专题07 功和功率模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦功和功率核心知识点，系统梳理恒力做功的判断与计算、变力做功的等效转化方法、机车启动的两种动态过程，构建从定义理解到实际应用的学习支架，夯实功和能板块基础。 资料以模型建构为主线，每个模型含构建、剖析、示例及变式探究，如恒力做功中斜面摩擦力做功推论、变力做功的微元法应用，培养科学思维与物理观念。课中辅助教师分层授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升问题解决能力。

专题07 功和功率模型 【模型1　做功判断 恒力做功】 【模型构建】 做功的判断与恒力做功的计算是功和能板块的基础考点，核心是以 “功的定义式” 为核心，结合 “力与位移的夹角判断做功正负”“分力做功的代数和等于合力做功” 的逻辑，构建恒力做功的分析与计算模型，适用于直线运动、曲线运动中恒力做功的判断与求解 【模型剖析】 1.功的正负的判断方法 2.计算功的方法 （1）恒力做功的计算方法 （2）合力做功的计算方法 方法一 先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功，适用于F合为恒力的过程 方法二 先求各个力做的功W1，W2，W3，…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功 3．静摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零． (3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 4．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能； ②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能． (3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移． 5．斜面上做功的推论 将小球由平面上〇点移动到C点,摩擦力做的功为Woc=-μmgx.经对比发现，小球从〇点正上方的斜面顶端运动到C点与小球从O点运动到C点,摩擦力做的功均相等 结论:斜面的粗糙程度相同,且斜面水平投影的长度相同,物体沿不同倾角的斜面顶端运动到底端,摩擦力对物体做的功均相等. 【题目示例】 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止．则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是(　　) A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功 C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功 【推理过程】 解析　支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ，当a>gtan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a<gtan θ时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，B是错误的． 【变式探究】 如图所示，接触面粗糙程度均相同，将质量为m的小球从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行至B，进入平面，最终静止于C处。若再将小球从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行至P进入平面，重力加速度为g，不考虑连接处的能量损失，分析小球静止时的位置。 【解析】设动摩擦因数为 ，， ， ，AB 段的水平长度为 ，AP 段的水平长度为 ，如图所示。 小球沿斜面 AP 到达 P 点，摩擦力做的功为 小球沿斜面 AB 与平面 BP 到达 P 点，摩擦力做的功为 AB 段： , BP 段：, ABP 段： . 可以发现，小球沿两种轨道到达 P 点时，摩擦力做的功相同，因此小球沿 AP 轨道滑下，仍会停在 C 点。 【模型2　变力做功】 【模型构建】 变力做功的计算是功和能板块的重难点，核心是通过 “等效转化” 思想，将变力做功转化为恒力做功、或利用能量守恒、功率公式等间接求解，适用于力的大小或方向随位移 / 时间变化的场景（如弹簧弹力、圆周运动向心力、流体冲击力等） 【模型剖析】 方法 图例 方法解读 微元法 图中质量为m的物体在水平面内沿着圆周运动一周的过程中摩擦力做功Wf＝－FfΔx1－FfΔx2－FfΔx3－…＝－Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝－Ff·2πR 平均 力法 水平面光滑，A、B始终相对静止 如果力随位移线性变化，在一段位移的初、末位置对应的力分别为F1、F2，则物体受到的平均力为＝，此变力所做的功W＝x F-x 图像法 图线与x轴所围“面积”表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。图中为F所做的功W＝x0 等效 转换法 F为恒力 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过程中绳子对物块做功W＝F 【题目示例】 下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿+x轴时取正值），物体从x=0移动到x=12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（　　） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 【推理过程】 【答案】AC 【详解】A．以力的作用点为对象，物块从A到拉到B过程中，作用点发生的位移大小为 则力做功围殴，故A正确； B．由图可知，先做正功，后做负功，全过程中做的总功为，故B错误； C．小球从A沿圆弧运动到B过程中空气阻力做负功，且空气阻力为大小不变，故克服空气阻力f做的功，故C正确； D．小球在水平力作用下，被缓慢从P拉到Q，根据受力平衡可得 由于逐渐增大，所以逐渐增大，即为变力，所以做功不可以用求解，故D错误。 故选AC。 【变式探究】 如图所示，一本质量分布均匀的大字典置于水平桌面上，字典总质量，宽，高。一张白纸（质量和厚度均可忽略不计，页面大于字典页面）夹在字典最深处，白纸离桌面的高度。假设字典中同一页纸上的压力分布均匀，白纸上、下表面与字典书页之间的动摩擦因数均为，字典与桌面之间的动摩擦因数为，且各接触面的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度取。 (1)水平向右拉动白纸，要使字典能被拖动，求与满足的关系； (2)若，求将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功。 【答案】(1) (2)0.45J 【详解】（1）首先对白纸受力分析，根据牛顿第二定律有 解得： 考虑字典恰好被拉动的临界情况，对字典受力分析有 解得 故只要满足就能使字典能被拖动。 （2）若，则不满足 当字典静止不动，白纸被匀速拉出拉力做功最少，当白纸的位移为时，白纸受到上方的压力为 对白纸受力分析有 可见与成线性关系，故拉力做功可用其平均值计算，则有 故拉力做功为 将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功。 【模型3　机车启动的两种方式】 【模型构建】 机车启动的两种核心方式是恒定功率启动和恒定加速度启动，核心逻辑是结合功率公式 、牛顿第二定律a及运动学规律，分析启动过程中牵引力 F、速度 v、加速度 a 的动态变化，最终达到匀速运动的最大速度 【模型剖析】 两种启 动方式 以恒定 功率启动 以恒定加 速度启动 P-t图像和 v-t图像 OA段 过程 分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝ AB段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 — F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速直线运动 【题目示例】 图为某电动汽车在加速性能试验过程中的v-t图像。为了简化计算，可近似认为：汽车运动时受到的阻力恒定，在0~30s内做匀加速直线运动，30s后汽车发动机的功率保持不变。近似后可得（　　） A．15s末、30s末汽车的牵引力大小之比为2:1 B．15s末、30s末汽车的发动机功率之比为1:2 C．30s末、54s末汽车的加速度大小之比为4:3 D．0~30s内、30~54s内汽车发动机做功之比为5:8 【推理过程】 【答案】BD 【详解】A．由题意可知汽车前30s做匀加速直线运动，则牵引力恒定，所以15s末、30s末汽车的牵引力大小之比为1:1，故A错误； B．由图可知15s末、30s末的速度分别为9m/s、18m/s，由公式 可知，15s末、30s末的功率之比为1:2，故B正确； C．汽车的加速度为 所以30s末、54s末的加速度之比应为 故C错误； D．0～30s内，汽车发动机做功 30～54s内汽车发动机做功 所以 故D正确。 故选BD。 【变式探究】 2024年3月5日，李强总理在全国人大会议的政府工作报告中提出：鼓励和推动消费品以旧换新，提振智能网联新能源汽车、电子产品等大宗消费。智能网联汽车也将是未来的趋势。假设某智能网联汽车在平直路面上启动后的牵引力F随时间t变化的图像如图所示，已知该汽车以额定功率启动，在平直路面上运动的最大速度为，所受阻力恒定，由此可知该汽车（　　） A．在时间内做加速度增大的加速运动 B．启动后速度为时的加速度为 C．额定功率为 D．在时间内位移可能小于 【答案】B 【详解】A．汽车在平直路面上启动由牛顿第二定律有 在时间内牵引力逐渐减小，则汽车做加速度减小的加速运动，故A错误； BC．汽车运动的最大速度为，则有 可得额定功率为 而启动后速度为时，有 联立解得 故B正确，C错误； D．若时间做匀加速直线运动，则位移为 而汽车在内做的是加速度减小的直线运动，若其位移一定大于，故D错误。 故选B。 1. 如图甲，质量为m的游客坐在轿厢里随摩天轮在竖直面内做匀速圆周运动，从游客在最高点时开始计时，时间内游客的位移大小x随时间t变化的图像如图乙所示，游客可以看成质点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．图乙是正弦函数图像的一部分 B．摩天轮转动的角速度为 C．摩天轮做圆周运动的线速度大小为 D．时，游客重力的瞬时功率为 【答案】ACD 【详解】A．设摩天轮转动的角速度为，游客做圆周运动的半径为R，则t时刻，游客离最高点的位移大小为，A正确； B．摩天轮做圆周运动的周期等于，则摩天轮做圆周运动角速度，B错误； C．由图可知，，游客做圆周运动的线速度大小，C正确； D．时，线速度的竖直分速度，因此重力的瞬时功率，D正确。 故选ACD。 2. 动车组是自带动力车厢和不带动力车厢的编组。某一动车组由10节车厢连接而成，其中第一节和第六节车厢为动力车厢，每节动力车厢的额定功率均为，每节车厢的质量均为，动车组在行驶过程中所受的阻力f为车重的0.1倍，已知行驶过程中，每节动力车厢总保持相同的输出功率，重力加速度，则该动车组的最大行驶速度为（　　） A．48m/s B．72m/s C．96m/s D．144m/s 【答案】C 【详解】动车组达到最大速度时，牵引力等于阻力，此时总功率为两节动力车厢的额定功率之和， 有 解得 故选C。 3. 如图所示，摆球质量为，悬线的长为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力的大小不变，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为 B．绳的拉力做功为0 C．空气阻力做功为 D．外力做的总功为 【答案】BD 【详解】A．重力在整个运动过程中始终不变，所以重力做功为。故A错误； B.因为拉力在运动过程中始终与运动方向垂直，故拉力对小球不做功，即。故B正确； C.阻力所做的总功等于每个小弧段上所做功的代数和，即。故C错误； D．外力做的总功等于各个力做功的代数和，即，故D正确。 故选BD。 4. 一物块在水平外力作用下做直线运动，它受到的合外力F随物块位置坐标x变化的F-x图像如图所示，设在和过程中合外力的做功分别是和，则与之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据功的定义式有可知，在F-x图像中，图像与横坐标所围几何图形的面积表示功，则有， 解得 故选A。 5. 截至2024年12月26日，我国高铁营业里程达到4.7万公里。某高铁试验机车的最大功率为104kW，试运行时的v-t图像如图所示，0~t1时间内的图像为直线，通过查阅相关资料知：0~200km/h加速阶段，列车做加速度大小为0.4m/s2的匀加速运动，t2时刻列车运行达到最大速度v2，列车的质量为80t，认为列车受到的阻力大小恒定，则（　　） A．列车匀加速运行的时间为t1=500s B．列车所受的阻力大小为1.48×105N C．列车运行的最大速度v2≈78m/s D．列车速度为64m/s时，加速度约为0.2m/s2 【答案】B 【详解】A．，列车匀加速的时间，故A错误； B．时刻，列车达到最大功率，有 此时仍处在匀加速阶段，由牛顿第二定律，有 解得，故B正确； C．列车运行的最大速度，故C错误； D．列车速度为v3=64m/s时，牵引力 由牛顿第二定律，有 解得，故D错误。 故选B。 6. 如图甲，一小朋友将足球用力从N点向前踢出后双脚张开让足球可以经过，并下蹲做好准备，足球在竖直管道内完成完整一周后，在图示P位置离开管道，恰好在管道截面圆心O点落入书包。参照足球的运动轨迹画了运动示意图如图乙，图中虚线为足球的运动轨迹。若足球质量为m，运动轨迹半径为R，且忽略空气阻力的影响，以下分析正确的是（　　） A．足球离开管道前，始终做匀速圆周运动 B．足球在P点脱离管道后，处于完全失重状态 C．足球离开管道前，所受摩擦力随时间逐渐减小 D．足球从N运动到P点过程中，重力的瞬时功率一直减小 【答案】B 【详解】A．足球在竖直平面内运动时受重力与摩擦力，且重力和摩擦力会对小球做功，小球的速率会发生变化，所以小球做变速圆周运动，故A错误； B．足球脱离管道后，只受重力作用，处于完全失重状态，故B正确； C．足球所受的滑动摩擦力的大小 足球运动过程中随着线速度的变化，所受的压力在N点时最大，在M点时最小，所以摩擦力不是随时间逐渐减小，故C错误； D．足球从N运动到P点过程中，在最高点速度与重力垂直，此位置重力功率为零，之后重力功率不为零，所以从N运动到P点过程中，重力功率并非一直减小，故D错误。 故选B。 7. 图（a）为利用阻拦系统让舰载机在航空母舰飞行甲板上快速停止的原理示意图。飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止。某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在t=0.4s时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的v−t图线如图（b）所示。假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为1000m。已知航母始终静止，重力加速度的大小为g。则（　　） A．从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的 B．在0.4s~2.5s时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化 C．在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过2.5g D．在0.4s~2.5s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变 【答案】C 【详解】A. 由图像可知，从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离即为图象与时间所构成的面积，即约为 无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为 因此飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的，故A错误； B. 在0.4s∼2.5s时间内，速度与时间的图象的斜率不变，则加速度也不变，所以合力也不变，因此阻拦索的张力的合力几乎不随时间变化，但由于阻拦索的夹角减小，故阻拦索的张力是减小的，故B错误； C. 滑行过程中，在0.4s∼2.5s时间内加速度最大，最大加速度为，故C正确； D. 在0.4s−2.5s时间内，合力的大小不变，速度减小，做功的功率减小，故D错误。 故选C。 8. 如图甲所示，液压拔桩机将桩体从土壤中竖直拔出，并上升一段高度的整个过程中，桩体一直做匀加速直线运动。如图乙所示，桩体被拔出的过程中，受到的阻力f大小与在地基里面的长度h成正比。已知桩体尖端部分、土壤对桩体的支持力大小以及空气阻力均忽略不计。整个运动过程，液压机对桩体的作用力F、液压机对桩体的作用力的瞬时功率P，与位移x和时间t的关系中，下列图像中可能正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．由题知，桩体向上做匀加速运动，则有 没出土之前，根据牛顿第二定律 又 联立可得 出土之后，根据牛顿第二定律有 解得 综上分析，可知力F先与位移x是一次函数，与时间t之间是二次函数，之后保持不变，故A正确，B错误； C．根据功率公式 其中 出土之前， 出土之后， 出土之前P与时间t是三次函数，出土之后是一次函数，故C正确； D．根据功率公式 其中 可得到出土之前 出土之后，，不可能是一次函数，故D错误。 故选AC。 9. 如图甲所示，A、B两个物体靠在一起，静止在光滑的水平面上，它们的质量分别为mA=1kg，mB=3kg，现用水平力FA推A，用水平力FB拉B，FA和FB随时间t变化关系如图乙所示，则（　　） A．A、B脱离之前，A物体所受的合外力逐渐减小 B．A、B脱离前，它们一起运动的位移为6m C．A、B脱离后，A做减速运动，B做加速运动 D．A、B脱离前，水平力FA对物体A做功为30J 【答案】B 【详解】A．由乙图可得FA=9-3t（N），FB=3+3t（N） 在未脱离的过程中，整体受力向右，且大小不变，恒定为FA＋FB=12N，有 解得匀加速运动的加速度 则A、B脱离之前，它们一直做匀加速运动，A物体所受的合外力不变，故A错误； B．当A、B脱离时满足A、B加速度相同，且弹力为零，故 解得t=2s 则A、B脱离前，它们一起运动位移为，故B正确； C．脱离后的1s内A仍然受到向右的推力，所以A仍然做加速运动，在t=3s后A不受推力将做匀速直线运动；物体B一直受到向右的拉力而做加速运动，故C错误； D．由于FA为随时间变化的变力，则无法求出水平力FA对物体A做的功，故D错误。 故选B。 10. 如图甲所示，在新能源汽车技术测试中，一辆质量为的氢燃料电池赛车在平直赛道上由静止开始加速，设其所受到的阻力不变，在加速阶段的加速度和速度的倒数的关系如图乙所示，则赛车（　　） A．做匀加速直线运动 B．发动机的功率为 C．所受阻力大小为 D．速度大小为时牵引力大小为 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律可得由 可得 由图线可知斜率为，为常量，故赛车在恒定功率下启动，速度变大，根据可知牵引力变小，根据可知加速度减小，故A错误； BC．根据 可知图像的斜率为， 可知功率为，阻力大小为，故BC错误； D．速度大小为时，根据 可知牵引力为，故D正确。 故选D。 11. 将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从纸带上标记点P沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的过程中，蚂蚁的（　　） A．平均速度为零 B．运动时间为 C．加速度始终为零 D．重力的瞬时功率不变 【答案】A 【详解】A．平均速度是位移与所用时间的比值，蚂蚁的位移为零，故平均速度为零，故A正确； B．运动时间应为，故B错误； C．蚂蚁做曲线运动，加速度不为零，故C错误； D．蚂蚁竖直方向的速度有变化，故重力的瞬时功率变化，故D错误。 故选A。 12. 体育考试中有个项目是双手垫排球，双手以大小为的初速度竖直向上垫出一个质量为m的排球，若排球运动过程中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，排球运动的速度随时间变化的规律如图所示，时刻排球到达最高点，再落回垫出点时的速度大小为，且落回垫出点前排球已经做匀速运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．排球上升过程中的加速度逐渐减小，下降过程中的加速度逐渐增大 B．在时间内，排球上升的高度小于 C．排球垫出瞬间的加速度大小为 D．排球在整个运动过程中空气阻力做功为0 【答案】B 【详解】A．上升过程根据牛顿第二定律，有 解得，由于排球减速上升，阻力逐渐减小，故加速度不断减小； 下降过程根据牛顿第二定律，有 解得，由于速度增大，阻力增大，故加速度减小，最后匀速运动，加速度为零，故A错误； B．速度一时间图像与时间轴围成的面积表示位移，从图像可以看出，上升的位移小于阴影部分面积，而阴影部分面积是匀减速直线运动的位移，故B正确； C．排球受到的空气阻力与其速率成正比，最终以匀速下降，有 排球垫出瞬间，有 解得，故C错误； D．排球在整个运动过程中，空气阻力始终与速度方向相反，可知空气阻力做负功，故D错误。 故选B。 13. 质量为m的物体静止放在粗糙水平面上，用水平拉力拉动物体，物体运动一段时间后撤去拉力，物体运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物体在时间内的位移为 B．拉力与物体所受摩擦力的大小之比为 C．拉力的大小为 D．在时间内拉力做功为 【答案】B 【详解】A．根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知物体在时间内的位移为，故A错误； BC．由题图可知物体加速阶段和减速阶段的加速度大小分别为， 根据牛顿第二定律可得， 联立可得拉力与物体所受摩擦力的大小之比为 拉力的大小为，故B正确，C错误； D．在时间内物体通过的位移大小为 在时间内拉力做功为，故D错误。 故选B。 14. 如图所示，水平地面上有两个叠放在一起的箱子、，人推着箱子，使两个箱子一起在水平地面上加速前进。若人的脚不打滑，以下判断正确的是（　　） A．箱子对的摩擦力对做正功 B．箱子对的摩擦力对做正功 C．地面对人的摩擦力对人做负功 D．地面对人的摩擦力对人不做功 【答案】BD 【详解】AB．对箱子b分析，b随a一起加速前进，b的加速度由a对b的静摩擦力提供，可知a对b摩擦力方向水平向右，根据牛顿第三定律，可知b对a的摩擦力水平向左，故对的摩擦力对做负功，a对b的摩擦力对b做正功，故A错误，B正确； CD．对人分析，人的脚不打滑，地面对人的摩擦力作用点（脚）没有位移（脚与地面接触时相对静止，无位移），所以地面对人的摩擦力对人不做功，故C错误，D正确。 故选BD。 15. 一辆玩具小车在水平路面上从静止开始启动做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图所示。已知玩具小车的质量，玩具小车受到地面的阻力恒为车重的0.1倍，时机车达到额定功率，之后保持该功率不变，已知重力加速度，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．机车先做匀加速直线运动，后做加速度减小的减速运动 B．0~40s小车所受到的牵引力大小为 C．汽车的额定功率为 D．机车的最大速度为 【答案】BD 【详解】A．机车先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速运动，故A错误； B．0~40s内机车做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得解得 ，故B正确； C．在时机车的速度为，汽车的额定功率 ，解得 ，故C错误； D．当牵引力等于阻力时，机车速度达到最大，则有，故D正确。 故选BD。 16. 某新能源汽车厂家在平直公路上测试汽车性能，时刻汽车由静止启动，时汽车达到额定功率，时汽车速度达到最大，如图是车载电脑生成的汽车牵引力随速率倒数变化的关系图像。已知汽车和司机的总质量，所受阻力与总重力的比值恒为，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．汽车达到的最大速率为 B．汽车在段做匀加速直线运动 C．汽车在段做匀加速直线运动，且加速度大小为 D．从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为 【答案】A 【详解】AC．由图可知汽车在段牵引力不变，根据牛顿第二定律则有 解得 可知汽车在段做匀加速直线运动，时汽车的速度 汽车额定功率为 当牵引力等于阻力时速度达到最大，则汽车达到的最大速率为，故A正确，C错误； B．汽车在段牵引力逐渐减小，做加速度减小的加速运动，故汽车启动后先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速运动，直到速度达到最大，故B错误； D．汽车做匀加速直线运动的位移为 从达到额定功率到速度最大过程中，根据动能定理则有 解得 汽车通过的距离为，故D错误。 故选A。 17. 如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为 解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为 解得 故选C。 18. 下列各图是反映汽车（额定功率为P额）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得F0-f=ma 可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由功率P=F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P额时，功率保持不变，设此时的速度为v1，则有 之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力F＝f时，加速度为零，汽车速度达到最大vm，汽车做匀速直线运动，则有 由以上分析可知，故ACD正确，B错误。 故选ACD。 19. 如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A向右缓慢移动直至C降到地面，B一直保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则从A开始移动直至C降到地面的过程中（　　） A．A受到地面的摩擦力大小变大 B．A受到地面的摩擦力大小一直增大 C．A克服摩擦力做功为 D．A克服摩擦力做功为 【答案】D 【详解】AB．现用水平向右的力拉A，使A向右缓慢移动直至C降到地面，根据对称性可知A和B受到地面的支持力大小相等，整个过程中将ABC看成整体，A受到地面的支持力为 则A受到地面的摩擦力大小为 摩擦力大小保持不变，故AB错误： CD．初末状态图如图所示 由几何关系知A的位移为 所以摩擦力做功的大小为，故C错误，D正确。 故选D。 20. 为减少二氧化碳排放，我市已推出新型节能环保电动车。在检测某款电动车性能的实验中，质量为的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力与对应的速度，并描绘出如图所示的图像（图中、均为直线），假设电动车行驶中所受阻力恒为电动车重力的0.05倍，重力加速度取，则（   ） A．该车启动后，先做匀加速运动，后做匀速运动 B．该车的额定功率为6kW C．该车做匀加速运动的时间是1.5s D．该车加速度为0.25m/s2时，速度为10m/s 【答案】BCD 【详解】A．由于横坐标为速度的倒数，所以电动车的启动过程为从A到B到C。由图像可知，AB段牵引力不变，电动车做匀加速直线运动，BC段图线的斜率不变，斜率表示电动机的功率，由于图像为过原点的直线，所以功率不变，即以恒定功率启动，牵引力减小，加速度减小，电动车做加速度减小的加速运动，当牵引力等于阻力后，速度达到最大值，电动车做匀速直线运动，故A错误； C．电动车做匀加速直线运动时，加速度 由，可知该车做匀加速运动的时间，故C正确； BD．该车加速度为时，牵引力为 根据 根据，则此时的速度为 故BD正确。 故选BCD。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 功和功率模型 【模型1　做功判断 恒力做功】 【模型构建】 做功的判断与恒力做功的计算是功和能板块的基础考点，核心是以 “功的定义式” 为核心，结合 “力与位移的夹角判断做功正负”“分力做功的代数和等于合力做功” 的逻辑，构建恒力做功的分析与计算模型，适用于直线运动、曲线运动中恒力做功的判断与求解 【模型剖析】 1.功的正负的判断方法 2.计算功的方法 （1）恒力做功的计算方法 （2）合力做功的计算方法 方法一 先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功，适用于F合为恒力的过程 方法二 先求各个力做的功W1，W2，W3，…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功 3．静摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零． (3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 4．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能； ②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能． (3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移． 5．斜面上做功的推论 将小球由平面上〇点移动到C点,摩擦力做的功为Woc=-μmgx.经对比发现，小球从〇点正上方的斜面顶端运动到C点与小球从O点运动到C点,摩擦力做的功均相等 结论:斜面的粗糙程度相同,且斜面水平投影的长度相同,物体沿不同倾角的斜面顶端运动到底端,摩擦力对物体做的功均相等. 【题目示例】 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止．则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是(　　) A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功 C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，接触面粗糙程度均相同，将质量为m的小球从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行至B，进入平面，最终静止于C处。若再将小球从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行至P进入平面，重力加速度为g，不考虑连接处的能量损失，分析小球静止时的位置。 【模型2　变力做功】 【模型构建】 变力做功的计算是功和能板块的重难点，核心是通过 “等效转化” 思想，将变力做功转化为恒力做功、或利用能量守恒、功率公式等间接求解，适用于力的大小或方向随位移 / 时间变化的场景（如弹簧弹力、圆周运动向心力、流体冲击力等） 【模型剖析】 方法 图例 方法解读 微元法 图中质量为m的物体在水平面内沿着圆周运动一周的过程中摩擦力做功Wf＝－FfΔx1－FfΔx2－FfΔx3－…＝－Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝－Ff·2πR 平均 力法 水平面光滑，A、B始终相对静止 如果力随位移线性变化，在一段位移的初、末位置对应的力分别为F1、F2，则物体受到的平均力为＝，此变力所做的功W＝x F-x 图像法 图线与x轴所围“面积”表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。图中为F所做的功W＝x0 等效 转换法 F为恒力 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过程中绳子对物块做功W＝F 【题目示例】 下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿+x轴时取正值），物体从x=0移动到x=12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（　　） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，一本质量分布均匀的大字典置于水平桌面上，字典总质量，宽，高。一张白纸（质量和厚度均可忽略不计，页面大于字典页面）夹在字典最深处，白纸离桌面的高度。假设字典中同一页纸上的压力分布均匀，白纸上、下表面与字典书页之间的动摩擦因数均为，字典与桌面之间的动摩擦因数为，且各接触面的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度取。 (1)水平向右拉动白纸，要使字典能被拖动，求与满足的关系； (2)若，求将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功。 【模型3　机车启动的两种方式】 【模型构建】 机车启动的两种核心方式是恒定功率启动和恒定加速度启动，核心逻辑是结合功率公式 、牛顿第二定律a及运动学规律，分析启动过程中牵引力 F、速度 v、加速度 a 的动态变化，最终达到匀速运动的最大速度 【模型剖析】 两种启 动方式 以恒定 功率启动 以恒定加 速度启动 P-t图像和 v-t图像 OA段 过程 分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝ AB段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 — F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速直线运动 【题目示例】 图为某电动汽车在加速性能试验过程中的v-t图像。为了简化计算，可近似认为：汽车运动时受到的阻力恒定，在0~30s内做匀加速直线运动，30s后汽车发动机的功率保持不变。近似后可得（　　） A．15s末、30s末汽车的牵引力大小之比为2:1 B．15s末、30s末汽车的发动机功率之比为1:2 C．30s末、54s末汽车的加速度大小之比为4:3 D．0~30s内、30~54s内汽车发动机做功之比为5:8 【推理过程】 【变式探究】 2024年3月5日，李强总理在全国人大会议的政府工作报告中提出：鼓励和推动消费品以旧换新，提振智能网联新能源汽车、电子产品等大宗消费。智能网联汽车也将是未来的趋势。假设某智能网联汽车在平直路面上启动后的牵引力F随时间t变化的图像如图所示，已知该汽车以额定功率启动，在平直路面上运动的最大速度为，所受阻力恒定，由此可知该汽车（　　） A．在时间内做加速度增大的加速运动 B．启动后速度为时的加速度为 C．额定功率为 D．在时间内位移可能小于 1. 如图甲，质量为m的游客坐在轿厢里随摩天轮在竖直面内做匀速圆周运动，从游客在最高点时开始计时，时间内游客的位移大小x随时间t变化的图像如图乙所示，游客可以看成质点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．图乙是正弦函数图像的一部分 B．摩天轮转动的角速度为 C．摩天轮做圆周运动的线速度大小为 D．时，游客重力的瞬时功率为 2. 动车组是自带动力车厢和不带动力车厢的编组。某一动车组由10节车厢连接而成，其中第一节和第六节车厢为动力车厢，每节动力车厢的额定功率均为，每节车厢的质量均为，动车组在行驶过程中所受的阻力f为车重的0.1倍，已知行驶过程中，每节动力车厢总保持相同的输出功率，重力加速度，则该动车组的最大行驶速度为（　　） A．48m/s B．72m/s C．96m/s D．144m/s 3. 如图所示，摆球质量为，悬线的长为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力的大小不变，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为 B．绳的拉力做功为0 C．空气阻力做功为 D．外力做的总功为 4. 一物块在水平外力作用下做直线运动，它受到的合外力F随物块位置坐标x变化的F-x图像如图所示，设在和过程中合外力的做功分别是和，则与之比为（　　） A． B． C． D． 5. 截至2024年12月26日，我国高铁营业里程达到4.7万公里。某高铁试验机车的最大功率为104kW，试运行时的v-t图像如图所示，0~t1时间内的图像为直线，通过查阅相关资料知：0~200km/h加速阶段，列车做加速度大小为0.4m/s2的匀加速运动，t2时刻列车运行达到最大速度v2，列车的质量为80t，认为列车受到的阻力大小恒定，则（　　） A．列车匀加速运行的时间为t1=500s B．列车所受的阻力大小为1.48×105N C．列车运行的最大速度v2≈78m/s D．列车速度为64m/s时，加速度约为0.2m/s2 6. 如图甲，一小朋友将足球用力从N点向前踢出后双脚张开让足球可以经过，并下蹲做好准备，足球在竖直管道内完成完整一周后，在图示P位置离开管道，恰好在管道截面圆心O点落入书包。参照足球的运动轨迹画了运动示意图如图乙，图中虚线为足球的运动轨迹。若足球质量为m，运动轨迹半径为R，且忽略空气阻力的影响，以下分析正确的是（　　） A．足球离开管道前，始终做匀速圆周运动 B．足球在P点脱离管道后，处于完全失重状态 C．足球离开管道前，所受摩擦力随时间逐渐减小 D．足球从N运动到P点过程中，重力的瞬时功率一直减小 7. 图（a）为利用阻拦系统让舰载机在航空母舰飞行甲板上快速停止的原理示意图。飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止。某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在t=0.4s时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的v−t图线如图（b）所示。假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为1000m。已知航母始终静止，重力加速度的大小为g。则（　　） A．从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的 B．在0.4s~2.5s时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化 C．在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过2.5g D．在0.4s~2.5s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变 8. 如图甲所示，液压拔桩机将桩体从土壤中竖直拔出，并上升一段高度的整个过程中，桩体一直做匀加速直线运动。如图乙所示，桩体被拔出的过程中，受到的阻力f大小与在地基里面的长度h成正比。已知桩体尖端部分、土壤对桩体的支持力大小以及空气阻力均忽略不计。整个运动过程，液压机对桩体的作用力F、液压机对桩体的作用力的瞬时功率P，与位移x和时间t的关系中，下列图像中可能正确的有（　　） A． B． C． D． 9. 如图甲所示，A、B两个物体靠在一起，静止在光滑的水平面上，它们的质量分别为mA=1kg，mB=3kg，现用水平力FA推A，用水平力FB拉B，FA和FB随时间t变化关系如图乙所示，则（　　） A．A、B脱离之前，A物体所受的合外力逐渐减小 B．A、B脱离前，它们一起运动的位移为6m C．A、B脱离后，A做减速运动，B做加速运动 D．A、B脱离前，水平力FA对物体A做功为30J 10. 如图甲所示，在新能源汽车技术测试中，一辆质量为的氢燃料电池赛车在平直赛道上由静止开始加速，设其所受到的阻力不变，在加速阶段的加速度和速度的倒数的关系如图乙所示，则赛车（　　） A．做匀加速直线运动 B．发动机的功率为 C．所受阻力大小为 D．速度大小为时牵引力大小为 11. 将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从纸带上标记点P沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的过程中，蚂蚁的（　　） A．平均速度为零 B．运动时间为 C．加速度始终为零 D．重力的瞬时功率不变 12. 体育考试中有个项目是双手垫排球，双手以大小为的初速度竖直向上垫出一个质量为m的排球，若排球运动过程中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，排球运动的速度随时间变化的规律如图所示，时刻排球到达最高点，再落回垫出点时的速度大小为，且落回垫出点前排球已经做匀速运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．排球上升过程中的加速度逐渐减小，下降过程中的加速度逐渐增大 B．在时间内，排球上升的高度小于 C．排球垫出瞬间的加速度大小为 D．排球在整个运动过程中空气阻力做功为0 13. 质量为m的物体静止放在粗糙水平面上，用水平拉力拉动物体，物体运动一段时间后撤去拉力，物体运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物体在时间内的位移为 B．拉力与物体所受摩擦力的大小之比为 C．拉力的大小为 D．在时间内拉力做功为 14. 如图所示，水平地面上有两个叠放在一起的箱子、，人推着箱子，使两个箱子一起在水平地面上加速前进。若人的脚不打滑，以下判断正确的是（　　） A．箱子对的摩擦力对做正功 B．箱子对的摩擦力对做正功 C．地面对人的摩擦力对人做负功 D．地面对人的摩擦力对人不做功 15. 一辆玩具小车在水平路面上从静止开始启动做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图所示。已知玩具小车的质量，玩具小车受到地面的阻力恒为车重的0.1倍，时机车达到额定功率，之后保持该功率不变，已知重力加速度，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．机车先做匀加速直线运动，后做加速度减小的减速运动 B．0~40s小车所受到的牵引力大小为 C．汽车的额定功率为 D．机车的最大速度为 16. 某新能源汽车厂家在平直公路上测试汽车性能，时刻汽车由静止启动，时汽车达到额定功率，时汽车速度达到最大，如图是车载电脑生成的汽车牵引力随速率倒数变化的关系图像。已知汽车和司机的总质量，所受阻力与总重力的比值恒为，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．汽车达到的最大速率为 B．汽车在段做匀加速直线运动 C．汽车在段做匀加速直线运动，且加速度大小为 D．从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为 17. 如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 18. 下列各图是反映汽车（额定功率为P额）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 19. 如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A向右缓慢移动直至C降到地面，B一直保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则从A开始移动直至C降到地面的过程中（　　） A．A受到地面的摩擦力大小变大 B．A受到地面的摩擦力大小一直增大 C．A克服摩擦力做功为 D．A克服摩擦力做功为 20. 为减少二氧化碳排放，我市已推出新型节能环保电动车。在检测某款电动车性能的实验中，质量为的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力与对应的速度，并描绘出如图所示的图像（图中、均为直线），假设电动车行驶中所受阻力恒为电动车重力的0.05倍，重力加速度取，则（   ） A．该车启动后，先做匀加速运动，后做匀速运动 B．该车的额定功率为6kW C．该车做匀加速运动的时间是1.5s D．该车加速度为0.25m/s2时，速度为10m/s 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $