专题04 曲线运动的临界极值模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦曲线运动的临界极值问题，系统整合平抛运动（台阶、网球模型）、水平面圆周运动（摩擦力、弹力约束）、竖直面圆周运动（绳/杆/轨道模型）三大核心模型，以分运动规律、向心力来源为基础，构建从临界状态分析到极值求解的学习支架。 资料以模型建构为主线，通过分类剖析临界条件（如平抛恰好越过障碍物、圆周运动恰好不滑动），搭配题目示例与变式探究，培养学生科学思维与推理能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过典型例题与变式练习查漏补缺，强化知识应用。

专题04 曲线运动的临界极值模型 【模型1　平抛运动临界极值】 【模型构建】 平抛运动的临界极值问题是物理的高频难点，核心是以 “平抛运动分运动规律” 为基础，结合 “边界约束（如墙面、斜面、曲面、障碍物）” 或 “物理条件约束（如速度方向、落点范围）”，通过分析临界状态（恰好相切、恰好越过、恰好到达），建立方程求解极值（最大 / 最小初速度、最大 / 最小水平位移、临界运动时间） ，适用于 “规避障碍物”“限定落点范围”“速度方向约束” 等场景 【模型剖析】 类型一：台阶平抛运动 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ 临界情况 以图中为例，能到达3台阶的要求是能过2的边角和到达3的边角 则时间的要求为 位移的要求 类型二：网球模型 1． 平抛运动中的临界速度问题 h1 v2 s2 h2 s1 v1 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度 2． 既擦网又压线的双临界问题 h1 s2 h2 s1 根据，可得比值： 总结：处理平抛运动中的临界问题要抓住两点 1、临界特征 (1)有些题目中有“刚好"恰好正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大"“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2、平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 【题目示例】 如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【推理过程】 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 【变式探究】 从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 【模型2　水平面上圆周运动临界极值】 【模型构建】 水平面上圆周运动的临界极值问题是物理的高频难点，核心是以 “向心力来源的临界状态” 为突破点，结合 “受力分析→临界条件判断→向心力方程建立→极值求解” 的逻辑链，解决 “最大角速度、最小周期、临界半径、最大静摩擦力” 等极值问题，适用于粗糙圆盘、绳约束、杆约束、双物体关联等水平面圆周运动场景 【模型剖析】 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【题目示例】 如图（俯视图），两个质量均为的小木块C和D（均可视为质点）放在水平圆盘上，与圆心的距离均为，C与D之间用水平轻质弹簧相连，开始时弹簧处于伸长状态且长度也为，两木块恰好处于静止状态。已知两木块与圆盘之间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若圆盘从静止开始绕点转动且角速度缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．当角速度时，小木块C和D开始相对水平圆盘滑动 B．当角速度时，小木块C和D开始相对水平圆盘滑动 C．小木块C和D相对水平圆盘滑动时，会沿半径方向 D．小木块C和D相对水平圆盘滑动时，不会沿半径方向 【推理过程】 【答案】BD 【详解】AB．最大静摩擦力提供小木块做匀速圆周运动的向心力，则 解得 当角速度时，小木块C和D开始相对水平圆盘滑动，故A错误，B正确； CD．小木块C和D相对水平圆盘滑动时，弹簧会逐渐变长，摩擦力与弹簧弹力的合力不断变化，所以小木块C和D相对水平圆盘滑动时，不会沿半径方向，故C错误，D正确。 故选BD。 【一题多变】 如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体、，质量分别为、。B、C之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力，B、C离圆心的距离分别为、，将质量为的小物块放在上。现让圆盘由静止缓慢加速，若、之间能发生相对滑动，则认为刚发生相对滑动时立即飞走，此后不再受的影响，且细线不会被拉断。已知各接触面间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当时，细线张力为 B．当时，即将滑离 C．当时，剪断细线，将做离心运动 D．无论多大，、都不会和圆盘发生相对滑动 【答案】AD 【详解】B．当即将滑离时，静摩擦力达到最大，有 解得此时的角速度为，故B错误； A．因为各接触面间的动摩擦因数均为，故当角速度为 、整体的角速度达到最大，即与圆盘的静摩擦力也达到最大。 当时，已滑离，对有 代入数据解得，故A正确； C．当时，所需的向心力为 故剪断细线，与圆盘一起转动，故C错误； D．飞走之后，与圆盘间的静摩擦力达到最大时有 解得 此时与圆盘间的摩擦力大小为 当与圆盘间的静摩擦力达到最大时有 解得 即，即当角速度增大时，的静摩擦力先达到最大，考虑、所需的向心力为、 即二者相等，、所受绳子的拉力大小相等，、与圆盘间的摩擦力大小保持不变，即无论多大，、所需的向心力都可以由各自摩擦力和拉力的合力提供，故D正确。 故选AD。 【模型3　竖直平面内的圆周运动临界极值】 【模型构建】 竖直平面内的圆周运动临界极值问题是浙江选考物理的核心难点，核心是以 “最高点 / 最低点的向心力来源” 为核心，结合 “绳 / 杆 / 轨道的约束差异”，分析临界状态（恰好通过、恰好脱离、恰好无弹力），建立动力学方程求解极值（临界速度、最大高度、最小拉力） ，适用于绳模型、杆模型、轨道模型等场景，常与能量守恒（机械能守恒）结合考查。 【模型剖析】 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 解题技巧 【题目示例】 如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点给小球一个初速度v0，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直向下方向的夹角θ，将数据输入计算机得到 F-cosθ图像如图（b）所示。已知绳长0.6m，g取则下列判断正确的是（　　） A．小球在最低点的初速度大小为6m/s B．小球的质量为0.1 kg C．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v₀的增大而增大 D．小球在最高点的速度大小为 【推理过程】 【答案】A 【详解】AB．当cosθ=0时 ，由牛顿第二定律得 小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得 当cosθ=0.5时由牛顿第二定律得 小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得 联立解得 故A正确，B错误； C．在最低点得 在最高点得 则 故小球在最低点与最高点绳的拉力差保持不变，故C错误； D．小球从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得 解得小球在最高点的速度大小为 故D错误。 故选A。 【变式探究】 如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧—端固定在顶部，另一端与小物块P连接。当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。则（　　） A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，弹簧处于原长状态 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【答案】BD 【详解】A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，对m，由平衡条可知重力与弹力等大反向，故弹簧处于拉伸状态，故A错误； B．车轮转动前气嘴灯在最低点时有 气嘴灯在最低点，能发光的角速度满足 解得 故要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故B正确； CD．气嘴灯在最高点能发光的角速度满足 解得 故要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故C错误，D正确。 故选BD。 1. 如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．图乙中和的面积不相等 B．图乙中和的面积相等 C．时刻的杆中弹力一定为推力 D．时刻的杆中弹力一定为0 【答案】BCD 【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的是最高点，面积表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，故和的面积相等，故A错误，B正确； C．由于t1时刻小球通过最高点，在到达最高点之前在减小，说明杆上给的力水平分量沿半径向外，为推力，故C正确； D．因为时刻处于水平速度由增大变为减小的最高点，水平加速度为0，故水平合力为0，而此时的小球处于轨迹的右上方，对小球受力分析，小球应只受到重力，故杆的弹力一定为0，故D正确。 故选BCD。 2. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】BD 【详解】AB．由图乙知，当时弹力大小与小球重力等大，即 当时，则小球恰好通过最高点，根据牛顿第二定律有 把代入，联立解得、 故A错误，B正确； C．由图可知当时，杆对小球弹力方向向上；当时，杆对小球弹力方向向下，所以当时，杆对小球弹力方向向下，故C错误； D．当时，由牛顿第二定律有 整理得 联立以上各式可知小球受到的弹力大小等于，故D正确。 故选BD。 3. 蛙式打夯机是一种结构简单、操作方便的夯实机械。如图所示，蛙式打夯机主要由偏心轮（飞轮和偏心块组成）、电动机和夯体三部分组成。飞轮和夯体总质量为M，偏心块质量为m，偏心块的重心到轮轴的距离为R，重力加速度为g。在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力。下列说法正确的是（　　） A．电动机轮轴与偏心块转动角速度相同 B．偏心块转到最低时对地面的压力等于 C．偏心轮转动的角速度为 D．偏心块转到最低时处于失重状态 【答案】C 【详解】A．电动机轮轴与皮带轮通过皮带传动，线速度相等，根据电动机轮轴与皮带轮半径不同，皮带轮与偏心轮同轴转动角速度相同，故电动机轮轴与偏心轮转动角速度不相同，故A错误； C．当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力，有 对偏心块有 解得偏心轮转动的角速度为，故C正确； BD．在最低点，打夯机对地面压力最大，对偏心块有 对打夯机有 解得 根据牛顿第三定律可知，打夯机对地面压力的最大值大于，处于超重状态，故BD错误。 故选C。 4. “太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上，现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动过程中球与板间始终无相对运动趋势，A为圆周的最高点，C为最低点，B、D是与圆心O等高的位置，若运动经过A位置时板对小球恰好无弹力的作用，已知小球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（   ） A．小球运动的周期为 B．在C处板对球的支持大小为6mg C．在B、D处板与水平面的夹角为45° D．经过圆周上B、C中点时板与水平面的夹角为45° 【答案】AC 【详解】A．依题意，太极球在最高点时对球拍恰好无压力，根据牛顿第二定律得 解得 小球运动的周期为 故A正确； B．太极球在最低点时，根据牛顿第二定律得 解得 即在C处板对球的支持大小为2mg。故B错误； C．在B、D处，根据牛顿第二定律得 解得 故C正确； D．设经过圆周上B、C中点时板与水平面的夹角为，受力分析如图 其中 由几何关系可知，重力、向心力与板的弹力构成一个等腰三角形，，则 即经过圆周上B、C中点时板与水平面的夹角为。故D错误。 故选AC。 5. 图甲为一种小型打夯机，原理可简化为一个质量为M的支架（含电动机）上，由一根长为l轻杆带动一个质量为m的铁球（可视为质点）转动，如图乙。某次打夯过程中，铁球以角速度ω匀速转动，重力加速度为g，则（    ） A．当铁球转到最高点时，支架对地面的压力最大 B．当铁球转到最低点时，支架对地面的压力可能为零 C．当铁球转到水平最右端时，轻杆对铁球的作用力大小为 D．若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则角速度满足 【答案】D 【详解】AB．当铁球转到最高点时，轻杆对小球可能是没作用力，可以是向上的支持力为，可以是向下的拉力。所以支架对地面的压力可以是，或，或。当铁球转到最低点时，轻杆对小球只能是向上的拉力，所以支架对地面的压力为，可见当铁球转到最高点时，支架对地面的压力不是最大，当铁球转到最低点时，支架对地面的压力不可能为零，故AB错误； C．当铁球转到水平最右端时，轻杆对铁球的作用力和重力合力提供向心力，设轻杆对铁球的作用力为，由平行四边形定则有 故C错误； D．若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，即杆对支架有向上的拉力，大小为，此时杆对小球的为向下的拉力，大小为，对小球由牛顿第二定律得 解得 故D正确。 故选D。 6. 如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，转盘上沿某条直径放置用轻绳相连着两个质量均为的小物块和，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知、到转盘中心的距离分别和，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的倍，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。现让圆盘转动的角速度从0开始缓慢增加到两物体刚好要发生但还未发生滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．A与转盘的摩擦力方向始终指向圆心 B．当时，细绳拉力为0 C．当时，绳的拉力大小为 D．当时，若烧断细线将做离心运动 【答案】BD 【详解】AB．物体在随转盘在转动过程中，摩擦力提供向心力，有 可得 当摩擦力达到最大时有 显然，离圆心越远，相对于转盘不发生滑动的角速度越小，则可知物体与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力，此时绳即将产生拉力 对，有 解得 之后摩擦力将保持不变，继续增大转盘的转速，物体、之间的绳子上将出现拉力，设拉力为，对物体，有 对物体，有 随着转速的继续增大，物体所受静摩擦力将逐渐减小为零，继而反向增大（背离圆心），此时对于物体，有 直至物体所受静摩擦力达到最大值，之后若继续增大转速，、将相对于转盘发生滑动。 故错误，B正确； C．当所受的摩擦力为零时，对，有 对，有 解得，，故C错误； D．两物体恰要与圆盘发生相对滑动时，的摩擦力背离圆心达到最大，有 对，有 解得 此时若烧断细线，则对物体，有 可知做离心运动。 对物体，有 可知还未发生相对滑动。 故D正确。 故选BD。 7. 如图（俯视图），用自然长度为l0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量都是m的两个小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．当圆盘的角速度为时，物块Q受到的合力大小为 B．当圆盘的角速度为时，圆盘对P的摩擦力最小 C．当圆盘的角速度为时，圆盘对Q的摩擦力与弹簧弹力大小相等 D．当圆盘的角速度为时，物体P、Q恰好要滑动 【答案】B 【详解】AD．题意知PQ间的距离为，而弹簧的原长为，故弹簧的弹力为 当圆盘的角速度为时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为 此时物体和圆盘还未相对滑动，故物块Q受到的合力为向心力，即合力大小为，故AD错误； B．当圆盘的角速度为时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为 根据合力与分力构成的矢量三角形可知，此时静摩擦力具有最小值，即 故B正确； C．当圆盘的角速度为时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为 因力的三角形可知静摩擦力不等于弹簧的弹力，故C错误。 故选B。 8. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发球点到球网，下降高度为 水平位移大小为 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 由 对应的最大初速度 所以平抛的初速度的取值范围为。 故选D。 9. 普通集装箱的宽度设定为3米，高度设定为2.5米。在小猎正前方，集装箱呈堆叠状态，共三层，从下往上每层分别堆叠3个、2个和1个集装箱。小猎于距离最近集装箱水平距离1.5米处开展射箭操作，射出的箭与最上方一个集装箱的左右两点恰好均未发生触碰。在此情形下，小猎射出的箭在达到最高点时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，以射出的箭的最高点为原点，以水平方向为轴，以竖直方向为轴建立平面直角坐标系，根据射出的箭轨迹的对称性，射出点与落地点间的距离为 研究射出的箭从最高点到落地点的运动，设射出的箭在最高点的速度为，最高点到最上层的集装箱上表面的高度为，则到落地点的高度为，到最上层集装箱右点的水平位移为，到落地点的位移为，运动到最上层集装箱右点的时间为，到落地点的时间为，根据平抛运动的规律有，，， 代入数据解得 故选A。 10. 如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 【答案】C 【详解】A．若小球均落在同一台阶或地面上，小球在空中飞行的时间相等，故A错误； B．小球落在第一级台阶上时，下降的高度为L，落在第二级台阶上，下降的高度为2L，根据h=gt2，可知小球在空中飞行时间之比为1∶，B错误； D．小球恰好能落在地面上有2L=vt，2L=gt2 解得临界速度v=，D错误； C．小球以v=的速度抛出时，由3L=gt'2，x=vt' 落点到P的距离d=x-2L 解得d=L<L，C正确。 故选C。 11. 如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°。A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 【答案】A 【详解】跳蚤做平抛运动，若要想以最小水平速度跳到木棍上，则落到木棍上时应恰好满足速度方向与水平方向成角，即木棍恰好与跳蚤运动轨迹相切，如图所示 设下降高度为，则 竖直方向速度 由几何关系可得 由水平方向的运动规律可得 联立解得 故选A。 12. 如图所示，为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径端切线水平。水平轨道与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道对应的圆心角。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，取。 (1)若小球恰好能从点飞出，求小球落地点与点的水平距离。 (2)若小球从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，求： ①小球从点飞出的速度大小； ②小球在点对圆弧轨道的压力大小； ③小球在点受到的支持力的大小。 【答案】(1) (2)①    ②    ③ 【详解】（1）小球恰好能从点飞出，在点，重力提供向心力，有 又小球落地时间满足 水平位移 联立解得 （2）①将小球在处的速度分解在竖直方向上有 在水平方向上有 联立并代入数据得 ②在处，对小球，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律知，圆弧轨道受到的压力大小 ③小球在处速度 其受力分析如图所示 由牛顿第二定律得 解得 13. 如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球系于长为L=1m的细线上绕O点作竖直圆周运动，某时刻在最低点P点时细线断裂，小球从离水平地面3.2m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球从P点飞出时的速度大小； (2)已知细线拉力达到F=3.8N时会断裂，现保持O点离地高度H=4.2m不变，改变细线的长度，要使细线断裂后小球做平抛运动的第一次落点距O点的水平距离最远，求细线的长度； (3)若小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。且小球与地面碰撞时，碰撞前后水平、竖直分速度的比分别为一定值，求第5次碰撞时跟P点时的水平位移大小。 【答案】(1)3m/s (2)2.1m (3)6.9m 【详解】（1）设小球刚被击出时的速度大小为v0，小球被击出到第一次落地前瞬间，根据平抛运动的规律可得， 解得 （2）设绳长为L1，则由牛顿第二定律 由平抛运动， 联立得：     由二次函数知识可知，当时，x取最大值。 （3）第一次弹起后过程，根据对称性可知， 解得在最高点速度 第一次碰后水平分速度 竖直分速度 第一次碰撞前水平分速度 竖直分速度 水平分速度比为，竖直分速度比为。 所以每次碰后水平位移，，， 第5次碰撞时跟P点时的水平位移大小 14. 如图所示，倾角为的斜面体ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）用长为L的轻质细线悬挂在天花板上的M点，小球静止在N点，N点正好位于B点的正上方。现让小球在竖直面内摆动，当小球运动到N点时，突然剪断细线，小球从N点水平向右飞出落到斜面上的P点。已知N、P两点的连线与斜面垂直，且N、B两点间的高度差为H，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。 (1)求N、P两点间的距离以及小球从N点运动到P点的平均速度的大小； (2)求小球刚到达N点还未剪断细线时细线拉力的大小； (3)让小球以不同的速度从N点水平飞出落到斜面上，落点不一定为P点，若，求小球落到斜面上的速度最小时，小球平抛运动过程下落的高度。 【答案】(1)， (2) (3)y = 1 【详解】（1）设N、P两点间的距离为s，即为小球做平抛运动的位移，根据几何关系可得 ，， 联立解得 ，， 则小球从N点运动到P点的平均速度的大小为 （2）小球平抛的水平速度为 在N点，根据牛顿第二定律有 解得 （3）设小球落在斜面上的速度为v，则有 又根据 ，， 联立可得 又根据几何关系可得 解得 可知当y = 1时，v有最小值。 15. 如图所示，一种电动打夯机的结构为：在固定于夯上的电动机的转轴上固定一杆，杆的另一端固定一铁块（图中阴影部分的圆球即为铁块）。工作时电动机带动杆上的铁块在竖直平面内匀速转动，则当铁块转到最低点时，夯对地面将产生很大的压力而夯实地面。设夯（不包括铁块）的总质量为M，铁块的质量为m，杆长为L，重力加速度为g，杆的质量不计。 （1）若铁块的角速度为ω，则在圆周的最低点时杆对铁块的拉力是多少？ （2）若铁块的转速太大了，则有可能会将夯带离地面，在工作过程中为了保证安全要求打夯机不能离开地面，则铁块匀速转动的角速度最大为多少？ （3）在实际工作中，要保证打夯机在不离开地面的前提下对地面产生尽可能大的瞬间压力。请通过推导判断在打夯机和铁块的总质量一定的情况下（即M+m=定值），铁块质量m的大小对大小的影响：若有影响请说明随着m的增大的增减情况，若无影响，请说明原因。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）在最低点时，铁块受到重力和杆拉力的作用，有 解得 （2）夯受到重力Mg，杆对夯的拉力T，地面的支持力N的作用，当铁块在最高点时，杆对夯的拉力最大，要求夯不离开地面，即在最高点时 T≤Mg 又 故 解得 铁块匀速转动的角速度最大为。 （3）在最低点时夯对地面的压力最大，在最低点时有 又 代入得 对夯受力分析有：夯受到重力Mg，地面的支持力N，杆对夯的拉力与杆对球的拉力大小相同，方向相反，也记做T'，有 根据牛顿第三定律 因为m+M=定值,所以铁块质量m对无影响。 16. 如图所示为某一游戏的简化模型，参与者将一可看作质点的小球从高度的平台边缘水平踢出。平台前方固定A、B两个高度均为的薄挡板不计厚度，平台边缘到挡板A的水平距离，两块挡板之间的距离也为。有一个宽度、高度不计的盒子，紧靠挡板 A放置。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反，不计空气阻力，重力加速度，求： (1)若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围； (2)若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要落入两挡板之间，时间满足 最小速度为，则 得 最大速度为，则 得 若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围： （2）要落入盒子，时间满足 水平距离为 所以小球要落入盒子，设最小速度为，则 解得 最大速度为，则 解得 若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 曲线运动的临界极值模型 【模型1　平抛运动临界极值】 【模型构建】 平抛运动的临界极值问题是物理的高频难点，核心是以 “平抛运动分运动规律” 为基础，结合 “边界约束（如墙面、斜面、曲面、障碍物）” 或 “物理条件约束（如速度方向、落点范围）”，通过分析临界状态（恰好相切、恰好越过、恰好到达），建立方程求解极值（最大 / 最小初速度、最大 / 最小水平位移、临界运动时间） ，适用于 “规避障碍物”“限定落点范围”“速度方向约束” 等场景 【模型剖析】 类型一：台阶平抛运动 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ 临界情况 以图中为例，能到达3台阶的要求是能过2的边角和到达3的边角 则时间的要求为 位移的要求 类型二：网球模型 1． 平抛运动中的临界速度问题 h1 v2 s2 h2 s1 v1 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度 2． 既擦网又压线的双临界问题 h1 s2 h2 s1 根据，可得比值： 总结：处理平抛运动中的临界问题要抓住两点 1、临界特征 (1)有些题目中有“刚好"恰好正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大"“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2、平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 【题目示例】 如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【推理过程】 【变式探究】 从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【模型2　水平面上圆周运动临界极值】 【模型构建】 水平面上圆周运动的临界极值问题是物理的高频难点，核心是以 “向心力来源的临界状态” 为突破点，结合 “受力分析→临界条件判断→向心力方程建立→极值求解” 的逻辑链，解决 “最大角速度、最小周期、临界半径、最大静摩擦力” 等极值问题，适用于粗糙圆盘、绳约束、杆约束、双物体关联等水平面圆周运动场景 【模型剖析】 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【题目示例】 如图（俯视图），两个质量均为的小木块C和D（均可视为质点）放在水平圆盘上，与圆心的距离均为，C与D之间用水平轻质弹簧相连，开始时弹簧处于伸长状态且长度也为，两木块恰好处于静止状态。已知两木块与圆盘之间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若圆盘从静止开始绕点转动且角速度缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．当角速度时，小木块C和D开始相对水平圆盘滑动 B．当角速度时，小木块C和D开始相对水平圆盘滑动 C．小木块C和D相对水平圆盘滑动时，会沿半径方向 D．小木块C和D相对水平圆盘滑动时，不会沿半径方向 【推理过程】 【一题多变】 如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体、，质量分别为、。B、C之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力，B、C离圆心的距离分别为、，将质量为的小物块放在上。现让圆盘由静止缓慢加速，若、之间能发生相对滑动，则认为刚发生相对滑动时立即飞走，此后不再受的影响，且细线不会被拉断。已知各接触面间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当时，细线张力为 B．当时，即将滑离 C．当时，剪断细线，将做离心运动 D．无论多大，、都不会和圆盘发生相对滑动 【模型3　竖直平面内的圆周运动临界极值】 【模型构建】 竖直平面内的圆周运动临界极值问题是浙江选考物理的核心难点，核心是以 “最高点 / 最低点的向心力来源” 为核心，结合 “绳 / 杆 / 轨道的约束差异”，分析临界状态（恰好通过、恰好脱离、恰好无弹力），建立动力学方程求解极值（临界速度、最大高度、最小拉力） ，适用于绳模型、杆模型、轨道模型等场景，常与能量守恒（机械能守恒）结合考查。 【模型剖析】 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 解题技巧 【题目示例】 如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点给小球一个初速度v0，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直向下方向的夹角θ，将数据输入计算机得到 F-cosθ图像如图（b）所示。已知绳长0.6m，g取则下列判断正确的是（　　） A．小球在最低点的初速度大小为6m/s B．小球的质量为0.1 kg C．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v₀的增大而增大 D．小球在最高点的速度大小为 【推理过程】 【变式探究】 如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧—端固定在顶部，另一端与小物块P连接。当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。则（　　） A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，弹簧处于原长状态 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 1. 如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．图乙中和的面积不相等 B．图乙中和的面积相等 C．时刻的杆中弹力一定为推力 D．时刻的杆中弹力一定为0 2. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 3. 蛙式打夯机是一种结构简单、操作方便的夯实机械。如图所示，蛙式打夯机主要由偏心轮（飞轮和偏心块组成）、电动机和夯体三部分组成。飞轮和夯体总质量为M，偏心块质量为m，偏心块的重心到轮轴的距离为R，重力加速度为g。在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力。下列说法正确的是（　　） A．电动机轮轴与偏心块转动角速度相同 B．偏心块转到最低时对地面的压力等于 C．偏心轮转动的角速度为 D．偏心块转到最低时处于失重状态 4. “太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上，现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动过程中球与板间始终无相对运动趋势，A为圆周的最高点，C为最低点，B、D是与圆心O等高的位置，若运动经过A位置时板对小球恰好无弹力的作用，已知小球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（   ） A．小球运动的周期为 B．在C处板对球的支持大小为6mg C．在B、D处板与水平面的夹角为45° D．经过圆周上B、C中点时板与水平面的夹角为45° 5. 图甲为一种小型打夯机，原理可简化为一个质量为M的支架（含电动机）上，由一根长为l轻杆带动一个质量为m的铁球（可视为质点）转动，如图乙。某次打夯过程中，铁球以角速度ω匀速转动，重力加速度为g，则（    ） A．当铁球转到最高点时，支架对地面的压力最大 B．当铁球转到最低点时，支架对地面的压力可能为零 C．当铁球转到水平最右端时，轻杆对铁球的作用力大小为 D．若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则角速度满足 6. 如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，转盘上沿某条直径放置用轻绳相连着两个质量均为的小物块和，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知、到转盘中心的距离分别和，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的倍，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。现让圆盘转动的角速度从0开始缓慢增加到两物体刚好要发生但还未发生滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．A与转盘的摩擦力方向始终指向圆心 B．当时，细绳拉力为0 C．当时，绳的拉力大小为 D．当时，若烧断细线将做离心运动 7. 如图（俯视图），用自然长度为l0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量都是m的两个小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．当圆盘的角速度为时，物块Q受到的合力大小为 B．当圆盘的角速度为时，圆盘对P的摩擦力最小 C．当圆盘的角速度为时，圆盘对Q的摩擦力与弹簧弹力大小相等 D．当圆盘的角速度为时，物体P、Q恰好要滑动 8. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 9. 普通集装箱的宽度设定为3米，高度设定为2.5米。在小猎正前方，集装箱呈堆叠状态，共三层，从下往上每层分别堆叠3个、2个和1个集装箱。小猎于距离最近集装箱水平距离1.5米处开展射箭操作，射出的箭与最上方一个集装箱的左右两点恰好均未发生触碰。在此情形下，小猎射出的箭在达到最高点时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 10. 如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 11. 如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°。A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 12. 如图所示，为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径端切线水平。水平轨道与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道对应的圆心角。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，取。 (1)若小球恰好能从点飞出，求小球落地点与点的水平距离。 (2)若小球从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，求： ①小球从点飞出的速度大小； ②小球在点对圆弧轨道的压力大小； ③小球在点受到的支持力的大小。 13. 如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球系于长为L=1m的细线上绕O点作竖直圆周运动，某时刻在最低点P点时细线断裂，小球从离水平地面3.2m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球从P点飞出时的速度大小； (2)已知细线拉力达到F=3.8N时会断裂，现保持O点离地高度H=4.2m不变，改变细线的长度，要使细线断裂后小球做平抛运动的第一次落点距O点的水平距离最远，求细线的长度； (3)若小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。且小球与地面碰撞时，碰撞前后水平、竖直分速度的比分别为一定值，求第5次碰撞时跟P点时的水平位移大小。 14. 如图所示，倾角为的斜面体ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）用长为L的轻质细线悬挂在天花板上的M点，小球静止在N点，N点正好位于B点的正上方。现让小球在竖直面内摆动，当小球运动到N点时，突然剪断细线，小球从N点水平向右飞出落到斜面上的P点。已知N、P两点的连线与斜面垂直，且N、B两点间的高度差为H，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。 (1)求N、P两点间的距离以及小球从N点运动到P点的平均速度的大小； (2)求小球刚到达N点还未剪断细线时细线拉力的大小； (3)让小球以不同的速度从N点水平飞出落到斜面上，落点不一定为P点，若，求小球落到斜面上的速度最小时，小球平抛运动过程下落的高度。 15. 如图所示，一种电动打夯机的结构为：在固定于夯上的电动机的转轴上固定一杆，杆的另一端固定一铁块（图中阴影部分的圆球即为铁块）。工作时电动机带动杆上的铁块在竖直平面内匀速转动，则当铁块转到最低点时，夯对地面将产生很大的压力而夯实地面。设夯（不包括铁块）的总质量为M，铁块的质量为m，杆长为L，重力加速度为g，杆的质量不计。 （1）若铁块的角速度为ω，则在圆周的最低点时杆对铁块的拉力是多少？ （2）若铁块的转速太大了，则有可能会将夯带离地面，在工作过程中为了保证安全要求打夯机不能离开地面，则铁块匀速转动的角速度最大为多少？ （3）在实际工作中，要保证打夯机在不离开地面的前提下对地面产生尽可能大的瞬间压力。请通过推导判断在打夯机和铁块的总质量一定的情况下（即M+m=定值），铁块质量m的大小对大小的影响：若有影响请说明随着m的增大的增减情况，若无影响，请说明原因。 16. 如图所示为某一游戏的简化模型，参与者将一可看作质点的小球从高度的平台边缘水平踢出。平台前方固定A、B两个高度均为的薄挡板不计厚度，平台边缘到挡板A的水平距离，两块挡板之间的距离也为。有一个宽度、高度不计的盒子，紧靠挡板 A放置。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反，不计空气阻力，重力加速度，求： (1)若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围； (2)若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $