续沿管道通过点； (2)若滑块最终静止在轨道上，求滑块静止时到点的最小距离及滑块离开弹射器时的最大速度； (3)若滑块离开弹射器时的速度大小，求滑块落到水平台面上的位置与点间的距离。 【答案】(1)；能，见解析 (2)； (3) 【详解】（1）根据题意可知，滑块到达点时所需向心力完全由重力提供，有 求得 滑块到达点时的动能为 滑块若能继续沿管道通过点，需克服重力做功为 显然 故滑块能继续沿管道通过点。 （2）若滑块恰能沿轨道到达点，则滑块静止时到点的距离最小，滑块由D点运动到轨道FG上静止下来的过程，根据动能定理有 解得滑块静止时到点的最小距离 滑块离开弹射器时的速度最大时应恰好停在G点，根据动能定理有 解得滑块离开弹射器时的最大速度 （3）滑块滑到G点之前的过程，根据动能定理有 解得 滑块离开轨道FG后做平抛运动，设落到水平台面上的位置与B点间的距离为，水平方向和竖直方向分别有， 联立解得 21. 如图所示，质量为m的小物块（视为质点）从某一高度处的A点以的初速度水平抛出，恰好沿切线方向从B点进入一由圆弧轨道BC和水平轨道CD组成的轨道，圆弧轨道BC与水平轨道CD相切于C处，圆弧BC所对应的圆心角，半径为。水平轨道CD上宽度为的M、N之间存在一个特殊区域，小物块进入M、N之间就会受到一个大小为恒定向右的作用力。平台MN两点间粗糙，其余部分光滑，M、N的右侧有一个弹性卡口，当小物块到达弹性卡口处的速度大于时可通过，速度不大于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的。已知重力加速度为g，，。求： (1)小物块通过B点时的速度大小； (2)小物块滑到圆弧轨道的C点时，小滑块对圆弧轨道的压力大小； (3)若小物块与M、N之间的动摩擦因数，小物块在M、N间通过的路程； (4)若小物块与M、N之间的动摩擦因数，小物块在M、N间通过的路程。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）在B点 解得 （2）小物块由B滑到圆弧轨道的C点 解得 物块在C点 解得 由牛顿第三定律可得，物块对轨道的压力 （3）当时，小物块由C运动到N点 解得 因为，所以小物块可通过弹性卡口，小物块在M、N间通过的路程 （4）当时，小物块由C运动到N点 解得 小物块将在弹性卡口处反弹，设小物块第1次反弹后在M、N区域向左运动的最大位移为 所以 解得 由可知，小物块不能在MN之间静止，设小物块第1次反弹后从N向右离开时的速度为 所以 解得 设第2次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为 所以 解得 设第2次反弹后从N向右离开时的速度为 所以 设第3次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为 所以 解得 由上可知，小物块第n次反弹后在MN中向左运动的最大位移 小物块在MN间通过的路程 解得 2 / 2 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