重庆市（康德卷）2025-2026学年高三上学期高考模拟调研（一）（12月）数学试题

2026 届重庆市普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷数学(一) 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知向量 ，则 A. B. C. D. 2. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 3. 若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为 4. 已知圆 ，直线 与圆 相切，则 A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知正四棱锥 的侧棱长为底面边长的✓/2 倍，则侧面与底面夹角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 若 ,则 A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度, 对该校学生进行了满意度调查, 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为 A. B. C. D. 8. 已知 ,若函数 存在两个零点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。 9. 已知等差数列 中， ， ，前 项和为 ，则 A. A. C. D. 10. 已知复数 ,则下列结论正确的是 A. 若为纯虚数，则 16. 若 ，则 C. 若 ，则 的最大值为 D. 若 ，则 的取值范围是 11. 已知双曲线 的其中一条渐近线方程为 ,且过点 . 点 为该双曲线右支上一点，点 分别为该双曲线左右顶点，点 分别为该双曲线左右焦点. 则下列说法正确的是 A. 当 时, 的面积为 B. 的内切圆与 轴切于点 ，则 C. 记 ， 的斜率分别为 ， ，若点 位于第一象限，则有 D. 过点 分别作两条渐近线的垂线,垂足为 ,则两垂足距离最短为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分。1 编写分。 12. 在 的展开式中，第3项的二项式系数为_____. 13. 已知正方体 的棱长为3,点 分别在棱 , ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 14. 某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得 1 分并继续答题，若答错则对方获得 1 分并由对方回答下一道题, 每局 3 题, 且得分多者获胜. 现有甲乙两人参加擂台对抗赛, 根据以往比赛经验, 甲答对每道题的概率为 ，乙答对每道题的概率为 ，则甲在这场比赛中获胜的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知函数 的最小正周期为 ,其中 . (1)求 ，并求曲线 的对称中心； (2)若 ，求 16. 已知平面四边形 由一个等边 与一个直角 拼接而成，且 ，现将 沿 折叠至与平面 垂直. (1)取 中点 ，证明: 平面 ； (2)若 为等腰直角三角形，求二面角 的正弦值. 17.已知平面内一定点 的 则定直线 ，现有一动点 满足到直线 的距离与到点 的距离之比为 2 . (1)求动点 的轨迹 的标准方程； (2)已知点 在 上，一动直线 交点 的轨迹 于 ，Q两点（不同于H）记HP、HP的斜率分别为 ,若 ,求证:直线 过定点 (17 分) 2026 年第 23 届男子足球世界杯赛, 由美国、加拿大和墨西哥三国联合承办. 赛制如下:第一阶段为小组赛, 先将 48 支球队分为 12 个小组, 每组 4 支球队. 同一小组中, 每两支球队均要踢一场球, 根据赛制选出 32 支球队小组出线，参加第二阶段比赛.第二阶段为淘汰赛，根据赛制将出线的 32 支球队分成 16 组，每组 2 支球队踢一场球，胜者晋级；晋级的 6 支球队又分成 8 组，每组2 支球队踢一场球，胜者晋级，依次类推，直至产生前四名.第三阶段为排位赛，进入前四名的球队分成两组，每组的 2 支球队踢一场球，胜者晋级决赛，再踢一场球，争夺冠军；而失败的 2 支球队也要踢一场球，争夺季军。 （1）第23届男子足球世界杯总共进行多少场比赛? (2)一球队为了在比赛中变换阵型，将原本在左边锋、左前卫、左后腰和左后卫位置的 4 名球员交换位置， 则这 4 名球员至少有 3 名不在自己对应位置上的概率为多少? (3)假定 、 、 、 四支球队被分至同一小组，依据过往比赛记录可得， 球队战胜 球队的概率为 ， 踢成平局的概率为 球队战胜 C 球队的概率为 ，踢成平局的概率为 球队战胜 D 球队的概率为 ，踢成平局的概率为 .按照积分规则，获胜可积 3 分，平局可积1 分，失败则积 0 分，试求 A 球队在小组因素结束后的积分 的分布列和数学期望. 19. (17分) 已知函数 ( ) (1)讨论函数 的单调性 (2)若函数 将在两个零点 ，求证: ； (3)已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项为2的等比数列，若存在正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ，求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届重庆市普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷数学(一)参考答案 一、选择题： 1～8 BCAC ADDC 二、选择题： 9．ACD 10．BC 11．BCD 三、填空题： 12． 13． 14． 四、解答题： 15．（13分） 解：（1） ……4分 因为函数的最小正周期为，所以，则有， ……6分 所以； 由，则有， 所以函数的对称中心为； ……8分 （2）由，所以， 则有，即， 所以． ……13分 16．（15分） 解：（1）因为平面面，平面面，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又，平面，所以平面； ……5分 （2）取的中点，连接，则， 取的中点，连接，则，而，故， 由（1）平面，即平面，平面， 则，即两两垂直，……8分 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设， 则，则， 设平面ACD的法向量为，则， 即，不妨取，得． 因为，所以， 由（1）知，平面，则可取作为平面的一个法向量， 由， 故二面角的正弦值为． ……15分 17．（15分） 解：（1）设点，则由题意有，平方有， 化简得，所以动点的轨迹标准方程为； ……4分 （2）先考察直线，此时，且，该直线满足题意， 若该定点存在，则必在轴上，记为 设为，联立直线与椭圆的方程， 得， 则，且有，， 所以 解得， 对应系数成比例，所以，所以该定点为． ……15分 18．（17分） 解：（1）①第一阶段12个小组，每组4支球队两两比赛，共有场 ②第二阶段从32支球队淘汰到产生前四名，共有场 ③第三阶段，共有场 所以，比赛总场数为场； ……4分 （2）若有3名球员不在自己对应位置上， 若有4名球员不在自己对应位置上， 则4名球员至少有3名球员不在自己对应位置上的概率为； ……8分 （3）A球队在小组三场比赛结束后的积分X可能取值为：， 其中：0分(三负)、1分(一平两负)、2分(两平一负)、3分(一胜两负或三平)、 4分(一胜 一平 一负)、5分(一胜两平)、6分(两胜一负)、7分(两胜一平)、9分(三胜) 分布列为 期望．……17分 19．（17分） 解：（1）对求导有（）， ①当时：，故在单调递减； ②当时：在单调递减，在单调递增； ……5分 （2），令，则有， 则有在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， 则有， 令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证； ……11分 （3），当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 即有恒成立． 分别令，， 则，所以在上单调递增，在单调递减， ，令，则，所以，故，所以在上单调递减， ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． ……17分 ( 第 7 页 共5页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $