专题03 水平面上的圆周运动模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦水平面上的圆周运动模型这一核心知识点，系统梳理从动力学分析思路（受力分析→向心力来源判断→方程建立→临界条件分析）到圆锥摆、锥形/球形容器、圆盘模型的应用，形成从基础原理到具体场景的递进式学习支架。 该资料以模型建构为特色，通过“模型构建-剖析-题目示例-变式探究”结构，结合科学思维中的模型建构与科学推理，如圆锥摆模型推导重力与拉力合力提供向心力的关系，圆盘模型分析静摩擦力与临界角速度关联。课中助教师清晰呈现知识逻辑，课后学生可借变式练习深化运动和相互作用观念，有效查漏补缺。

专题03 水平面上的圆周运动模型 【模型1　圆周运动的动力学分析思路】 【模型构建】 圆周运动的动力学分析是核心考点，核心是以 “向心力公式” 为核心纽带，结合 “受力分析→向心力来源判断→向心力方程建立→临界条件分析” 的逻辑链，解决匀速圆周运动、非匀速圆周运动的受力与运动关系问题，适用于水平面圆周、竖直面圆周、斜面圆周 【模型剖析】 1.圆周运动向心力的理解 （1）向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个向心力。 （2）匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。 （3）变速圆周运动的合外力与向心力的关系 变速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心，可以分解为如图所示的两个分力。 ①切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。 ②法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。 2.解答圆周运动的动力学问题的基本思路 【题目示例】 如图所示，在水平圆盘上有一条标记线OAB，。圆心O点放置一个质量为m可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在O点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为L，其弹力F随伸长量x变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。 如图所示，在水平圆盘上有一条标记线OAB，。圆心O点放置一个质量为m可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在O点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为L，其弹力F随伸长量x变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。 (1)保持圆盘静止，将小物块放置在圆盘上A点，试判断小物块是否能够静止并求出此时小物块受到的摩擦力大小； (2)使圆盘以某一角速度绕匀速转动，要使小物块在A点与圆盘保持相对静止，求角速度的取值范围。 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，水平地面上有一质量为M，高为h、足够长的薄长方形木箱，顶部O处用一不可伸长的轻质细线悬挂一质量为m的小球（视为质点），在O点正下方的底板上有一点B，已知木箱与地面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计一切阻力。 (1)若用一恒力拉着木箱在地面上匀加速运动，细线偏离的角度为θ，求此时小球的加速度大小。 (2)若保持木箱静止，分别选用不同长度的细线，每次拉直细线至水平后将小球由静止释放，细线到达最低点总能立即断裂，平抛落在木箱底板上。当线长为多少时，小球的落点离B点的水平距离最远？并求出这一最远距离。 (3)在第（2）问中，为了使木箱能保持静止，它与地面的最大静摩擦力至少为多大？ 【模型2　圆锥摆】 【模型构建】 圆锥摆模型是圆周运动动力学分析的典型应用，核心是以 “重力与拉力的合力提供向心力” 为核心逻辑，结合几何关系推导周期、角速度等物理量，适用于水平面内匀速圆周运动场景 【模型剖析】 1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。 2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。 3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是 向心力 摆线的拉力 讨论(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。 同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快。 讨论(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。 在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。 【题目示例】 四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B角速度不相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力大于小球C受到绳的拉力【推理过程】 AB．对题图甲中小球A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则有 解得 可知小球A、B的角速度相等，由于轨道运动半径不相等，所以小球A、B线速度大小不相同，故AB错误； CD．对题图乙C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有， 解得， 可知小球C、D向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同，故C正确，D错误。 故选C。 【变式探究】 如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，横杆上的A、B两点处均用长为L的轻质细线分别悬挂相同的小球a、b（均可视为质点），且OA=AB=L。当整个装置绕竖直杆匀速转动且小球a、b稳定时，悬挂小球a、b的细线与竖直方向的夹角分别为、。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a的向心加速度大小为 B．小球a的角速度大小为 C．小球b的线速度大小为 D． 【解答】A．对小球a分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有解得向心加速度为 B．根据向心加速度的表达式 根据几何关系可得 解得 C．对小球b分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有 根据几何关系可得 解得 D．小球a和小球b是同轴转动，所以有相同的角速度，则有 即解得 【模型3　锥形、球形容器】 【模型构建】 锥形、球形容器模型是物理中圆周运动动力学分析的高频综合场景，核心是以 “容器支持力 / 压力与重力的合力提供向心力” 为核心逻辑，结合容器的几何特征（锥角、球半径）建立三角函数关系，求解临界速度、支持力、轨道半径等关键物理量，适用于 “物体在容器内壁做匀速圆周运动” 的场景（如锥形漏斗内壁、球形碗内壁的圆周运动） 【模型剖析】 1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。 2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示A 3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有 向心力. 支持力. 由此得，，。 结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。 （二）圆碗 受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律 mg θ R FN mg FN θ x y x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ A B C an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C） 【题目示例】 如图1所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，并不落向漏斗下方。我们用如下模型对此进行分析：如图2所示，一圆锥体（圆锥的顶点为O，底面圆心为O′）绕垂直于水平面的轴线以恒定的角速度ω转动，一质量为m小物体（可看作质点）随圆锥体一起转动且相对于圆锥体静止。以圆锥体为参考系，圆锥体中的小物体还多受到一个“力”，同时小物体还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过轴线的平面上，以顶点O为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，小物体在这个坐标系中具有的“势能”可表示为。该“势能”与小物体的重力势能之和为其总势能。当小物体处在圆锥壁上总势能最小的某一位置时，小物体既没有沿圆锥面上滑的趋势，也没有沿圆锥面下滑的趋势，此时小物体受到的摩擦力就会恰好为0，即使圆锥壁光滑，小物体也不会滑向下方。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（　　） A．小物体多受到的那个“力”的方向指向O′点 B．小物体多受到的那个“力”的大小随x的增加而减小 C．该“势能”的表达式是选取了x轴处“势能”为零 D．当圆锥体以恒定的角速度ω′转动时（），小物体沿圆锥壁向下移至某一位置时受到的摩擦力才可能恰好为0 【推理过程】 【变式探究】 6．如图所示，水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的圆锥筒，筒壁与水平面的夹角为，内壁有一个可视为质点的物块始终随圆锥筒一起做匀速圆周运动，物块受到的最大静摩擦力是正压力的0.6倍。当物块做圆周运动的半径为r，受到的摩擦力恰好为零时，角速度为。忽略空气阻力，取。则下列说法中正确的是（　　） A．当r越大，则越大 B．当r越大，则越小 C．当时，最大角速度 D．当时，最大角速度 【模型4　圆盘模型】 【模型构建】 圆盘模型是物理中圆周运动动力学分析的高频基础模型，核心是以 “静摩擦力 / 弹力提供向心力” 为核心逻辑，结合圆盘转动的线速度、角速度关系，分析物体在圆盘上的受力与运动临界条件，适用于 “物体随圆盘共速转动”“物体相对圆盘滑动”“多物体关联转动” 等场景，常与临界速度、摩擦因数、轨道半径等考点结合考查 【模型剖析】 A B A B A B A B A B A B f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin= ω2 O f μmg ω2 O T 出现T 滑动 ω2 O f B μmBg μmAg A ω2 O f B μmBg μmAg A ②μA<μB, ω临2= ②ωmax= 【题目示例】 水平放置的转盘上固定一压力传感器，将一质量为m的物块紧挨传感器放置，如图甲所示。现使转盘绕中心轴转动，转动的角速度从0开始逐渐增加，传感器的示数F随角速度的平方变化的关系如图乙所示，图中数据已知。已知物块质量分布均匀，重力加速度为g，物块与转盘之间最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）。 A．传感器的示数F与成正比 B．O~b过程，物块与转盘之间的摩擦力随均匀增大 C．物块中心到转盘中心轴的距离 D．物块与转盘之间最大静摩擦力 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在转盘上，用长为的细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．当时，绳子一定无弹力 B．当时，A、B相对于转盘静止 C．在范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大 D．在范围内增大时，B所受摩擦力大小变大 1. 如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．乙、丙的线速度大小相等 C．甲、乙的向心加速度大小相等 D．乙、丙的向心加速度大小相等 2. 如图甲所示，一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，细线与斜面平行。当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线拉力大小为T，T与的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，则当细线拉力时，小球角速度的大小为（　　） A． B． C． D． 3. 如图所示，A、B两个相同的小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，A、B两球运动半径分别为、，两球离地高度为。O点为两悬挂点在地面的投影，两个小球可视为质点，则下列说法正确的是（　　）。 A．在两根细绳分别对A球和B球的拉力可能相同 B．在A球和B球的周期相等 C．在同时剪断两根细绳，B球先落地 D．剪断两根细绳，A球和B球的落地点到O点的距离相等 4. 一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随变化的图像如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．细线的长度为 B．细线的长度为 C．细线的长度为 D．细线的长度为 5. 小球（可视为质点）质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。（，，计算结果可用根号或分数表示） （1）在紧贴着小球运动的水面上加一光滑平板，使球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为，如图所示，当小球的角速度大于某一值时，小球将脱离平板，则为多大？ （2）撤去光滑平板，让小球在空中旋转，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的B点，且当两条细线均伸直时，如图所示，各部分长度之比。则当小球以匀速转动时，两细线的对小球的拉力大小分别多大？ （3）在（2）情境下，当小球以匀速转动时，两细线对小球的拉力大小分别为多大？ 6. 如图所示，细杆穿过圆锥顶和底面圆心，将光滑圆锥竖直固定在水平地面O′上，圆锥高与母线的夹角为θ=37°。用一根长为L=0.5m的轻绳一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在细杆上的O点，O点距地面高度为H=0.75m，小球刚好在圆锥底面边缘。现使小球在光滑圆锥表面上做匀速圆周运动。求： （1）当小球的角速度为ω1=3rad/s时，轻绳中的拉力大小； （2）若轻绳受力为T2=20N时会被拉断，求角速度ω取不同值时，剪断或拉断轻绳后小球飞行的时间t。（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8） 7. 如图所示，光滑的圆锥体固定在水平地面上，其轴线沿竖直方向，在圆锥体顶用长的细线悬挂一质量的小球（可视为质点），小球静止时细线与圆锥表面平行且细线与轴线的夹角。已知圆锥体的高度，细线能承受的最大拉力，取重力加速度大小，，。现使圆锥体绕其轴线缓慢加速转动，小球也随圆锥体一起做角速度缓慢增大的圆周运动（不同时间内均可视为匀速圆周运动）。 （1）求小球即将离开圆锥体表面时的角速度大小； （2）当小球的角速度大小时，求细线上的拉力大小； （3）若细线上的拉力达到最大拉力的瞬间细线绷断，此瞬间小球速度不受影响，求小球落到水平地面的位置到圆锥体轴线的距离d。 8. 如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力的作用。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（    ） A．小物块a和b做圆周运动所需的向心力大小之比为 B．小物块a和b对容器壁的压力大小之比为3：1 C．小物块a与容器壁之间无摩擦力 D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下 9. 如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知跟竖直方向的夹角为60°，跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（    ） A．细线和细线所受的拉力大小之比为3：1 B．小球和的角速度大小之比为3：1 C．小球和的向心力大小之比为3：1 D．小球和的线速度大小之比为33：1 10. 如图，可视为质点的小球用细线悬于O点，使小球在水平面内以为圆心做匀速圆周运动，忽略空气阻力。悬挂小球的绳长l保持不变，改变悬点O到圆心的距离h，则小球做匀速圆周运动的角速度、周期、向心加速度大小、绳对小球的拉力大小随变化的关系图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 11. 图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为的细线系着质量为的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度，在小球离地高为、速度为时烧断细线，已知重力加速度为，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比 12. 如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 13. 如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（　　） A．座椅A、B在同一水平面内做匀速圆周运动 B．座椅A、B做匀速圆周运动的线速度相等 C．座椅A、B做匀速圆周运动时缆绳的延长线与转轴的交点为同一点 D．悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大 14. 如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为的水平方向的圆周。航母在圆周运动中，船身向内侧倾斜，甲板法线与竖直方向夹角为，船体简图如图乙所示。一质量为的货物放在甲板上，两者之间的动摩擦因数为，已知，重力加速度为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若要保证货物不和甲板发生相对滑动，下列说法正确的是（　　） A．货物与甲板间一定存在摩擦力 B．货物受到甲板的支持力等于 C．航母的航速的最大值为 D．航母的航速越小，货物受摩擦力一定越小 15. 如图所示，一小球（视为质点）由轻绳a 和轻绳b分别系于轻杆上的A 点和B 点，轻杆绕轴AB 匀速转动，使得小球在水平面内做匀速圆周运动，两轻绳均伸直，轻绳a 与水平方向的夹角为30°，轻绳b水平且长度为 l。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．轻绳b的弹力不可能为零 B．轻绳a 的弹力随角速度的增大而增大 C．当转动的角速度大于 时，轻绳b将出现弹力 D．剪断轻绳b，轻绳 a 的弹力可能不变 16. 如图，餐厅里两瓷罐（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，质量分别为，离转轴的距离分别为，与转盘间的动摩擦因数均为。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，与转盘均保持相对静止，用表示转盘的角速度，则（　　） A．当增大时，比先开始滑动 B．未滑动前所受的摩擦力大小相等 C．开始滑动时的角速度为 D．线速度大小始终相等 17. 如图甲，一根长为1.0m的轻质细线，一端系着一个质量为0.2kg的小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半为θ。当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起做角速度为ω的匀速圆周运动时，细线的张力大小为FT，FT随ω2变化的规律如图乙。重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．θ=30° B．对应图像的BC段，小球只受重力和拉力两个力的作用 C．B点坐标（12.5，2.5） D．当绳子的拉力大小为2N时，圆锥体转动的角速度为rad/s 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 水平面上的圆周运动模型 【模型1　圆周运动的动力学分析思路】 【模型构建】 圆周运动的动力学分析是核心考点，核心是以 “向心力公式” 为核心纽带，结合 “受力分析→向心力来源判断→向心力方程建立→临界条件分析” 的逻辑链，解决匀速圆周运动、非匀速圆周运动的受力与运动关系问题，适用于水平面圆周、竖直面圆周、斜面圆周 【模型剖析】 1.圆周运动向心力的理解 （1）向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个向心力。 （2）匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。 （3）变速圆周运动的合外力与向心力的关系 变速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心，可以分解为如图所示的两个分力。 ①切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。 ②法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。 2.解答圆周运动的动力学问题的基本思路 【题目示例】 如图所示，在水平圆盘上有一条标记线OAB，。圆心O点放置一个质量为m可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在O点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为L，其弹力F随伸长量x变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。 如图所示，在水平圆盘上有一条标记线OAB，。圆心O点放置一个质量为m可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在O点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为L，其弹力F随伸长量x变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。 (1)保持圆盘静止，将小物块放置在圆盘上A点，试判断小物块是否能够静止并求出此时小物块受到的摩擦力大小； (2)使圆盘以某一角速度绕匀速转动，要使小物块在A点与圆盘保持相对静止，求角速度的取值范围。 【推理过程】 【答案】(1)小物块静止， (2) 【详解】（1）小物块在O点时 而 则 小物块在A点时 在竖直方向上的分力 在水平方向上分力 最大静摩擦力 ，小物块相对圆盘静止，小物块所受静摩擦力大小为 （2）小物块要相对圆盘静止圆盘角速度最小时，因， 圆盘角速度最大时 解得 则 【变式探究】 如图所示，水平地面上有一质量为M，高为h、足够长的薄长方形木箱，顶部O处用一不可伸长的轻质细线悬挂一质量为m的小球（视为质点），在O点正下方的底板上有一点B，已知木箱与地面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计一切阻力。 (1)若用一恒力拉着木箱在地面上匀加速运动，细线偏离的角度为θ，求此时小球的加速度大小。 (2)若保持木箱静止，分别选用不同长度的细线，每次拉直细线至水平后将小球由静止释放，细线到达最低点总能立即断裂，平抛落在木箱底板上。当线长为多少时，小球的落点离B点的水平距离最远？并求出这一最远距离。 (3)在第（2）问中，为了使木箱能保持静止，它与地面的最大静摩擦力至少为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）细线偏离的角度为θ，对小求分析知 解得此时小球的加速度大小 （2）设细线长为时，小球的落点离B点的水平距离最远，为，小球下摆至最低点断裂的过程，根据机械能守恒 解得 之后小球做平抛运动，有 解得 故当 即 时，小球的落点离B点的水平距离最远，为 （3）在第（2）问中，为了使木箱能保持静止，设小球从水平由静止释放后到与竖直方向偏离角度为时， 静摩擦力为最大，对小球根据机械能守恒 根据牛顿第二定律 联立解得 对M分析 根据平衡条件 故时静摩擦力为最大 它与地面的最大静摩擦力至少为。 【模型2　圆锥摆】 【模型构建】 圆锥摆模型是圆周运动动力学分析的典型应用，核心是以 “重力与拉力的合力提供向心力” 为核心逻辑，结合几何关系推导周期、角速度等物理量，适用于水平面内匀速圆周运动场景 【模型剖析】 1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。 2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。 3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是 向心力 摆线的拉力 讨论(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。 同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快。 讨论(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。 在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。 【题目示例】 四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B角速度不相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力大于小球C受到绳的拉力【推理过程】 AB．对题图甲中小球A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则有 解得 可知小球A、B的角速度相等，由于轨道运动半径不相等，所以小球A、B线速度大小不相同，故AB错误； CD．对题图乙C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有， 解得， 可知小球C、D向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同，故C正确，D错误。 故选C。 【变式探究】 如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，横杆上的A、B两点处均用长为L的轻质细线分别悬挂相同的小球a、b（均可视为质点），且OA=AB=L。当整个装置绕竖直杆匀速转动且小球a、b稳定时，悬挂小球a、b的细线与竖直方向的夹角分别为、。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a的向心加速度大小为 B．小球a的角速度大小为 C．小球b的线速度大小为 D． 【解答】A．对小球a分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有解得向心加速度为 B．根据向心加速度的表达式 根据几何关系可得 解得 C．对小球b分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有 根据几何关系可得 解得 D．小球a和小球b是同轴转动，所以有相同的角速度，则有 即解得 【模型3　锥形、球形容器】 【模型构建】 锥形、球形容器模型是物理中圆周运动动力学分析的高频综合场景，核心是以 “容器支持力 / 压力与重力的合力提供向心力” 为核心逻辑，结合容器的几何特征（锥角、球半径）建立三角函数关系，求解临界速度、支持力、轨道半径等关键物理量，适用于 “物体在容器内壁做匀速圆周运动” 的场景（如锥形漏斗内壁、球形碗内壁的圆周运动） 【模型剖析】 1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。 2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示A 3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有 向心力. 支持力. 由此得，，。 结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。 （二）圆碗 受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律 mg θ R FN mg FN θ x y x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ A B C an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C） 【题目示例】 如图1所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，并不落向漏斗下方。我们用如下模型对此进行分析：如图2所示，一圆锥体（圆锥的顶点为O，底面圆心为O′）绕垂直于水平面的轴线以恒定的角速度ω转动，一质量为m小物体（可看作质点）随圆锥体一起转动且相对于圆锥体静止。以圆锥体为参考系，圆锥体中的小物体还多受到一个“力”，同时小物体还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过轴线的平面上，以顶点O为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，小物体在这个坐标系中具有的“势能”可表示为。该“势能”与小物体的重力势能之和为其总势能。当小物体处在圆锥壁上总势能最小的某一位置时，小物体既没有沿圆锥面上滑的趋势，也没有沿圆锥面下滑的趋势，此时小物体受到的摩擦力就会恰好为0，即使圆锥壁光滑，小物体也不会滑向下方。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（　　） A．小物体多受到的那个“力”的方向指向O′点 B．小物体多受到的那个“力”的大小随x的增加而减小 C．该“势能”的表达式是选取了x轴处“势能”为零 D．当圆锥体以恒定的角速度ω′转动时（），小物体沿圆锥壁向下移至某一位置时受到的摩擦力才可能恰好为0 【推理过程】 【答案】D 【详解】A．以地面为参考系，小物体做匀速圆周运动，需要向心力 以圆锥体为参考系，小物块与圆锥保持相对静止，所以在以圆锥体为参考的非惯性参考系中多受到的 “力” 是惯性离心力，方向背离OO′，提供离心作用，并非指向O′，故A错误； B．势能表达式为 势能的表达式对位移求导可得惯性离心力的大小即 得惯性离心力的表达式为 其大小随x的增加而增大，故B错误； C．势能表达式为 当时，，所以选取的是处为零势能面，而非x轴，故C错误； D．当圆锥体以恒定的角速度ω′转动时（），离心作用怎增强，小物体沿圆锥壁向下移至总势能最小位置，此时摩擦力才可能为 0，故D正确。 故选D。 【变式探究】 6．如图所示，水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的圆锥筒，筒壁与水平面的夹角为，内壁有一个可视为质点的物块始终随圆锥筒一起做匀速圆周运动，物块受到的最大静摩擦力是正压力的0.6倍。当物块做圆周运动的半径为r，受到的摩擦力恰好为零时，角速度为。忽略空气阻力，取。则下列说法中正确的是（　　） A．当r越大，则越大 B．当r越大，则越小 C．当时，最大角速度 D．当时，最大角速度 【答案】BC 【详解】AB．对物块受力分析，当摩擦力为零时，如图所示 根据牛顿第二定律，可得 可知当r越大，则越小。故A错误；B正确； CD．当r为定值时，静摩擦力沿筒壁向下取最大静摩擦时，具有最大角速度，受力分析如图所示 由牛顿第二定律，可得 ， 又 联立，解得 故C正确；D错误。 故选BC。 【模型4　圆盘模型】 【模型构建】 圆盘模型是物理中圆周运动动力学分析的高频基础模型，核心是以 “静摩擦力 / 弹力提供向心力” 为核心逻辑，结合圆盘转动的线速度、角速度关系，分析物体在圆盘上的受力与运动临界条件，适用于 “物体随圆盘共速转动”“物体相对圆盘滑动”“多物体关联转动” 等场景，常与临界速度、摩擦因数、轨道半径等考点结合考查 【模型剖析】 A B A B A B A B A B A B f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin= ω2 O f μmg ω2 O T 出现T 滑动 ω2 O f B μmBg μmAg A ω2 O f B μmBg μmAg A ②μA<μB, ω临2= ②ωmax= 【题目示例】 水平放置的转盘上固定一压力传感器，将一质量为m的物块紧挨传感器放置，如图甲所示。现使转盘绕中心轴转动，转动的角速度从0开始逐渐增加，传感器的示数F随角速度的平方变化的关系如图乙所示，图中数据已知。已知物块质量分布均匀，重力加速度为g，物块与转盘之间最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）。 A．传感器的示数F与成正比 B．O~b过程，物块与转盘之间的摩擦力随均匀增大 C．物块中心到转盘中心轴的距离 D．物块与转盘之间最大静摩擦力 【推理过程】 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，当时，物块与转盘之间达到最大静摩擦力，之后传感器出现示数，根据向心力公式则有 整理可得 由此可知：传感器的示数F与成一次函数，但不成正比，故A错误； B．当未达到最大静摩擦力时有：，f与成正比，故O~b过程，物块与转盘之间的摩擦力随不是均匀增大的，故B错误； D．根据 可知，故D错误； C．当时，根据 可得，故C正确。 故选C。 【变式探究】 如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在转盘上，用长为的细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．当时，绳子一定无弹力 B．当时，A、B相对于转盘静止 C．在范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大 D．在范围内增大时，B所受摩擦力大小变大 【答案】BC 【详解】A．根据题意可知，A、B两物体属于同轴转动，则角速度相等，根据可知，B物体需要的向心力较大，随着缓慢增大，B先达到最大静摩擦力，当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有 解得，可知，当时，绳子具有弹力，故A错误； B．当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，设此时绳子的弹力为，根据牛顿第二定律，对A有 对B有 解得，可知，当时，A、B相对于转盘会滑动，故B正确； CD．由上述分析可知，角速度在范围内增大时，A、B所受的摩擦力变大，当时，B所受摩擦力达到最大静摩擦力，保持不变，当在范围内增大时，B所受摩擦力不变，A所受静摩擦力继续增大，即当在范围内增大时，A所受摩擦力一直增大，故C正确，D错误。 故选BC。 1. 如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．乙、丙的线速度大小相等 C．甲、乙的向心加速度大小相等 D．乙、丙的向心加速度大小相等 【答案】B 【详解】AC．设绳子与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得向心加速度大小为，线速度 由于乙对应的较大，r也较大，所以甲的向心加速度小于乙的向心加速度，甲的线速度小于乙的线速度，故AC错误； BD．已知乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，则抛物线方程为 设乙、丙的坐标分别为（，），（，），则有 根据牛顿第二定律可得 其中， 可得， 由于，，则有，，故B正确，D错误。 故选B。 2. 如图甲所示，一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，细线与斜面平行。当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线拉力大小为T，T与的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，则当细线拉力时，小球角速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，当角速度为0时，小球受重力、支持力和绳的拉力，且有 当角速度等于时，小球恰好只受重力和绳的拉力，则 当角速度等于时，小球只受重力和绳的拉力，且绳与竖直方向的夹角变大，则 联立可得 故选B。 3. 如图所示，A、B两个相同的小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，A、B两球运动半径分别为、，两球离地高度为。O点为两悬挂点在地面的投影，两个小球可视为质点，则下列说法正确的是（　　）。 A．在两根细绳分别对A球和B球的拉力可能相同 B．在A球和B球的周期相等 C．在同时剪断两根细绳，B球先落地 D．剪断两根细绳，A球和B球的落地点到O点的距离相等 【答案】D 【详解】A．令悬挂A、B球的细绳与竖直方向的夹角分别为、，则有 ， 解得 ， 对A、B球分别进行分析，均受到重力与细绳的拉力，均由重力与拉力的合力提供向心力，则有 ， 解得 故A错误； B．对A、B球分别进行分析，均受到重力与细绳的拉力，均由重力与拉力的合力提供向心力，则有 ， 解得 故B错误； C．两球离地高度为，同时剪断两根细绳，小球做平抛运动，则有 解得 两球同时落地，故C错误； D．对A、B球分别进行分析，均受到重力与细绳的拉力，均由重力与拉力的合力提供向心力，则有 ， 平抛运动过程有 ， 落地点到O点的距离 ， 解得 故D正确。 故选D。 4. 一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随变化的图像如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．细线的长度为 B．细线的长度为 C．细线的长度为 D．细线的长度为 【答案】A 【详解】设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为，当角速度为零时，小球静止，受重力、支持力和线的拉力而平衡，此时有 当角速度增大时，绳上的拉力增大，小球受到的支持力减小，当支持力减小到0时，角速度为，当小球的角速度小于时，水平方向有 竖直方向有 整理有 结合题图有 当小球的角速度大于时，小球将离开锥面，此时线与竖直方向夹角为，竖直方向有 整理有 此时图像的反向线延长线经过原点，结合题图有 综上所述，有 ，， 解得 故选A。 5. 小球（可视为质点）质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。（，，计算结果可用根号或分数表示） （1）在紧贴着小球运动的水面上加一光滑平板，使球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为，如图所示，当小球的角速度大于某一值时，小球将脱离平板，则为多大？ （2）撤去光滑平板，让小球在空中旋转，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的B点，且当两条细线均伸直时，如图所示，各部分长度之比。则当小球以匀速转动时，两细线的对小球的拉力大小分别多大？ （3）在（2）情境下，当小球以匀速转动时，两细线对小球的拉力大小分别为多大？ 【答案】（1）；（2）；；（3） 【详解】（1）当平板对小球支持力为零时，小球恰好脱离平板，此时重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）当细线恰好伸直时，由几何关系得，AC与竖直方向所成夹角为37°，同理可得，此时小球的角速度为 则 时细线末伸直，即 设此时细线AC与竖直方向的夹角为，可得 解得 根据平衡条件得 （3）当小球以匀速转动时，由于 所以两细线均有拉力，有 ， 联立，解得 6. 如图所示，细杆穿过圆锥顶和底面圆心，将光滑圆锥竖直固定在水平地面O′上，圆锥高与母线的夹角为θ=37°。用一根长为L=0.5m的轻绳一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在细杆上的O点，O点距地面高度为H=0.75m，小球刚好在圆锥底面边缘。现使小球在光滑圆锥表面上做匀速圆周运动。求： （1）当小球的角速度为ω1=3rad/s时，轻绳中的拉力大小； （2）若轻绳受力为T2=20N时会被拉断，求角速度ω取不同值时，剪断或拉断轻绳后小球飞行的时间t。（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8） 【答案】（1）9.62N；（2）见解析 【详解】（1）小球角速度为ω0恰如离开圆锥表面时，则有 联立解得 因为ω1=3rad/s<ω0=5rad/s，故小球仍受支持力，则有 解得 （2）设绳子断裂前与竖直方向的夹角为α，则有 联立解得 ， 讨论：轻绳剪断后小球做平抛运动，设高度为h，则有 （i）若ω≤ω0=5rad/s，此时剪断绳子，小球离地高度始终为 解得飞行时间为 （ii）若ω≥ω2=rad/s，绳子断裂时，小球离地面高度为 解得飞行时间为 （iii）若5rad/s≤ω≤rad/s，设绳子离地高度为h，与竖直夹角为β，则有 解得飞行时间为 7. 如图所示，光滑的圆锥体固定在水平地面上，其轴线沿竖直方向，在圆锥体顶用长的细线悬挂一质量的小球（可视为质点），小球静止时细线与圆锥表面平行且细线与轴线的夹角。已知圆锥体的高度，细线能承受的最大拉力，取重力加速度大小，，。现使圆锥体绕其轴线缓慢加速转动，小球也随圆锥体一起做角速度缓慢增大的圆周运动（不同时间内均可视为匀速圆周运动）。 （1）求小球即将离开圆锥体表面时的角速度大小； （2）当小球的角速度大小时，求细线上的拉力大小； （3）若细线上的拉力达到最大拉力的瞬间细线绷断，此瞬间小球速度不受影响，求小球落到水平地面的位置到圆锥体轴线的距离d。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球即将离开圆锥体表面时，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得角速度大小为 （2）当小球的角速度大小时，由于 可知小球未离开圆锥体表面，以小球为对象，竖直方向根据受力平衡可得 水平方向根据牛顿第二定律可得 联立解得细线上的拉力大小为 （3）若细线上的拉力达到最大拉力的瞬间细线绷断，设此瞬间小球的角速度为，细线与竖直方向发夹角为，则有 ， 解得 ， 细线绷断后小球做平抛运动，初速度为 竖直方向有 解得 小球做平抛运动水平位移大小为 根据几何关系可得小球落到水平地面的位置到圆锥体轴线的距离为 8. 如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力的作用。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（    ） A．小物块a和b做圆周运动所需的向心力大小之比为 B．小物块a和b对容器壁的压力大小之比为3：1 C．小物块a与容器壁之间无摩擦力 D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下 【答案】A 【详解】A．a、b角速度相等，向心力为 所以a、b向心力之比为 故A正确； CD．由于b与容器壁间恰好没有摩擦力的作用，所以b受重力和容器壁的支持力，则 解得 对a向心力 所以小物块a与容器壁之间有摩擦力，即支持力在指向转轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背离转轴方向的分力，即容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向上，故CD错误； B．对b有 解得 对a受力分析，如图 则 ， 解得 则 故B错误。 故选A。 9. 如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知跟竖直方向的夹角为60°，跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（    ） A．细线和细线所受的拉力大小之比为3：1 B．小球和的角速度大小之比为3：1 C．小球和的向心力大小之比为3：1 D．小球和的线速度大小之比为33：1 【答案】C 【详解】A．对任一小球分析。设细线与竖直方向的夹角为，竖直方向受力平衡，有 解得 所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比 故A错误； B．小球所受合力的大小为 根据牛顿第二定律得 解得 所以 故B错误； C．小球所受合力提供向心力，由几何关系得 小球m1和m2的向心力大小之比为 故C正确； D．根据牛顿第二定律得 解得 则线速度大小之比为 故D错误。 故选C。 10. 如图，可视为质点的小球用细线悬于O点，使小球在水平面内以为圆心做匀速圆周运动，忽略空气阻力。悬挂小球的绳长l保持不变，改变悬点O到圆心的距离h，则小球做匀速圆周运动的角速度、周期、向心加速度大小、绳对小球的拉力大小随变化的关系图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A．设细线与方向的夹角为，对小球受力分析，水平方向根据牛顿第二定律有 竖直方向有， 解得 由上述分析可知，并不是一条直线，故A项错误； B．由周期与角速度的关系有 结合之前的分析解得 结合数学知识可知，故B项正确； C．由于， 由几何关系有 解得 结合数学知识可知，故C项错误； D．由于 又因为 整理有 结合数学知识可知，故D项正确。 故选BD。 11. 图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为的细线系着质量为的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度，在小球离地高为、速度为时烧断细线，已知重力加速度为，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比 【答案】D 【详解】A．烧断细线后，小球做平抛运动，由运动学知识有， 联立解得 设小球做圆周运动时绳子与竖直方向的角度为，则圆周运动的半径为 则小球落地点到杆的距离为，A错误； B．从烧断细线到落地，小球位移为，B错误； C．烧断细线前，小球做圆周运动，由牛顿第二定律有 可见向心力大小与角速度和绳子与竖直方向的夹角有关，C错误； D．对小球受力分析，由牛顿第二定律有 即 可见烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比，D正确。 故选D。 12. 如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 【答案】B 【详解】A．物体沿圆锥筒内壁下滑时，物体受重力、支持力和沿圆锥筒内壁向上的滑动摩擦力，由力的平衡条件得， 又 解得，A错误； B．当圆锥筒做匀速圆周运动，物体只受重力和支持力作用时，有 又 代入数据解得rad/s，B正确； C．rad/s时，圆锥筒的角速度大于，物体有沿圆锥筒内壁向上滑动的趋势，则物体所受的静摩擦力沿内壁向下，竖直方向上有 水平方向上有 代入数据解得N，C错误； D．当物体开始沿圆锥筒内壁上滑时，物体与圆锥筒内壁的摩擦力达到最大静摩擦力，竖直方向上有 水平方向上有 又 解得rad/s，D错误。 故选B。 13. 如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（　　） A．座椅A、B在同一水平面内做匀速圆周运动 B．座椅A、B做匀速圆周运动的线速度相等 C．座椅A、B做匀速圆周运动时缆绳的延长线与转轴的交点为同一点 D．悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大 【答案】D 【详解】A．设悬点与转轴的距离为，缆绳长度为，稳定时缆绳与竖直方向的夹角为，则有 整理得 座椅A、B角速度相等，因座椅A的悬点离转轴较近，即 则 故座椅A、B不在同一水平面内做匀速圆周运动，故A错误； B．座椅A、B角速度相等，根据 因， 故座椅A匀速圆周运动的线速度比B的小，故B错误； C．设缆绳延长线与转轴的交点到座椅的长度为L，则有 得 即 其中为缆绳的延长线与转轴的交点到座椅的竖直高度，由于ω相同，则 由于 所以A比B低，座椅A细绳的延长线与转轴的交点比B的交点低，故C错误； D．根据座椅竖直方向受力平衡有 即 由于 故 故D正确。 故选D。 14. 如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为的水平方向的圆周。航母在圆周运动中，船身向内侧倾斜，甲板法线与竖直方向夹角为，船体简图如图乙所示。一质量为的货物放在甲板上，两者之间的动摩擦因数为，已知，重力加速度为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若要保证货物不和甲板发生相对滑动，下列说法正确的是（　　） A．货物与甲板间一定存在摩擦力 B．货物受到甲板的支持力等于 C．航母的航速的最大值为 D．航母的航速越小，货物受摩擦力一定越小 【答案】C 【详解】ABD．根据题意，物体做水平方向的圆周运动，受力分析如图所示 竖直方向 水平方向 解得， 可以看出当航母的速度较小时，航速越大，摩擦力越小，即速度增大到某值时，货物可能不受摩擦力，即只受重力和支持力，故ABD错误； C．当静摩擦力方向沿甲板向下且达到最大静摩擦力时，货物受力分析如图所示 竖直方向 水平方向 最大静摩擦力等于滑动摩擦力 解得最大速度，故C正确。 故选C。 15. 如图所示，一小球（视为质点）由轻绳a 和轻绳b分别系于轻杆上的A 点和B 点，轻杆绕轴AB 匀速转动，使得小球在水平面内做匀速圆周运动，两轻绳均伸直，轻绳a 与水平方向的夹角为30°，轻绳b水平且长度为 l。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．轻绳b的弹力不可能为零 B．轻绳a 的弹力随角速度的增大而增大 C．当转动的角速度大于 时，轻绳b将出现弹力 D．剪断轻绳b，轻绳 a 的弹力可能不变 【答案】CD 【详解】A．角速度合适时，球的向心力恰好由球的重力与a绳拉力的合力提供，此时b绳弹力为0，故A错误； B．对a球，根据竖直方向上平衡得 可知a绳弹力 可知a绳的拉力不变，故B错误； C．当b绳拉力为零时，有 解得 可知当转动的角速度大于 时，轻绳b将出现弹力，故C正确； D．由A选项可知b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D正确。 故选CD。 16. 如图，餐厅里两瓷罐（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，质量分别为，离转轴的距离分别为，与转盘间的动摩擦因数均为。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，与转盘均保持相对静止，用表示转盘的角速度，则（　　） A．当增大时，比先开始滑动 B．未滑动前所受的摩擦力大小相等 C．开始滑动时的角速度为 D．线速度大小始终相等 【答案】AC 【详解】A．瓷罐刚开始滑动时角速度为，则有 解得临界角速度 可知r越大，临界角速度越小，故当增大时，比先开始滑动，故A正确； B．未滑动前，Q受到的摩擦力 P受到的摩擦力 可知未滑动前所受的摩擦力大小不相等，故B错误； C．由A选项可知开始滑动时的角速度为 故C正确； D．属于同轴转动，角速度相等，则线速度 由于二者r不同，故线速度相等，故D错误。 故选 AC。 17. 如图甲，一根长为1.0m的轻质细线，一端系着一个质量为0.2kg的小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半为θ。当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起做角速度为ω的匀速圆周运动时，细线的张力大小为FT，FT随ω2变化的规律如图乙。重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．θ=30° B．对应图像的BC段，小球只受重力和拉力两个力的作用 C．B点坐标（12.5，2.5） D．当绳子的拉力大小为2N时，圆锥体转动的角速度为rad/s 【答案】BCD 【详解】A．由乙图可知，当时，细线的张力大小为1.6N，对小球受力分析可知 解得，故A错误； B．分析小球到受力情况可知，B点时，小球飞离锥面时，只受重力和细线的张力，随着角速度增大，离心运动时，也只受到这两个力的作用，故B正确； C．在B点，是小球飞离锥面的临界角速度，此时的角速度为，对小球受力分析，可知，小球的重力和细线的拉力为其做圆周运动提供向心力，故有 解得 此时，细线的张力N 所以B点坐标（12.5，2.5），故C正确； D．当绳子的拉力大小为2N时，小球没有离开圆锥体，则有， 解得转动的角速度为rad/s，故D正确； 故选BCD。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $